第08讲难点探究专题一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)

第08讲难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)目录TOC\o"13"\h\u【类型一一次函数图象共存综合问题】 1【类型二一次函数含参数中的图象和性质】 4【类型三一次函数中平移问题】 9【类型四一次函数中的规律探究问题】 14【类型五一次函数——分段函数】 18【类型六绝对值的一次函数】 21【类型七新定义型一次函数】 27【类型一一次函数图象共存综合问题】例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（

）A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解．【详解】解：①、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则①错误，故不符合题意；②、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则②正确，故符合题意；③、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则③错误，故不符合题意；④、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则④正确，故符合题意，故选D．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像正确，该选项符合题意；B、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；C、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；D、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的图象是（

）A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答．【详解】解：A、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，符合题意；B、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；C、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；D、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意；B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意；C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意；D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是()A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．【详解】A、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故选项A不符合题意；B、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，但无法判断正负，因此增减都可以，故选项B符合题意；C、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的下方，故选项C不符合题意；D、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故选项D不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像与性质是解决本题的关键．【类型二一次函数含参数中的图象和性质】例题：（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y关于x的函数（k是常数，），下列结论中正确结论的序号是（

）①其图象是一条直线；

②其图象必经过点；③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是；④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论．【详解】解：∵（k是常数，），∴y是关于x的一次函数，其图象是一条直线，故①正确；当时，，∴其图象必经过点；故②正确；当其图象经过第二、三、四象限时，，解得：，故③正确；若y随x的增大而增大，则：，∴，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上，故④正确；故选A．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（

