2024届江苏省南通市海安高级中学高三下学期第二次模拟考试数学

江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z112i,z2a2i(其中i为虚数单位,aR).若z1z2是纯虚数,则a（）A.-4B.-1C.1D.42.直线xtany20的倾斜角为()5374A.B.C.D.5101053.有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种4.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a55,a1S1146,则a3a10是an中的()A.第28项B.第29项C.第30项D.第32项5.在ABC中,已知B30,c2,则“b”是“C45”成立的()条件2A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要6.已知双曲线C:x2y21,直线l:xy10.双曲线C上的点P到直线l的距离最小,则点P的横坐4标为()A.2B.4C.24333D.333337.若命题:“a,bR,使得acosb„bcosa”为假命题,则a,b的大小关系为（）A.abB.abC.a„bD.a…b8.设实数a,b,c满足a2b2„„c1,则abc的最小值为（）A.B.1C.212D.-1222二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为()A.方差B.平均数C.中位数D.众数10.已知不等式(ax3)x2b„0对任意x(0,)恒成立,其中a,b是整数,则ab的取值可以为()A.-4B.-2C.0D.811.直线l与抛物线C:x22py(p0)相交于A,B两点,过A,B两点分别作该抛物线的切线,与直线yp均交于点P,则下列选项正确的是(

)A.直线l过定点(0,p)

B.A,B

两点的纵坐标之和的最小值为2pC.存在某一条直线l,使得APB为直角D.设点Q(0,2p)在直线l上的射影为H,则直线FH斜率的取值范围是(,3][3,)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.2112.已知集合Mx∣x5x6„0,Nxcosx,则MN___________.2x,0x1,1若f(a)f(a1),则f13.设f(x)2(x1),x…1___________.a14.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB4,BCBB12,E,F分别是棱AB,A1D1的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在四棱锥PABCD中,已知棱AB,AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,若DCAB,且向量PC与BD夹角的余弦值为1515.(1)求实数的值;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.16.（15分）已知向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx23cosx),xR.设f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,若f(BAC)1,AB2,BC6,BAC的平分线交BC于点D,求AD长.x2y217.(15分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C:1(ab0)的离心率为3,F,F分别是椭圆的a2b2212左、右焦点,过F2作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,且 AF1F2的周长是423.(1)求椭圆C的方程;(2)当AB23DE时,求 ODE的面积.18.(17分)设函数f(x)(xa)lnxxa,aR.(1)若a0,求函数f(x)的单调区间;(2)若e22a0,试判断函数f(x)在区间e2,e2内的极值点的个数,并说明理由;(3)求证:对任意的正数a,都存在实数t,满足:对任意的x(t,ta),f(x)a1.19.(17分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B、C两类,抽到较易的B类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A字母,3张写有B字母,2张写有C字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有A的卡片,则再抽1次,直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前k(1„kn)条灯谜,自第k1条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这