2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题36数列的概念与表示学生版

专题36数列的概念与表示一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【考点预测】1．数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．【常用结论】1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))【方法技巧】1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.2.Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.3.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.4.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通项.5.形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.6.形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.7.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.8.求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项.二、【题型归类】【题型一】由an与Sn的关系求通项【典例1】(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列【典例2】已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.【典例3】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求数列{an}的通项公式.【题型二】累加法【典例1】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an等于()A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn【典例2】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.【题型三】累乘法【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.【题型四】数列的单调性【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)【典例2】等差数列{an}的公差d＜0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【题型五】数列的周期性【典例1】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，则a2022的值为()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)【典例2】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2020的值为()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)三、【培优训练】【训练一】已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝13，则eq\f(an,n)取最小值时，n＝()A.3 B.4 C.5 D.6【训练二】(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有()A．Tn无最大值 B．an有最大值C．T2023＝1 D．a2023＝1【训练三】设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋eq\f(1,2n)，则S1＋S3＋S5等于()A．0B.eq\f(17,64)C.eq\f(5,64)D.eq\f(21,64)【训练四】意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2020项的和为()A．672 B．673C．1347 D．2020【训练五】若数列{an}满足：对于任意正整数n，{an＋1－an}为单调递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有()A．an＝3n B．an＝n2＋1C．an＝eq\r(n) D．an＝lneq\f(n,n＋1)【训练六】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．四、【强化测试】【单选题】1.数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝()A．29 B．33C．34 D．282.已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，那么a5＝()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)3.在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－aeq\o\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为()A．1 B．2C．3 D．65.数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a99)＝()A．eq\f(99,98) B．2C．eq\f(99,50) D．eq\f(99,100)6.已知数列{an}满足eq\f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq\f(an,n)的最小值为()A．4eq\r(5) B．4eq\r(5)－1C．8 D．97.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于()A．256B．510C．512D．10248.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为()A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2C．8n2 D．(n＋1)3【多选题】9.下列四个命题中，正确的有()A．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq\f(1,k)B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1D．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,n＋1)，n∈N*，则数列{an}是递增数列10.若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有()A．an＝3n B．an＝n2＋1C．an＝eq\r(n) D．an＝lneq\f(n,n＋1)11.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)，则下列结论正确的是()A．这个数列的第10项为eq\f(27,31)B.eq\f(97,100)是该数列中的项C．数列中的各项都在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))内D．数列{an}是单调递减数列12.对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－eq\f(1,an)(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是()A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值D．若an＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，则其“倒差数列”有最大值【填空题】13.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.14.已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________.15.设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.16.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(9n（n＋1）,10n)，则数列中的最大项为________.【解答题】17.已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.18.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；(2)证明：eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝4.19.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．20.已知数列{an