）A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2；B．若，则一次函数图象上任意两点和满足：C．一次函数的图象不一定经过第三象限D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或【答案】D【分析】根据一次函数的性质和图象求解即可．【详解】解：A、把代入得：，解得：，∴，当时，，时，，如图所示，∴与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错；B、∵，∴，∴一次函数y随x增大而增大，如图所示，∴若，则，∴，故B错；C、假设一次函数不经过第三象限，则需，，由B得：当时，，∴一次函数的图象一定经过第三象限，故C错；D、当时，要想，则，解得：，即，如图所示，当时，要想，则即可，如图所示，综上所述：k的取值范围是或，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键．2．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数图象经过第一、二、三象限B．当时，随的增大而增大C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴D．函数图象一定经过点【答案】D【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．【详解】解：A.当时，，函数图象经过第一、三、四象限，故A错误，不符合题意；B.当时，随的增大而减小，故B错误，不符合题意；C.当时，，函数图象一定交于轴的正半轴，故C错误，不符合题意；D.把代入得，，所以函数图象一定经过点，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．当时，随着的增大而减小 B．当时，随着的增大而增大C．当时，图象一定经过点 D．当时，图象一定经过点【答案】D【分析】由题意知，当时，随着的增大而增大，进而可判断A的正误；当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；当时，，当，，即图象经过点，进而可判断C的正误；当时，，当，，即图象一定经过点，进而可判断D的正误．【详解】解：由题意知，当时，随着的增大而增大，A错误，故不符合要求；当时，随着的增大而减小，B错误，故不符合要求；当时，，当，，即图象经过点，C错误，故不符合要求；当时，，当，，即图象一定经过点，D正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于的一次函数（k为常数且），①当时，此函数为正比例函数；②无论取何值，此函数图象必经过；③若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；④无论取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据一次函数的性质依次判断即可．【详解】解：①当时，则，为一次函数，故①错误；②整理得：，∴时，，∴此函数图象必经过，故②正确；③把和代入中，得：，得：，解得：，故③错误；④当时，即，则，∴此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键．5．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）关于一次函数，现给出以下结论：①当时，的值随着值的增大而增大；②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则；③若点和均在该函数图象上时，则；④若它的图象与直线是关于轴对称，则．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【分析】利用函数的增减性质可判断①；利用平移的性质可判断②；把两个点的坐标分别代入，解方程组消去m，可判断③；根据轴对称的性质可判断④．【详解】解：①当时，则，故的值随着值的增大而增大；故①说法正确；②将该函数图象向下平移2个单位后，得到，则，，解得，故②说法错误；③若点和均在该函数图象上时，则，解得，故③说法错误；④直线与轴交于点，与轴交于点，依题意得，，解得，故④说法正确；综上，正确的说法有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键．【类型三一次函数中平移问题】例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解．【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，得。，解得：。∴直线对应的函数表达式为（2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，∴直线对应的函数表达式为：，∵直线分别与轴、轴交于点C、D．令，得，令，得，∴.∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）若点在直线上，把直线的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．【答案】【分析】把点代入中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可．【详解】点代入中，得，解得，∴直线的解析式为，∴的图像向上平移2个单位得到的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．【答案】【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入，即可求出m的值．【详解】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，∴平移后的直线与x轴交于，∴，解得，故答案为．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）．【答案】①④/④①【分析】根据一次函数图象的平移规律逐个判断即可得．【详解】解：①把向下平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确；②把向上平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误；③把向左平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误；④把向右平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确；综上，正确的说法是①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________．【答案】8【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积．【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、．由图象和题意可得，，，，则，，矩形的面积为．故答案为：8．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标．【答案】【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求的坐标，根据平移的性质，可得四边形是平行四边形，根据线段在平移过程中扫过的图形面积为，可得点的坐标，由此可知点的平移规律，由此即可求解．【详解】解：如图，连接，对于直线，令，∴，令，∴，∴，，∴，．∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，又∵点向下平移个单位，向左平移个单位得到，∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到，∴．【点睛】本题主要考查一次函数图像的变换，理解并掌握一次函数平移的特点，平行四边形的性质是解题的关键．6．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得，，解得：，∴平移后的函数表达式为：；（2）解：由，令，解得，令，解得：，如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点，则∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．【类型四一次函数中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；的坐标是_____．【答案】（7，8）（2n11，2n1）【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解．【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，正方形A2B2C2C1的边长为2，正方形A3B3C3C2的边长为4，…正方形AnBnCnCn1的边长为2n1，∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n11，2n1），故答案为：（7，8），（2n11，2n1）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图、、都是等腰直角三角形，直角顶点、，均在直线上，直线的解析式为，点的横坐标为，根据此规律第个等腰直角三角形的面积为_____________．【答案】【分析】分别过点、，作轴的出现，垂足分别为，先求得，,，找到规律即可求解．【详解】解：如图所示，分别过点、，作轴的出现，垂足分别为，∵在，且的横坐标为1∴,∴，设，则，∴的横坐标为，∴，代入，即，解得：，∴，同理可得，……，∴，,……，∴根据此规律第个等腰直角三角形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数规律题，找到规律是解题的关键．2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则______，则______．【答案】1675【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解．【详解】解：∵、、，…，在直线上，∴，，，，…，；又∵，故∴；；；；…∴S（n为奇数），（n为偶数），∴．故答案是：1；675．【点睛】本题考查一次函数上点的坐标特征，根据特殊点的坐标得到变化规律是解决问题的关键．3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形．（1）线段的长度为_________；（2）点的坐标为_________；（3）线段的长度为_________．【答案】（22021，0）【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，设An的坐标为（an，0），由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n1．即可求得A2022的坐标B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020．【详解】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，∵点B1，B2，B3，…是在直线y=x（x≥0）上的第一象限内的点，∴∠AnOBn=30°，又∵△BnAnAn+1为等边三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，∴BnBn+1=OBn=an，∵点A1的坐标为（1，0），设An的坐标为（an，0），∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，∴an=2n1．∴A2022（22021，0）．∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020．故答案为：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020．【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n1．【类型五一次函数——分段函数】例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：x…10123456…y…

