2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题18导数恒成立与有解问题学生版

专题18导数恒成立与有解问题一、【知识梳理】【方法技巧】1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.2.根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.3.含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.4.在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“eq\f(0,0)”型的代数式，就设法求其最值．“eq\f(0,0)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.二、【题型归类】【题型一】分离参数法求参数范围【典例1】已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范围.【典例2】已知函数f(x)＝eq\f(1＋lnx,x).(1)若函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋\f(1,2)))上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)－eq\f(k,x＋1)≥0恒成立，求实数k的取值范围.【典例3】已知函数f(x)＝(x－2)ex－eq\f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【题型二】分类讨论法求参数范围【典例1】已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．【典例2】已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax，其中a为常数．(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【典例3】已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．【题型三】等价转化求参数范围【典例1】已知函数f(x)＝ex－1－ax＋lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；(2)若不等式f(x)≥lnx－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．【典例2】已知函数f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性﹔(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求a的取值范围．【典例3】已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx.(1)当a>2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x∈[1，＋∞)，使f(x)<a成立，求实数a的取值范围．【题型四】双变量的恒(能)成立问题【典例1】设f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．【典例2】已知函数f(x)＝eq\f(ax2－x－1,ex)(x∈R)，a为正实数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．【典例3】设f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．【题型五】洛必达法则【典例1】已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．【典例2】已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．三、【培优训练】【训练一】已知x＝eq\f(1,\r(e))为函数f(x)＝xalnx的极值点.(1)求a的值；(2)设函数g(x)＝eq\f(kx,ex)，若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范围.【训练二】已知函数f(x)＝eax－x.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥eaxlnx－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．【训练三】设函数f(x)＝eq\f(1－a,2)x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若对任意a∈(4,5)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有eq\f(a－1,2)m＋ln2>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．【训练四】设函数f(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(e,ex)，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)证明：当x>1时，f(x)>0；(2)讨论g(x)的单调性；(3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．【训练五】f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．【训练六】f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．四、【强化测试】【解答题】1.已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1).若对任意x＞0都有f(x)＞ax成立，求实数a的取值范围.2.设函数f(x)＝ax2－xlnx－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.3.已知a∈R，f(x)＝alnx＋x2－4x，g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝eq\f(x2,2)－(m＋1)x＋mlnx＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．5.已知函数f(x)＝x(mex－1)．(1)当m＝1时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)当x>0时，f(x)≥x2－2x，求实数m的取值范围．6.设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx(a∈R).(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．7.设函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(a为常数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围．8.已知函数f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤eq\f(－x2＋mx－3,2)成立，求实数m的最小值．9.已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当x∈[1，e]时，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围．11.已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．12.设函数f(x)＝lnx－ax(a>0)．(1)判断f(x)的单调性；(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围．13.已知函数f(x)＝axex－x2－2x.当x>0时，若曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方，求实数a的取值范围．14.已知函数f(x)＝x－1－alnx(a<0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))，求实数a的取值范围．15.已知f(x)＝2xlnx＋x2＋ax＋3.(1)当a＝1时，求曲线y