北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》（新课标同步教学设计）

生命不息，学习不止。知识无涯，进步无界!Shengmingbuxi,xuexibuzhizhishiwuya,jingbuwujie！第第页北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》（新课标同步教学设计）一、个人备课情况第一章本章所需课时数11课时课标要求1.掌握以下基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；（8）三边分别相等的两个三角形全等.2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.3.探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.4.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.5.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.7.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.8.探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.9.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.10.了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.11.通过实例体会反证法的含义.12.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式.13.尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；过一点作已知直线的垂线.教材分析本章继续依据“平行线的证明”一章中给出的基本事实和已经证明过的定理证明与三角形有关的一些几何命题.本章由4节构成.第1节主要证明等腰三角形、等边三角形的性质定理及判定定理，并在这一过程中结合实例体会反证法的意义；第2节主要证明直角三角形的性质定理和判定定理，结合具体例子了解原命题及其逆命题的概念，探索并证明判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；第3节主要证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并用尺规作等腰三角形；第4节主要证明角平分线的性质定理和判定定理.主要内容本章内容主要包括：等腰三角形（含等边三角形）的性质定理及判定定理；直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理；判定三角形全等的“角角边”定理，以及判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.教学目标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，掌握综合法的证明方法；结合实例体会反证法的含义.3.证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.4.证明判定三角形全等的“角角边”定理；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.6.已知底边及底边上的高线，能用尺规作出等腰三角形；已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形；能用尺规过一点作已知直线的垂线.7.发展勇于质疑，严谨求实的科学态度.教学重难点教学重点：1.与三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质及判定定理的证明；2.逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立；3.已知底边及底边上的高时能用尺规作出等腰三角形.教学难点：直角三角形的性质定理及判定定理，反证法的理解与应用.教与学建议1.使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性.2.注重对证明思路的启发，关注学生的独立思考.3.要求学生掌握证明的基本要求和方法.4.注意数学思想在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发.5.依据《标准》和教材的基本要求，把握好证明题的难度.章节课时分配1等腰三角形（4课时）第1课时三角形全等与等腰三角形的性质第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形2直角三角形（2课时）勾股定理及其逆定理直角三角形全等的判定3线段的垂直平分线（2课时）线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的综合应用4角平分线（2课时）角平分线的性质与判定角平分线的综合应用

1等腰三角形第1课时三角形全等与等腰三角形的性质课题第1课时三角形全等与等腰三角形的性质授课类型新授课授课人教学内容课本P2-5教学目标1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3．情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。教学准备学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；教师课前准备：制作好的几何画板课件.教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：情景1：欣赏生活中各种建筑物的图片，体会等腰三角形在生活中随处可见。（课件播放）情景2：建筑工人在盖房子的时候，要看房梁是否水平，通常用一块等腰三角板放在房梁上，从顶点悬挂一个铅垂，他们说：若悬挂铅垂的绳子（铅垂线）正好经过等腰三角板底边的中点，那么房梁就是水平的。师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。1.回顾所学的等腰三角形的有关概念，并在等腰三角形中指出腰、底边、顶角、底角。2.建筑工人的说法、做法对吗？为什么？3.你们想知道这其中的道理吗？这就是我们今天所要研究的内容——等腰三角形的性质。（板书课题：第1课时三角形全等与等腰三角形的性质）从学生的生活实际和知识水平出发，设置悬念，激发学生思考，启动学习所必需的先前经验，唤起学生的学习需要，促使学生“愿闻其详”，为下面探究等腰三角形的性质拉开序幕。2.实践探究，学习新知【探究1】证明全等三角形的判别条件“AAS”师生活动：教师引导学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.教师提问：已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明全等三角形的判别条件“AAS”.教师注意适时引导.学生总结：已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF，∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF（ASA）.（学生板书）【探究2】探索等腰三角形的性质学生活动：同学们做实验：把各自准备的等腰三角形对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，并认真观察，独立思考，解决以下问题。教师提问：问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？问题2：其对称轴在哪里？沿着对称轴对折有哪些重合的线段和角？重合的线段重合的角AB,AC∠BAD,∠CADBD,CD∠ABD,∠ACDAD,AD∠ADB,∠ADC问题3：从上表中你能猜想等腰三角形具有什么性质吗？师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结等腰三角形的性质.教师注意适时引导.【归纳总结】师生共同归纳，总结如下：等腰三角形的性质：1.等腰三角形是轴对称图形.2.性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.推论：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。【探究3】证明等腰三角形的两底角相等教师提问：1.根据我们一直以来的方法，先观察，猜想性质，然后用几何知识论证性质，那么要证明一个命题的第一步是什么？（引导学生分析等腰三角形性质的条件和结论，画出图形，写出已知和求证）2.证明两个角相等，我们有哪些方法？3.如图，通过折叠等腰三角形纸片，你认为用什么方法来证明∠B=∠C？（引导学生观察折纸，添加辅助线，构造两个全等三角形）师生活动：在学生小组合作的基础上，根据折纸过程,经过讨论分析，学生自主证明等腰三角形的两底角相等.教师注意适时引导.学生总结：学生可能会通过以下方法来证明（教师在学生充分讨论的基础上归纳证明方法）：方法1：作顶角的平分线AD，证：△ABD≌△ACD（SAS）已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：作∠A的平分线AD，交BC于点D.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD,∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.方法2：作△ABC的中线AD，证：△ABD≌△ACD（SAS）已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：取BC的中点D，连接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.方法3：证△ABC≌△ACB（把一个三角形看成是两个三角形）.