初中数学第六章-实数(讲义及答案)及解析

初中数学第六章实数(讲义及答案)及解析一、选择题1．有一个数阵排列如下：则第行从左至右第个数为（）A． B． C． D．2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，把记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”，关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．对于任何正整数，C．D．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.3．的算术平方根是（）A． B． C． D．4．是（）A．负有理数 B．正有理数 C．自然数 D．无理数5．下列各数-(-3),0,中,负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．现定义一种新运算：a★b=ab+a-b，如：1★3=1×3+1－3=1，那么(－2)★5的值为（）A．17 B．3 C．13 D．－177．下列说法中，正确的个数是（）．（）的立方根是；（）的算术平方根是；（）的立方根为；（）是的平方根．A． B． C． D．8．若有，则和的关系是（）A． B． C． D．9．在下列实数中，无理数是()A． B．π C． D．10．已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（）A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0二、填空题11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[4)=5，则下列判断：①[)=；②[x)x有最大值是0；③[x)x有最小值是1；④x[x)x，其中正确的是__________（填编号）．12．数轴上表示1、的点分别为A、B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是____．13．用表示一种运算，它的含义是：，如果，那么__________．14．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4，，现对72进行如下操作：72→=8→→=1，类似地：（1）对64只需进行________次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．15．若，则=__________．16．若，则的平方根_________．17．一个数的立方等于它本身，这个数是__．18．对于任意有理数a，b，定义新运算：a⊗b=a2﹣2b+1，则2⊗(﹣6)=____．19．若实数，满足，则的值______．20．任何实数，可用[a]表示不超过a的最大整数如[4]＝4，[]＝2，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x只进行3次操作后的结果是1，则x在最大值是_____．三、解答题21．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n=；II．用含m的代数式表示n=；②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作：Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换：Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换：Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．22．观察下列各式，回答问题，…．按上述规律填空：（1）＝×，＝×，（2）计算：＝．23．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．24．阅读下列材料：问题：如何计算呢？小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下：解：原式请根据阅读材料，完成下列问题：（1）计算：；（2）计算：；（3）利用上述方法，求式子的值．25．给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)的值为______，的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；②与“模二相加不变”的两位数有______个26．阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,而＜2于是可用来表示的小数部分.请解答下列问题：(1)的整数部分是_______，小数部分是_________；(2)如果的小数部分为的整数部分为求的值；(3)已知:其中是整数,且求的平方根。【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列，则第20行第10个数为426，故选B.2．C解析：C【解析】【分析】根据定义依次计算判定即可．【详解】解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；

