【数学】河北省张家口市2024届高三一模试题（解析版）

河北省张家口市2024届高三一模数学试题一、选择题1.已知复数，复数，则（）A. B.4 C.10 D.【答案】D【解析】，.故选：D.2.下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于AC，当时，，所以，故A正确，C错误；对于B，当时，，故B错误；对于D，，因为，所以对于D，，故D错误.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离，所以，又，所以，所以的方程为.故选：B.5.过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（）A. B. C. D.15【答案】D【解析】如图所示：,记,则，，，当且仅当，即时，取等号.所以四边形面积的最大值为.故选：D6.已知定义在上的函数满足：，且．若，则（）A.506 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】，①，即，所以，所以函数的图象关于对称，令，则，所以，令，，又，所以，又，，②即函数的图象关于直线对称，且由①和②，得，所以，则函数的一个周期为4，则，所以.故选：C7.已知等比数列的前项和为，则数列的公比满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设函数，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，即.因为，所以，即.因为，所以，排除A,C.若，，则，不满足，排除D.故选：B.8.设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：①；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（）A.①④ B.② C.①②③ D.①②④【答案】C【解析】对于①：因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，所以，正确；对于②：由费马小定理得：，即，正确；对于③：由费马小定理得：，即，又，所以，正确；对于④：由费马小定理得：，即，又，所以，错误.故选：C.二、选择题9.下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值（单位：千万吨标准煤）的数据表：年份20192020202120222023年份代号12345能源消费总量近似值（单位：千万吨标准煤）44.244.646.247.850.8以为解释变量，为响应变量，若以为回归方程，则决定系数0.9298，若以为回归方程，则，则下面结论中正确的有（）A.变量和变量的样本相关系数为正数B.比的拟合效果好C.由回归方程可准确预测2024年的能源消费总量D.【答案】ABD【解析】对于A选项：随着变量的增加，变量也在增加，故变量和变量成正相关，即样本相关系数为正数，正确；对于B选项：因为，故比的拟合效果好，正确；对于C选项：回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，错误；对于D选项：由回归方程必过样本中心点，可知，正确.故选：ABD.10.已知函数，且，若函数向右平移个单位长度后为偶函数，则（）A.B.函数在区间上单调递增C.的最小值为D.的最小值为【答案】AC【解析】对于A，因为，所以函数关于轴对称，所以，解得，又，所以当时，，故A正确；对于B，，当时，，因为在区间上不单调递增，故B错误；对于CD，将函数向右平移个单位长度后得到，由偶函数，可得：，解得，又，所以当时，的最小值为，故C正确，D错误.故选：AC.11.已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】题意有两个不等的实数根，，，令，则，即为奇函数；当时，，为增函数；若，则，又，所以.对于A，，正确.对于B，若成立，则有，与矛盾，所以B不正确.对于C，由指数均值不等式可得，所以，C正确.对于D，令，，当时，，为增函数，所以，即，D不正确.故选：AC.三、填空题12.已知点为抛物线的焦点，直线为的准线，则点到直线的距离为__________．【答案】8【解析】根据抛物线方程可知，抛物线焦点为，准线为，所以点到直线的距离为8.故答案为：8.13.有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有__________种．（用数字作答）【答案】【解析】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；合计有种不同分配方案，故答案为：.14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的余弦值的最小值为__________．【答案】【解析】连接，过作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：在三角形中，因为，故，则，则，，故点；又，设点，由，则可得；，设平面的法向量，则，即，取，则，故平面的法向量，又，设直线与平面所成角为，则因为，且，故令，则又，故，，也即，故最大值为，又，故的最小值为.即直线与平面所成角的余弦值的最小值为.故答案为：.四、解答题15.已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，．（1）求；（2）求四边形面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得，化简为，解得或，当时，因为，与为锐角三角形不符合，故（2）作垂直于，设，则，当，四边形面积最大最大面积为16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，．（1）证明：；（2）若二面角为，求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，在菱形中，，则为等边三角形，所以，因为，所以，因为平面，所以平面，又因为，所以平面，又平面，所以；（2）解：因为，平面，平面，所以即为二面角的平面角，所以，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以平面与平面夹角的正弦值为．17.某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．（1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．（2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.解：（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，所以试验一次结果为白球的概率为，所以，所以选到的袋子为甲盒的概率为.（2）①所以方案一中取到黑球的概率为：，方案二中取到黑球的概率为：，因为，所以方案二中取到黑球的概率更大.②随机变量的值为，依据以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以随机变量的数学期望的最大值.18.已知椭圆的上顶点为，直线与椭圆交于两点，且直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，直线与椭圆交于两点，且直线与的斜率之和为1，求与之间距离的取值范围．解：（1）设由题意，可知，则椭圆，联立方程组，得，显然，且，因为，即，化简得所以解得，所以椭圆（2）由直线，设直线，，联立方程组，得，则得①且，又因为，即，化简得，则，化简得，因为，所以，结合①可知，与之间距离，设，则，当时，，则当，，则单调递减，当，，则单调递增，所以，又，所以，所以.19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，令，解得或，所以的关系如下表：单调递减单调递增单调递减所以函数的单调递增区间为：，