已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.教师追问：你能用几何语言表示等腰三角形的性质吗？学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师适时引导.师生总结：性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).（教师板书）性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．（教师板书）经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备.证明这个推论（AAS），可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。通过折纸活动过程，引导学生探索得到等腰三角形的性质.同时让学生思考得到的命题是否可以证明.和学生一起完成性质定理的证明,可以让学生自主经历命题的证明过程;明晰证明过程,给学生一定的规范,起到一种引领作用,力图让学生形成拓广命题的意识.3.学以致用，应用新知考点1全等三角形的性质定理与判定定理例如图，是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A.70°B.70°或60°C.65°D.60°答案：B变式训练如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC答案：C考点2等腰三角形的性质定理例等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是()A.35°B.40°C.70°D.110°答案：A变式训练【新定义—新概念问题】定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为.答案：36°或90°考点3等腰三角形的性质定理的推论例如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，如果∠B=50°，那么∠DAC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°答案：B变式训练若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为cm2.答案：或通过例题讲解，巩固理解全等三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用全等三角形的判定定理解决问题。通过例题讲解，巩固理解“等腰三角形的两底角相等（等边对等角）”的性质。通过变式训练巩固所学知识，体会分类讨论思想在利用等腰三角形的性质解决有关计算问题时的作用。通过例题讲解，巩固理解等腰三角形“三线合一”的性质。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用“三线合一”解决问题。4.随堂训练，巩固新知1.如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为()A．10°B．15°C．25°D．30°答案：B2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为()A．80°B．110°C．120°D．80°或110°答案：D3．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D．（1）BE与CE相等吗？请说明理由；（2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数．解：（1）BE＝CE，理由如下：在△ABE和△DCE中，∠A=∠DAE=DE∴△ABE≌△DCE（ASA），∴BE＝CE；（2）由（1）知，BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°，∴∠EBC+∠ECB＝50°，∴∠EBC＝25°．4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若AB=5，CD=4.求：（1）△ABD的周长.（2）△ABC的面积解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD=4,AD⊥BC.在Rt△ABD中，AD=AB2∴△ABD的周长为AB+BD+AD=5+4+3=12.（2）∵BD=CD=4，∴BC=8，∴△ABC的面积=12BC·AD=1为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善通过本节课的学习，你学到了哪些知识？证明两个三角形全等的方法：两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等、对应角相等.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P4习题1.1中的T1—T6。课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第1课时三角形全等与等腰三角形的性质一、全等三角形的判定二、等腰三角形的性质投影区1性质2.推论学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思本节课围绕着“等腰三角形”这条主线，让学生通过动手操作、动眼观察、动口表述、动脑思考来参与学习过程，既重视了知识的形成过程，又重视了学生思维的发展过程；既重视了能力培养，又重视了学生情感的产生和保持。本节课关注了学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，取得了较好的教学效果。不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。反思，更进一步提升。

1等腰三角形第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形课题第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形授课类型新授课授课人教学内容课本P5-7教学目标1．知识目标：①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段；②进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；3．情感与价值观目标①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲；②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．教学重难点重点：熟练推导等腰三角形中相等的线段，理解等边三角形的性质难点：灵活利用等腰三角形的性质解决问题，规范证明过程.教学准备课件、三角尺、等腰三角形纸片教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：下面是我们日常生活中经常能见到的事物，观察下面图形：（课件播放）师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。教师提问：1.等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？2.回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？（板书课题：第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形）通过生活中的具体图片，激发学生学习兴趣，引出等边三角形的概念，为后续研究等边三角形的性质作铺垫.2.实践探究，学习新知【探究1】探索等腰三角形中的相等线段在回顾等腰三角形的性质的基础上，提出问题：等腰三角形中除了“三线”之外还有一些角平分线、中线、高等，在等腰三角形中画出它们，观察并比较它们的大小.师生活动：观察在等腰三角形中作出的线段(如角平分线、中线、高等)，请找出其中有哪些相等的线段.通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.【归纳总结】通过作图观察，我们可以发现：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．【探究2】证明等腰三角形中的相等线段教师提问：如何检验你认为相等的线段确实相等？尝试给出证明.1.证明：等腰三角形两腰上的中线相等.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两腰上的中线相等.教师注意适时引导.已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的中线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD和CE是△ABC的中线，∴CD=AC，BE=AB，即CD=BE.在△BDC和△CEB中，∵BC=CB，∠ABC=∠ACB，CD=BE，∴△BDC≌△CEB（SAS）.∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）2.证明：等腰三角形两腰上的高相等.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两腰上的高相等.教师注意适时引导.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD和CE是△ABC的高，∴∠BDC=∠CEB.在△BDC和△CEB中，∵∠BDC=∠CEB，∠ABC=∠ACB，BC=CB，∴△BDC≌△CEB（AAS）.∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.【探究3】等腰三角形中相等线段的拓展教师提问：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？教师引导：由上可知把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC和AB上.