2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第42讲空间向量及其运算和空间位置关系学生版

第42讲空间向量及其运算和空间位置关系思维导图知识梳理1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．4．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0题型归纳题型1空间向量的线性运算【例1-1】如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是A． B． C． D．【例1-2】如图已知正方体中，是的中点，，，，，则A．，， B．，， C．，， D．，，【跟踪训练1-1】已知空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则A． B． C． D．【跟踪训练1-2】如图，是三棱锥的底面的重心，若、、，则的值为A． B． C． D．1【名师指导】进行向量的线性运算，有以下几个关键点(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系．(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．题型2共线、共面向量定理的应用【例2-1】已知空间向量，1，，，，，且，则实数A． B． C． D．6【例2-2】在四面体中，空间的一点满足，若共面，则A． B． C． D．【例2-3】已知空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，则实数的值是A．2 B．4 C． D．【跟踪训练2-1】已知，，若，则A． B． C． D．【跟踪训练2-2】已知点，2，，，4，，，，三点共线，则．【跟踪训练2-3】（在下列条件中，使与，，一定共面的是A． B． C． D．【名师指导】共线、共面向量定理的类比三点P，A，B共线空间四点M，P，A，B共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))题型3空间向量数量积的应用【例3-1】棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．（1）证明：．（2）求．（3）求的长．【例3-2】已知空间向量，，若，则实数A． B． C．1 D．2【跟踪训练3-1】已知，1，，，，，，1，，则A．18 B． C． D．【跟踪训练3-2】在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为A．3 B． C．6 D．【名师指导】空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a，b夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题题型4利用空间向量证明平行或垂直【例4-1】在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求的长（2）证明：平面；（3）证明：平面．【跟踪训练4-1】如图，设为长方形所在平面外一点，在上，在上，若，用向量法证明：直线平面．【跟踪训练4-2】已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．【名师指导】利用空间向量证明空间垂直、