函数的应用（一）4种常见考法归类（原卷版）

函数的应用（一）4种常见考法归类1、常见的函数模型（1）一次函数模型形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意：①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；②一次函数的图像是一条直线．（2）二次函数模型形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．（3）分段函数模型这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝eq\f(k,x)，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．（4）对勾函数模型这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝eq\f(k,x)，k≠0)模型的综合．2、利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．3、二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．4、分段函数模型的应用(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．5、应用函数y＝x＋eq\f(a,x)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq\f(b,x)叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的形式．[提醒](1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．6、解决实际应用问题的一般步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如图：考点一一元一次函数模型考点二一元二次函数模型考点三分段函数模型考点四对勾函数模型考点一一元一次函数模型1．（2023秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元．(1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式(2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．2．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2023年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？3．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．(1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）由于受到更新换代的影响，某店经销的Iphone6二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.(1)一月Iphone6每台售价为多少元?(2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种共20台，请问有几种进货方案?(3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值?考点二一元二次函数模型5．（2023·全国·高一随堂练习）某商店进了一匹服装，每件进价为60元．每件售价为90元，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．请写出每天的利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大．6．（2023·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本(2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少7．（2023秋·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.8．（2023·全国·高一随堂练习）在距A城市45km的B地发现金属矿．现知由A至某方向有一条直线铁路AX，B到该铁路的距离为27km．欲运物资于A，B之间，拟定在铁路线AX上的某一地点C筑一公路到B．已知公路运费是铁路运费的2倍，则地点C到A地的距离为多少时，总运费最低？9．（河南省安阳市20232024学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题）某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本．(1)该海水养殖场从第几年起开始盈利（总利润为正）?(2)该海水养殖场总利润达到最大时是第几年?请求出总利润的最大值．(3)该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年?请求出年平均利润的最大值．（注：总利润销售总收入经营成本投资费用）考点三分段函数模型10．（2023秋·山东临沂·高三校考期中）2023年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（己有证据表明2023年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击，防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制，思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．11．（湖北省云学新高考联盟学校20232024学年高一上学期10月联考数学试题）年，月日，华为年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新，通过市场分析，生产此款全年需投入固定成本万，每生产千部，需另投入成本万元，且由市场调研知此款售价万元，且每年内生产的当年能全部销售完.(1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式(2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少12．（2023秋·江西·高一江西师大附中校考期中）x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？13．（2023·全国·高一专题练习）麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：方案二：不收取管理费，每度元．(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？14．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:;当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.山东省普通高中大联考20232024学年高一上学期10月月考数学试题）今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2023年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.(1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）(2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？考点四对勾函数模型16．（2023·全国·高二随堂练习）工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)随着x的变化，y的变化有何规律？(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？17．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）近日，随着假期来临，常州市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣在假期间加班生产提供（万元）的专项补贴．该制衣在收到市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时该制衣生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求该制衣假期间，加班生产所获收益（万元）关于专项补贴（万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数的取值范围；(2)常州市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣假期间加班生产所获收益（万元）最大？18．（2023秋·江苏南京·高一南京市燕子矶中学校考阶段练习）某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）(1)计算k的值为多少，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数：(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少?19．（2023秋·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原