数学（选修45）练习2.1含有绝对值的不等式

第2章2.1一、选择题1．设ab＞0，下列四个不等式中，正确的是()①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.A．①和② B．①和③C．①和④ D．②和④解析：∵ab＞0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.故①和④正确．答案：C2．若当|x|≤1时都有|ax＋b|≤1，则下列不等式一定成立的是()A．|a|≤|b|≤1 B．|b|≤|a|≤1C．|a|≤1，|b|≤1 D．|a|＋|b|≤1解析：取x＝0，得|b|≤1；再分别取x＝1，－1，得|a＋b|≤1，|a－b|≤1，故|2a|＝|(a＋b)＋(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|≤即|a|≤1，同理可得|b|≤1.答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()A．5 B．4C．8 D．7解析：由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件解析：若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2.当(x＋y)(x－y)＜0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x＋y|＋|x－y|＜2，则2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|≤|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1.2|y|＝|(x＋y)－(x－y)|≤|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.答案：D二、填空题5．已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是__________.(填序号)解析：∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立．∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，④成立．答案：①②④6．有下列三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＜eq\f(2,3).其中真命题是__________.(填序号)解析：∵|a|－|b|≤|a－b|＜1，∴|a|＜|b|＋1.故①为真命题．∵|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|.故②为真命题．∵|x|＜2，|y|＞3，∴eq\f(1,|y|)＜eq\f(1,3).∴eq\f(|x|,|y|)＜eq\f(2,3).故③为真命题．答案：①②③三、解答题7．求函数f(x)＝|x－4|－|x－3|的最大值，并求出取最大值时x的取值范围．解：f(x)＝|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4x－3≥0，,|x－4|≥|x－3|，))即x≤3时，f(x)取最大值1.8．已知函数f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2.(1)求证：f(0)＝f(1)．(2)求证：|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明：(1)∵f(0)＝c，f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|xeq\o\al(2,2)－x2＋c－xeq\o\al(2,1)＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|,∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，∴0＜x1＋x2＜2.∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1，∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.一、选择题1．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.答案：B2．若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是()A．7 B．9C．5 D．11解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.答案：C二、填空题3．已知函数f(x)＝3x＋1，且当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，a＞0，b＞0，则a与b满足的关系是__________．解析：∵|f(x)－4|＝|3x－3|＝3|x－1|＜a，∴|x－1|＜eq\f(a,3).又∵当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，即当|x－1|＜b时，有|x－1|＜eq\f(a,3)，∴b≤eq\f(a,3)，即a－3b≥0.答案：a－3b≥04．已知α，β是实数，给出下列四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2)；④|α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________.(用序号表示)解析：因为|α＋β|＝|α|＋|β|成立的条件为αβ≥0，当αβ≥0时，有|α＋β|≥|α－β|，若|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2)，则|α＋β|＝|α|＋|β|＞4eq\r(2)＞5.答案：①③⇒②④三、解答题5．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.求证：|1＋b|≤M.证明：∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b∴|1＋b|≤M.6．已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．解：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；若