如果∠ABD=EQEQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQEQ\F(1,3)∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=EQ\F(1,4)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,4)∠ACB呢？由此，你能得到一个什么结论?教师点拨：在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,3)∠ACB,所以∠ABD=∠ACE．那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明BD=CE.教师注意适时引导.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．又∵∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC,∠ACE=EQ\F(1,3)∠ACB,∴∠ABD=∠ACE．在△BDC和△CEB中，∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)学生归纳：如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=EQ\F(1,4)∠ABC，∠ACE=∠EQ\F(1,4)∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．教师追问：如果∠ABD=∠EQ\F(1,n)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,n)∠ACB呢？学生归纳：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠EQ\F(1,n)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,n)∠ACB，就一定有BD=CE成立．教师追问：如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE吗?如果AD=EQEQ\F(1,3)AC，AE=EQEQ\F(1,3)AB呢?由此你得到什么结论?学生归纳：在△ABC中，AB=AC，如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE；如果AD=EQ\F(1,3)AC，AE=EQ\F(1,3)AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，那么BD=CE．教师追问：为什么等腰三角形有类似的性质？一般三角形有类似的性质吗？学生归纳：等腰三角形是轴对称图形.【归纳结论】1.在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠EQ\F(1,n)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,n)∠ACB，就一定有BD=CE成立．2.在△ABC中，AB=AC，AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，就一定有BD=CE成立．【教材例题】证明：等腰三角形两底角的平分线相等.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两底角的平分线相等.教师注意适时引导.已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠1=12∠ABC，∠2=12∠∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.【探究4】等边三角形的性质想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等边三角形的性质.教师注意适时引导.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）.又∵AC=BC，∴∠A=∠B（等边对等角）.∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）.∴∠A=∠B=∠C=60°.【归纳总结】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.回顾等腰三角形的性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容。同时让学生让学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的.通过此探究检验学生的掌握情况，锻炼学生的思维能力和知识的整合能力。提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。通过例题讲解，证明等腰三角形的的两底角的平分线相等的特殊性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过证明等边三角形的性质让学生进一步体会证明的必要性，牢记性质，并能灵活应用.3.学以致用，应用新知考点1等腰三角形中的相等线段例在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是()A.BC边上的高和中线互相重合B.AB，AC边上的中线相等C.在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D.AB，BC边上的高相等答案：D变式训练如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点，则BM，CM的数量关系是.答案：BM=CM考点2等边三角形的性质定理例如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°答案：B变式训练如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝4，则AD的长为.答案：43通过例题讲解，巩固理解等腰三角形的性质。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用等腰三角形的性质解决相关计算。4.随堂训练，巩固新知1.如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为.答案：32.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E.求证:DE=DF.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BDF和△CDE中，BD=DC，∠B=∠C，∠BFD=∠CED，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF.3.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC．又∵AE＝BD，∴△AEC≌△BDA（SAS）．∴AD＝CE.（2）∵△AEC≌△BDA，∴∠ACE＝∠BAD，为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善证明两个三角形全等的方法：两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等、对应角相等.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P4习题1.2中的T1—T4.课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第1课时三角形全等与等腰三角形的性质一、全等三角形的判定二、等腰三角形的性质投影区1性质2.推论学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力．反思，更进一步提升。

1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法课题第3课时等腰三角形的判定与反证法授课类型新授课授课人教学内容课本P8-10教学目标1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。4.培养学生的逆向思维能力。教学重难点重点：等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义.难点：运用“等边对等角”解决实际应用问题及相关证明.教学准备课件、三角尺、等腰三角形纸片教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课【情景1】展示生活中的数学问题：某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．师生活动：同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？地质学家是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．【情景2】欣赏故事“道旁苦李”：《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然.师生活动：说说这个故事和数学知识间的联系.（板书课题：第3课时等腰三角形的判定与反证法）通过生活实际问题引入等腰三角形的判定，来激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到学习等腰三角形的判定是实际需要，进而顺利引入新课。通过生活中的“道旁苦李”的小故事引入反证法，激发学生学习数学的兴趣，使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。2.实践探究，学习新知【探究1】等腰三角形的判定教师提问：问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2：我们是如何证明上述定理的？