随机变量的分布和数字特征

随机变量的分布和数字特征为什么要引入随机变量的概念1.很多随机试验，其结果可以直接用数值表示。例如：产品抽检中出现的次品数，测量物体长度产生的误差等。2.有些试验其结果看起来与数值没有直接的关系，但是我们可以人为的赋予他们“关系”。例如：抛硬币的试验第2页,共100页，2024年2月25日，星期天这个试验有2个可能的结果:正面,反面。为了讨论的方便，引入变量X，当正面出现时，取X=1，当反面出现时，取X=0，这样，X随试验结果的不同而取不同的值，即X可以看成是定义在样本空间上的函数第3页,共100页，2024年2月25日，星期天一、随机变量（random

variable）的概念

§2.1随机变量1、含义：用来表示随机现象结果的变量。①样本点本身是用数量表示的；②样本点本身不是用数量表示的。总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值建立联系，用随机变量的取值来表示事件。

2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英文字母表示其取值。HT第4页,共100页，2024年2月25日，星期天随机变量的特点:

（1）X的全部可能取值是互斥且完备的。（2）X的部分可能取值描述随机事件。

注：①随机变量是样本点的函数，其函数值是实数，但自变量（样本点）不一定是实数。②与微积分中的变量不同，还存在其取值的概率的问题。（分布）第5页,共100页，2024年2月25日，星期天二、随机变量的实例解：样本点如图所示共有10个不同的样本点例1引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。第6页,共100页，2024年2月25日，星期天记X表示“空格个数”，则有第7页,共100页，2024年2月25日，星期天三、关于随机变量的补充说明

随机变量随着试验结果的不同而取不同的值，在试验之前，只能知道它可能取值的范围，但不能预先知道它取哪个（些）值；随机试验的各个结果的出现有一定的概率，因此随机变量取某个（些）值也有一定的概率。第8页,共100页，2024年2月25日，星期天随机变量的分类：其他（混合型）连续型随机变量离散型随机变量随机变量第9页,共100页，2024年2月25日，星期天§2.2离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及概率分布XP第10页,共100页，2024年2月25日，星期天例1掷两颗骰子，观察其点数，记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的概率分布。Ω含有36个样本点.……分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？第11页,共100页，2024年2月25日，星期天……XPYPZP第12页,共100页，2024年2月25日，星期天求分布律的一般步骤确定样本空间。确定随机变量的可能取值。确定随机变量的每个取值所对应的事件。求出每个事件的概率。列出表格或写出一般的概率表达式。求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应到样本空间中的具体事件。第13页,共100页，2024年2月25日，星期天分布律的基本性质①非负性：

②正则性：

这两条性质也是随机变量分布律的充要条件。第14页,共100页，2024年2月25日，星期天二、常用离散分布1、0－1分布X01P1-pp

随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特别地，若其取值为0和1，称之为0－1分布。例2一批产品的废品率为5%，从中任意取一个进行检验，用随机变量X描述废品出现的情况，即X的分布。第15页,共100页，2024年2月25日，星期天用X=1表示产品为废品，X=0表示产品为合格品，则X01P95%

5%2、二项分布（Binominaldistribution）定义：在

n重Bernoulli试验中，若以X记事件发生的次数，则X为一随机变量，且其可能取值为X=0,1,2,……，n.其对应的概率由二项概率给出：第16页,共100页，2024年2月25日，星期天例3

某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4,求最近6天内用水量正常的天数的分布。X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780第17页,共100页，2024年2月25日，星期天3、泊松分布第18页,共100页，2024年2月25日，星期天补充说明单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的电磁波的冲击次数；一平方米内玻璃上的气泡数；一铸件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。二项分布和泊松分布都是非常重要常用的离散分布.在n重的贝努利试验中，某个事件在n次试验中发生的次数服从的是二项分布.其特点是只知次数，不知位置.二项分布在某个取值处概率达到最大.第19页,共100页，2024年2月25日，星期天二项分布与泊松分布的关系：——泊松定理

二项概率可以用泊松分布的概率来近似，n越大，近似程度越高，该定理解决了二项概率的近似计算问题。第20页,共100页，2024年2月25日，星期天例4已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率是多少？解：设患病人数为X，则X服从二项分布B(5000,0.001).n=5000,p=0.001.概率可利用泊松分布近似计算。直接查表可得，见P294，λ＝5，k=0－5.第21页,共100页，2024年2月25日，星期天4、几何分布（Geometricdistribution）特殊性质——无记忆性定义：在Bernoulli试验中，记p

为事件A在一次试验中出现的概率，X为首次出现A时的试验次数，则X的可能取值为1，2，…，称X的分布为几何分布，记为X～Ge(p).其分布律为第22页,共100页，2024年2月25日，星期天5、超几何分布

设N个元素分为两类，有N1个属于第一类，N2属于第二类（N1+N2=N)，从中任取n个，令X表示取到的第一（二）类元素的个数，则X的分布称为超几何分布。

当N很大，n相对于N较小时，超几何分布可用二项分布来近似计算，不放回抽样可近似看成有放回抽样，这一结论在实际工作中往往可使问题变得简单。第23页,共100页，2024年2月25日，星期天

为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入了分布函数的概念。一、分布函数（distributionfunction）的定义§2.3随机变量的分布函数第24页,共100页，2024年2月25日，星期天

注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。（2）分布函数与微积分中的函数没有区别。第25页,共100页，2024年2月25日，星期天二、分布函数的性质注：以上三条是分布函数的基本性质，也是分布函数的充要条件。