所以选项A正确；B、=；

所以选项B正确；C、=3÷3÷3÷3=，=4÷4÷4÷4=，，则

≠；

所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；故选：C．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．3．A解析：A【分析】首先根据立方根的性质和求法，求出的值是多少；然后根据算术平方根的求法，求出的算术平方根是多少即可．【详解】解：＝，∴的算术平方根是：．故选：A．【点睛】此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要先计算出的值，再来求算术平方根，这类题比较容易出错.4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵是整数，整数是有理数，∴D错误；∵小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．C解析：C【分析】根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解【详解】解：-(-3)=3；；；；所以是负数，共3个。故选：以C.【点睛】本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质以及有理数的乘方，是基础题，熟记概念并准确化简是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据新运算的定义即可得到答案．【详解】∵a★b=ab+a﹣b，∴（﹣2）★5=（﹣2）×5﹣2﹣5=﹣17．故选D．【点睛】本题考查了基本的知识迁移能力，运用新定义，求解代数式即可，要灵活运用所学知识，要认真掌握．7．C解析：C【解析】根据立方根的意义，可知，故（）对；根据算术平方根的性质，可知的算术平方根是，故（）错；根据立方根的意义，可知的立方根是，故（）对；根据平方根的意义，可知是的平方根．故（）对；故选C.8．D解析：D【分析】根据立方根的性质得出x+y=0即可解答．【详解】解：∵，∴x+y=0故答案为D．【点睛】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：，，是有理数，π是无理数，故选B．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．10．A解析：A【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【详解】解：（﹣）2＝25，∴25的平方根是±5，﹣125的立方根是﹣5，∴a＝±5，b＝﹣5，当a＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10，当a＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，故选：A．【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．二、填空题11．③，④【分析】①[x)示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定义得[x)x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义解析：③，④【分析】①[x)示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定义得[x)x变形可以直接判断，③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，④由定义知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)x联立即可判断．【详解】由定义知[x)x≤[x)+1，①[)=-9①不正确，②[x)表示小于x的最大整数，[x)x，[x)-x0没有最大值，②不正确③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)x有最小值是1，③正确，④由定义知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，∵[x)x，∴x[x)x，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．12．【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【详解】解：设点C表示的数是x，∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，根据中点坐标公式可得：，解得：，故答案解析：【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【详解】解：设点C表示的数是x，∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，根据中点坐标公式可得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．13．【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的解析：【分析】按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的值.14．255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）解析：255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：64→=8→→=1，∴对64只需进行3次操作后变为1，故答案为3；（2）与上面过程类似，有256→=16→→=2→，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；故答案为255．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．15．【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．【详解】由题意得：，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用解析：【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．【详解】由题意得：，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．16．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案为：.【点睛】此题考查算术平解析：【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案为：.【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x与y的值是解题的关键.17．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．18．【分析】根据公式代入计算即可得到答案.【详解】∵a⊗b=a2﹣2b+1，∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.故答案为：17.【点睛】此题考查新定义计算公式，正解析：【分析】根据公式代入计算即可得到答案.【详解】∵a⊗b=a2﹣2b+1，∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.故答案为：17.【点睛】此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.19．【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，代入原式计算即可得到结果【详解】解：∵∴∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握计算的方法，准确地进解析：【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，代入原式计算即可得到结果【详解】解：∵∴∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握计算的方法，准确地进行化简求值.20．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．三、解答题21．（1）见解析；（2）①I，1；II4-m②；③2或6．【分析】（1）在数轴上描点；（2）由基准点的定义可知，；（3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，…由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n；【详解】解：（1）如图所示，（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，∴n=1；故答案为1；Ⅱ．有定义可知：m+n=4，∴n=4-m；故答案为：4-m②设点M表示的数是m，先乘以23，得到23m，再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2，∵点M与点N互为基准等距变换点，∴23m+2+m=4，∴m=；③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)…∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8），∵若P与Qn两点间的距离是4，∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，∴n=2或n=6．【点睛】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键．22．（1），；（2）.【分析】(1)观察已知等式可知等式右边为两个分数的积,其分母相等且与等式左边分母的底数相等，分子一个比分母小1,一个比分母大1,由此填空(2)根据(1)发现的规律将每个括号部分分解为两个分数的积再寻找约分规律.【详解】解：（1）＝，＝．（2）＝××…××＝×．＝．．【点睛】本题考查的是有理数的运算能力,关键是根据已知等式由特殊到一般得出分数的拆分规律和约分规律.23．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如和，和；（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．【详解】解：（1）如+＝0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；（2）∵和互为相反数，∴+＝0，∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3，∵x+5的平方根是它本身，∵x+5＝0，∴x＝﹣5，∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，∴x+y的立方根是﹣2．【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．24．（1）原式＝（2）原式＝（3）原式＝【分析】（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；（2）先把原式拆分成题（1）原式的样子，再根据（1）的拆项方法，类比得出答案即可；（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个自然数差的即可．【详解】解：（1）原式＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＝1－＝；（2）原式＝＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＝1－＝（3）原式＝×（）＝×（1－＋－＋－＋－）＝×（1－）＝×＝【点睛】本题考查算式的规律，注意分子、分母的特点，解题的关键是根据规律灵活拆项，并进一步用规律解决问题．25．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，