问题3：前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你有几种证明方法？师生活动：学生自主探究等腰三角形的判定条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等腰三角形的判别条件.已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师点拨：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.证法一：证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.证法二：证明：过点A作BC的垂线，垂足为点D.∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.【归纳总结】定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边）【探究2】反证法教师提问：我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论呢?想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，自主证明上述结论.教师注意适时引导.如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.教师引导：这道题的证法有什么特点呢?引出反证法。【归纳总结】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法.用反证法证明的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【教材例题】例1如图,已知AB=DC,BD=CA.求证:△AED是等腰三角形.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明，教师注意适时引导.证明:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA.∴∠ADB=∠DAC(全等三角形对应角相等),∴AE=DE(等角对等边),∴△AED是等腰三角形.在解答过程中，教师应关注学生的思考过程，引导学生分析解决问题的方法.例2反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.已知:△ABC,求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明一个三角形中不能有两个角是直角.教师注意适时引导.证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立.所以,一个三角形中不能有两个角是直角.引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径.同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫.让学生明确用综合法证明本结论是行不通的,从而产生要探究一种新方法的欲望,结合课本中小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用.通过例题讲解，巩固“全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理”.一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。以例题形式展示用反证法证明命题的过程.让学生感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.3.学以致用，应用新知考点1等腰三角形的判定定理例如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C变式训练如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求B处与灯塔C距离．解：∵∠NBC是△ABC的外角∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°∴∠C＝∠BAC∴BC＝BA＝18×10＝180（海里）因此B处与灯塔C距离是180海里．考点2反证法例如已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②答案：D变式训练用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°．根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°．则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．通过例题讲解，巩固理解等腰三角形的判定定理（等角对等边），一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用等腰三角形的判定定理解决问题。通过例题讲解，巩固理解反证法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活运用反证法进行证明。4.随堂训练，巩固新知1.选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（）A．∠A≤45°，∠B≤45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45°答案：D2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于15，即都小于15，那么a1+a2+a3+a4+a5<5×15=1，这与已知a1+a2+a3+a4+3已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角EAC，求证：AB＝AC．证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC，∵AD平分外角EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．4.已知：如图△ABC中AB＝6cm，AC＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．（1）求证：△DFC是等腰三角形；（2）求△AEF的周长．解：（1）证明：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠BCD，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBE，∴∠EDB＝∠DBE，∴DE＝BE，∵DF＝FC，∴△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AE+AF+BE+FC＝AB+AC，∵AB＝8cm，AC＝6cm，∴AB+AC＝8+6＝14（cm），∴△AEF的周长为14cm．为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善通过本节课的学习，你学到了哪些知识？证明两个三角形全等的方法：两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等、对应角相等.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P4习题1.2中的T1—T4.课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第1课时三角形全等与等腰三角形的性质一、全等三角形的判定二、等腰三角形的性质投影区1性质2.推论学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力．反思，更进一步提升。

1等腰三角形第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形课题第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形授课类型新授课授课人教学内容课本P10-13教学目标1．知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2．能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。3．情感与价值观目标①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重难点重点：①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.难点：①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.教学准备课件、三角尺、等腰三角形纸片教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：欣赏几组图片(课件展示):同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.教师提问：(1)图中的三角形有什么特点？(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？(3)等边三角形有哪些特点？(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？师生活动：先让学生观察，给学生1分钟思考的时间，然后找学生回答。教师可让同学代表充分发表自己的看法。在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，先确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这时教师可以适时提出问题：如果在已知一个三角形是等腰三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？