【数学】江苏省无锡市经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末试题（解析版）

江苏省无锡市经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、，是二元一次方程，不符合题意；B、，含有2个未知数，不符合题意；C、，不是整式方程，不符合题意；D、，是一元二次方程，符合题意；故选D．2.计算sin45°的值为（）．A.1 B. C. D.【答案】B【解析】．故选：B．3.一组数据2，3，2，5，4的众数是（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】数据2，3，2，5，4出现次数最多的是2，则众数为2．故选A．4.若⊙O的半径为5cm，OA=4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在⊙O上 B.点A在⊙O内 C.点A在⊙O外 D.无法确定【答案】B【解析】∵⊙O的半径为5cm，OA=4cm，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选B．5.如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．A.1 B. C. D.【答案】B【解析】∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，∴，故选：B．6.若抛物线经过点，则的值是（）A. B. C.1 D.7【答案】C【解析】把代入可得：，即∴，故选：C．7.如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，在中：，∴，在中：；故选：B．8.如图，为的弦，于点D，，过点A作的切线交的延长线于点C，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，连接，，，，∵是的切线，，，故选：D9.将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似但不全等），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）．A.5 B.6 C. D.10【答案】C【解析】∵矩形，∴，如图：当时，两三角形的斜边分别为，，故B选项不符合题意；如图：当时，∴，设，∴，∴，不符合题意；如图，当时，∴，设，∴，解得：，∴，故选项A不符合题意；，故选项D符合题意．故选：C．10.如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积S（）随时间t（s）变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】由图可知：当时，点与点重合，当时，点与点重合，∴，，∵平行四边形，∴，，∵，∴，当时，过点作，如图，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积，当的面积为时，则：，解得：或（舍去）；当时，作，∴，即：，∴，∴的面积，当的面积为时，则：，解得：；故选B．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11.若关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为_______．【答案】【解析】将代入可得：，即，解得：．故答案为．12.若甲组数据1，2，3，4，5的方差是，乙组数据101，102，103，104，105的方差是，则_____（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】【解析】甲组数据的平均数为，方差为；乙组数据的平均数为，方差为；∴；故答案为：．13.一个圆锥的母线长为3，侧面积为6π，则该圆锥的底面圆的半径为_____．【答案】2【解析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意，得：，∴；故答案为：2．14.某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件100元降至64元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________.【答案】100(1－x)2＝64【解析】设每次降价的百分率为x.由题意，得100(1−x)2=64，故答案为100(1−x)2=64.15.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为____________．【答案】【解析】连接，由图可得：，，，∵为直径，有，∴在中，．故答案为：．16.若方程的两根为，则方程的两根为____________________．【答案】【解析】可得，，，所以．故答案为：．17.如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是反比例函数（）图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则_____；若点和是波浪线上的点，则的最大值为_____．【答案】①9②【解析】∵点A在抛物线上，∴令，则，∴，又∵点B是抛物线的顶点，∴，∴,则点再抛物线上，即；∵点B在双曲线上，∴，∴双曲线解析式为，∴点，∵，所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等，当时，,所以，∵波浪线的最高点为二次函数顶点，所以n的最大值为12，所以最大值为．故答案为9，．18.如图，在第一象限，其周长为a，动点P从点A出发，沿的边从运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以为边作等边，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的周长为________________．（用含a的代数式表示）【答案】【解析】如图：∵动点P从点A出发，沿的边从运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，∴点Q随点P运动所形成的图形是关于O的中心对称图形，∵以为边作等边，M点对应的A，B，C的点分别为，∴是等边三角形，∴，同理：，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∵的周长为a，即，∴的周长为：．故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答并写出解题步骤）19.计算：（1）；（2）．解：（1）；（2）．20.解下列方程：（1）；（2）．解：（1），，，，．（2），，所以，所以．21.宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（），一般（），良好（），优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全须数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？解：（1）人，∴测试成绩为一般的学生人数为：人；补全直方图如图：（2）；（3）共200人，将成绩按照从小到大排序后，第100个数据和第101个数据均在的范围内，即中位数落在良好等第中；（4）（人）；答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人．22.某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从两名男生和一名女生中随机选出参赛选手．（1）若只选1名选手参加比赛，则女生入选的概率是________；（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．解：（1）选1名选手，有3种等可能的情况，其中选中女生的结果只有1种，∴；（2）列表如下：男1男2女男1男1，男2男1，女男2男2，男1男2，女女女，男1女，男2共有6种等可能的情况，其中选中一男一女的情况有4种，∴．23.如图，在中，点D，E分别在边上，且．（1）求证：；（2）若，求的长．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，即：，又，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即：，∴（负值已舍掉）．24.如图，四边形内接于，为直径，平分，且交的延长线于点E．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求半径．解：（1）直线与相切，理由如下：如图：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）如图：过点O作于点H，∵，，，∴四边形是矩形，∴，，∴∴在中，，即，解得：．∴的半径长是5．25.如图，在中，．

（1）用无刻度的直尺和圆规在图1中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的周长．（如需画草图，请使用图2）解：（1）作角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，如图所示；由作图可知：，∴，∴，∴，∴，∴是的半径，且，∴为的切线，∴即为所求；（2）∵，是的切线，∴，∴，∴，∴，如图所示，设交于点E，交于点，连接，∵∴是等边三角形，∴，∴，∴的长为，∴与重部分的周长为．26.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：售价x（元/件）3540月销售量y（件）250200月销售利润w（元）12502000注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）（1）求y关于x的函数表达式；（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过46元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．解：（1）设一次函数解析式为，根据题意，得，解得：，所以y与x的函数表达式为；（2）由表中数据知，每件商品进价为（元），设该商品的月销售利润为w元，则，∵，∴当时，w最大，最大值为2250，∴当该商品的售价是45元时，月销售利润最大，最大利润为2250元；（3）根据题意得：，对称轴为直线，∵，∴当时，w随x的增大而增大，∵时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，∴，解得：，∵，∴m的取值范围为．27.在中，，M是斜边的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线外，连接．（1）如图1，求的大小；（2）已知点D和边上的点E满足．①如图2，求证：平分；②如图3，连接，若，求的值．解：（1）∵，∴，在中，，∴．（2）①∵，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，∴，即平分．②如图：过点E作于点H，

∵，∴，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴．28.在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．①：②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标；③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．解：（1）①当时，，∴不在二次函数图像上，将代入，解得，故答案为：1；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为p，则，，由菱形的性质得：，∴轴，∴，∵，∴，解得（舍去），（舍去），，∴；③如图2：连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，

由正方形的性质可知，E为、的中点，，，∴，∴，∵，，，∴，∴