﹣2

﹣1

0

2

2

2…（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有．①函数图象关于y轴对称；②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝．【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；（2）根据函数图像进行逐一判断即可；（3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．【详解】解：（1）列表如下：x…10123456…y…﹣2﹣1012222…函数图像如下图所示：（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；故答案为：②③；（3）∵直线与函数只有一个交点，∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．【变式训练】1．（2022·吉林松原·八年级期末）已知函数，（1）该函数图象与轴交点的纵坐标是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）若点是该函数图象上一点，点的坐标是．当的面积为时，求点的坐标；（4）当直线与该函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）点或；（4）且【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解；（2）根据两点法画出函数图像；（3）分两种情况讨论：设点P（m，m−3），当m＞3时，×AO×（m−3）＝6；当m＜3时，×AO×（3−m）＝6，分别求出m即可求解；（4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，所以k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点；当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，所以k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，即可求出k的取值范围．【详解】解：（1）解：（1）令x＝0，则y＝3，∴函数图象与y轴的交点为（0，3），∴函数图象与轴交点的纵坐标是：3，故答案是：3；（2）如图：（3）当时，设点，∵的面积∴，解得：，∴点；

同理，当时，点；

综上，或；（4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，此时直线y＝kx＋1与函数有一个交点，∴k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，∴k＝，∵直线y＝kx＋1经过点（0，1），∴k＞，∴k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，∴＜k＜1且k≠0直线y＝kx＋1与函数有两个交点．【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握两点法画函数图象，数形结合解题是关键．【类型六绝对值的一次函数】例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．x…－10123…y…b1012…下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数的自变量x的取值范围是______；(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)函数的最小值为____________．(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．【答案】(1)任意实数(2)2(3)见解析(4)0(5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把x=1代入函数解析式，求出y的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论．（5）根据函数图象解答即可．（1）∵x无论为何值，函数均有意义，∴x为任意实数．故答案为：任意实数；（2）∵当x=1时，y=|11|=2，∴b=2．故答案为：2；（3）如图，（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．故答案为：0．（5）x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是；(2)下表是x与y的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值为；(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．【答案】(1)任意实数(2)1(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；（2）根据函数解析式可以得到m的值；（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．（1）解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，故答案为：任意实数；（2）解：当x=2时，m=|2+1|=1，故答案为：1；（3）解：描点、连线，画出函数的图象如图：；（4）解：由函数图象可知，①函数有最小值为0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点（1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．2．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行探究．(1)在函数中，自变量x的取值范围是_________．(2)下表是x与y的对应值：x…0123……432m234…①________；②若为该函数图象上不同的两点，则__________﹔(3)在如图的直角坐标系中：①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．【答案】(1)x的取值范围是全体实数(2)①﹐②(3)①见解析；②1；③函数关于y轴对称【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数（2）①把x=0代入函数即可求得m的值②y=10代入函数即可求得n（3）①作图见解析②由图可见最小值为1③言之有理即可．【详解】解：（1）自变量x的取值范围是全体实数；（2）①﹐②﹔（3）①图象如图所示．②最小值为1；③函数关于y轴对称（或当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小）【点睛】本题考查一次函数的性质和自变量、应变量的变化取值，掌握这些是本题关键．3．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：；（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析．【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象：（2）根据图象得出结论；（3）根据平移的性质即可求得．【详解】解：（1）列表：01233210123描点、连线画出函数的图象如图：（2）由图象可知，当时，随的增大而增大（答案不唯一），故答案为当时，随的增大而增大（答案不唯一）；（3）函数是由函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图象如图所示．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．【类型七新定义型一次函数】例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．例如，一次函数，它的“和谐函数”为．(1)一次函数的“和谐函数”为______；(2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得；（2）先求出函数y=3x2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x值，再根据题意可得不等式组−<b1≤2或−≤b+3<2，解不等式组即可．（1）解：根据“和谐函数”定义得：一次函数的“和谐函数”为，故答案为：．（2）解：函数y＝3x－2的和谐函数是如图1和如图2所示由－3x＋2＝4，得x＝由3x－2＝4，得x＝2∵点A的坐标为（b－1，4）点B的坐标为（b＋3，4）∴AB＝4，AB∥x轴∵函数y＝3x－2的和谐函数与线段AB有且只有一个交点，∴有两种情况：①解得②解得综上所述，b的取值范围是或【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，理解“和谐函数”的含义并熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点(1)点的“关联点”为，则______；(2)①如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为______；②如果点是一次函数图象上点的“关联点”，求点的坐标【答案】(1)(2)①；②点的坐标是或【分析】（1）根据“关联点”的定义解答即可；（2）①根据“关联点”的定义解答即