（板书课题：第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形）通过生活中的图片引入等边三角形，来激发学生学习数学的兴趣，并提出等边三角形的判定问题。在明确重点的同时，激发学生的求知欲，精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。2.实践探究，学习新知【探究1】探究等边三角形的判定方法师生活动：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件.教师提问：问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形，还有其他的判定方法吗？你能证明吗？问题2：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?问题3：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流.问题4：完成表格.名称性质判定等边三角形问题5：总结等边三角形的判定方法.师生活动：学生积极思考，通过老师的点拨，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形.教师追问：前两个定理的形式相近，能否用更简捷的语言描述这个结论吗?学生总结：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。【归纳总结】名称性质判定等边三角形等边三角形三条边都相等三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形三个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【探究2】探究含30°角的直角三角形的性质教师提问：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．师生活动：在学生小组合作的基础上，经过动手操作讨论分析，自主探究结论.教师注意适时引导.学生一般可以得出下面两种图形：其中图（1）是等边三角形，学生根据此图可以得出BD=EQ\F(1,2)AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形.教师追问：如何用几何语言表示上述定理？几何语言：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝.你能证明这个定理吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=EQ\F(1,2)AB．分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠B=60°.延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC=EQ\F(1,2)BD=EQ\F(1,2)AB．教师追问：该定理的作用是什么？学生总结：该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度。【教材例题】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.求证：CD=12AB师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导.证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴CD=12AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴CD=12AB等边三角形的判定方法是本节课的重点。通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识。条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用。让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法。这样在难点的突破更具有直观性和可操性。通过例题讲解，巩固理解“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。3.学以致用，应用新知考点1等边三角形的判定例下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形答案：A变式训练如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝时，△AOP为等边三角形．答案：a考点2含30°角的直角三角形的性质例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝.答案：8变式训练已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm．求BC的长．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8（cm），∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4cm∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm）．通过例题讲解，巩固理解等边三角形的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。4.随堂训练，巩固新知1.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1答案：B2.如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（）A．5B．6C．8D．10答案：A3.如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6答案：D4.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF.求证：△ABC是等边三角形证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°，∵∠B=60°，∴∠D=30°.∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角），∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°，∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善通过本节课的学习，你学到了哪些知识？1.三角形的判定方法：三边相等的三角形是等边三角形.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.2.等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.3.直角三角形中，如果一个锐角等于30º那么它所对的直角边等于斜边的一半.通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P12习题1.4中的T1—T5.课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形一、等边三角形的判定定理二、含30°角的直角三角形的一个性质投影区学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。反思，更进一步提升。

2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理课题第1课时勾股定理及其逆定理授课类型新授课授课人教学内容课本P14-18教学目标1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．2．能力目标：（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．教学重难点重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．教学准备教师准备：课件、多媒体；学生准备；练习本；教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：如图是在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？你对这类三角形有那些了解呢？（板书课题：第1课时勾股定理及其逆定理）通过生活中的图片引入直角三角形，来激发学生学习数学的兴趣,使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。2.实践探究，学习新知【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理教师提问：问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？师生活动：学生自主交流探究各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明.证明：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.【归纳总结】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.数学符号语言如下：∵在△ABC中，∠A+∠B=90°（已知）∴△ABC是直角三角形.【探究2】勾股定理及其逆定理的证明师生活动：教师提出问题，学生自主交流探究各自的结论，教师适时引导学生给出相对规范的证明.教师提问：直角三角形的三条边有怎样的数量关系？你能证明吗？已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导.证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．∴四边形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，∵AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2.教师追问：反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形．教师点拨：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC(如图)，则A′B′2＋A′C′2＝BC′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′＝AC，∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC是直角三角形．【归纳总结】勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【探究3】互逆命题和互逆定理教师提问：议一议：观察归纳总结中的两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?学生归纳：勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件.教师提问：再观察下面三组命题：1.如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.2.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.3.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.它们的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴交流.师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．教师追问：请同学们判断上面三组原命题的真假．逆命题呢?师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．教师追问：能举例说出我们已学过的互逆定理?师生活动：根据学生的回答情况引导归纳：如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．【归纳总结】1.互逆命题：如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.2.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.3.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.4.不是所有的定理都有逆定理，只有这个定理的逆命题是真命题时，才能称这个逆命题是逆定理.5.互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题.让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明.让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明学生有一定的难度，教师应引导学生证明.勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，《标准》也只要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，并没有要求证明，因此教学时只要学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求.教师通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念.教师引导学生得出互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题。3.学以致用，应用新知考点1直角三角形的性质及其判定定理例具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C答案：B变式训练下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．1.5，2，2.5 B．5，12，14 C．30，40，50 D．1，2，3答案：B考点2互逆命题、互逆定理例下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B变式训练命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是，该命题是命题（填真或假）．答案：如果a2＝b2，那么a＝b假通过例题讲解，巩固理解直角三角形的性质定理、判定定理、互逆命题、互逆定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。4.随堂训练，巩固新知1.命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是.答案：若﹣a＝﹣b，则a＝b2.如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC等于（）A．54° B．62° C．72° D．76°答案：C3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.解:（1）逆命题：多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.（2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真命题.（3）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.4．如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD上BD，已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为.答案：24为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善通过本节课的学习，你学到了哪些知识？这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P17习题1.5中的T1—T5.课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。板书设计第1课时勾股定理及其逆定理一、直角三角形的勾股定理二、勾股定理的逆定理三、互逆命题、互逆定理投影区学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.反思，更进一步提升。

2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定课题第2课时直角三角形全等的判定授课类型新授课授课人教学内容课本P18-21教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．教学重难点教学重点：理解并掌握三角形全等的判定方法—“斜边、直角边”定理。教学难点：经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”解决有关问题。教学准备教师准备：课件、多媒体；学生准备：三角尺教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：学校文艺汇演的舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.教师提问：1.如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？2.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？（板书课题：第2课时直角三角形全等的判定）从学生熟悉的校园舞台背景中给出关于直角三角形全等的问题情境，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习兴趣。这里因为工具的限制为HL定理的引入作了很好铺垫，通过问题驱动的方式为后面验证的过程埋下伏笔。2.实践探究，学习新知【探究1】如图1，已知∠CAB=∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由.师生活动：在学生解答问题时，教师鼓励学生思考不同的方法，并由学生展示不同的解决方案，说明依据.教师引导：如果有学生提出添加条件BC=AD，那么教师可引导学生观察这两边与∠CAB和∠DBA的位置关系，分析这种方法是否可行，从而转入下一环节；如果没有学生提出这种添加方法，教师也可以主动提出.【归纳总结】（1）可以通过添加AC=BD，利用三角形全等条件SAS说明两个三角形全等；（2）可以添加∠C=∠D，利用三角形全等条件AAS说明两个三角形全等；（3）可以添加∠CBA=∠DAB，依据ASA说明两个三角形全等.【探究2】做一做（小组合作完成）已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段a，c（a<c），直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主作图.（1）作∠MCN=∠α=90°.（2）在射线CM上截取CB=a.（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.（4）连接AB，得到Rt△ABC.教师提问：小组比较作出的直角三角形是否全等，由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法？尝试用规范的数学语言概括你的发现.并证明它的正确性.【归纳总结】定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【探究3】证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.师生活动：1