第26页,共100页，2024年2月25日，星期天三、举例例1一袋中装有依次标着数字-1，2，2，2，3，3的6个球，从袋中随机取出一个球。记X为取出的球上的数字，求X的分布函数。解：X的可能取值有-1，2，3.且有第27页,共100页，2024年2月25日，星期天该分布函数的图形如下:注：分布函数是概率的累加。第28页,共100页，2024年2月25日，星期天四、离散型随机变量的分布函数由分布律可以写出其分布函数

10它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续〕

在X的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk.第29页,共100页，2024年2月25日，星期天解：X的可能取值为1，2，3.且例2一个袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5.从中任取3个，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。注：计算概率时，必须明确相应的具体事件是什么。第30页,共100页，2024年2月25日，星期天X的分布律为

X123

P0.60.30.1X的分布函数为思考：如何由分布函数求分布律？第31页,共100页，2024年2月25日，星期天分析：由分布律与分布函数的关系，考虑X的可能取值有哪些？第32页,共100页，2024年2月25日，星期天§2.4连续型随机变量的概率分布定义：设X是随机变量，F(x)是它的分布函数，若存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意的x∈R

，有则称X为连续型随机变量，F(x)为X的分布密度函数。注：分布函数表示在x

处的累积概率，把其导数称为概率密度是非常合理的。一、连续型随机变量的定义及性质称f(x)为X的概率密度函数第33页,共100页，2024年2月25日，星期天概率密度的性质（充要条件）：非负性：正则性：概率密度在概率计算中的应用：注：（2）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。第34页,共100页，2024年2月25日，星期天几个重要结论(4)对于连续型r.v.,不必“点点计较”，而对离散型r.v.,则要“点点计较”。第35页,共100页，2024年2月25日，星期天密度函数与分布函数的关系：1由分布函数求密度函数比较简单，下面考虑如何由密度函数来求分布函数.第36页,共100页，2024年2月25日，星期天例1.设随机变量X密度函数为

求常数c和分布函数.第37页,共100页，2024年2月25日，星期天密度函数和分布函数的图形如下：1-11-11第38页,共100页，2024年2月25日，星期天求：1.c的值；2.P(-1<X<1)；3.X的分布函数.解：1.利用正则性例2设随机变量X的密度函数为第39页,共100页，2024年2月25日，星期天注意随机变量的可能取值，不能机械地套公式，简单地在积分上、下限上取∞.二、常用连续分布1、均匀分布（Uniformdistribution）第40页,共100页，2024年2月25日，星期天均匀分布的密度函数和分布函数的图形：ab1ab均匀分布的概率计算：第41页,共100页，2024年2月25日，星期天例3设X服从(0,10)上的均匀分布，现对X进行4次独立观察，求至少3次观测值大于5的概率。分析：除了X之外，本题还有一个随机变量——观测值大于5的次数，记为Y.二项分布，第42页,共100页，2024年2月25日，星期天

某公共汽车站从早晨7：00起，每隔15min来一趟车,一乘客在7：00到7：30之间随机到达，求（1）该乘客等候不到5min乘上车的概率；（2）该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率。注：均匀分布与几何概型关系“密切”。练习第43页,共100页，2024年2月25日，星期天2、指数分布(Exponontialdistribution)密度函数的图形为：其分布函数为：注：与几何分布类似，指数分布也具有无记忆性。第44页,共100页，2024年2月25日，星期天例4设打一次电话所需要的时间(单位：分钟)服从参数为0.2的指数分布。如果刚好有人在你前面走进电话亭，并立即开始打电话，求你将等待：1、超过5分钟的概率；2、5分钟至10分钟的概率.指数分布在实际中有着重要的应用。如一些“东西”的寿命服从指数分布、随机服务系统中的服务时间也服从指数分布等。第45页,共100页，2024年2月25日，星期天3、正态分布（Normal/Gaussiandistribution）密度函数图形如下密度函数关于x=μ对称.分布函数为：第46页,共100页，2024年2月25日，星期天标准正态分布其密度函数为：0.51第47页,共100页，2024年2月25日，星期天正态分布概率的计算：第48页,共100页，2024年2月25日，星期天第49页,共100页，2024年2月25日，星期天正态分布的标准化问题：对于非标准的正态分布，如何通过查表求相关概率？通过等价事件转化为服从标准正态分布的随机变量。第50页,共100页，2024年2月25日，星期天第51页,共100页，2024年2月25日，星期天例7某地区抽样调查结果表明，考生的外语成绩X～，且96分以上的考生占总人数的2.3％。求考生成绩在60分至84分之间的概率。第52页,共100页，2024年2月25日，星期天

定义设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x集合上的函数,对X的每一可能取值x,有唯一的y=f(x)与之对应,Y是y的集合,则Y是一个随机变量,称Y为X的函数,记作Y=f(X).问题:若X的分布已知,如何求Y的分布？§2.5随机变量函数的分布第53页,共100页，2024年2月25日，星期天设随机变量X的分布律为一、离散型随机变量函数的分布第54页,共100页，2024年2月25日，星期天例1已知X的分布律如下：解：第55页,共100页，2024年2月25日，星期天整理，得第56页,共100页，2024年2月25日，星期天二、连续型随机变量函数的分布1、公式法注意该定理的适用条件。——g(x)严格单调第57页,共100页，2024年2月25日，星期天定理的证明:第58页,共100页，2024年2月25日，星期天第59页,共100页，2024年2月25日，星期天第60页,共100页，2024年2月25日，星期天补充说明:第61页,共100页，2024年2月25日，星期天2、分布函数法——g(x)为任意形式（1）先确定Y的可能取值范围，（2）在Y的可能取值范围内，求出其分布函数。（3）在Y的可能取值范围内，求其密度函数。（4）在实数区间内，表示出Y的密度函数。万能法第62页,共100页，2024年2月25日，星期天例4设X服从区间(0,1)上的均匀分布,求Y=X2的密函数.第63页,共100页，2024年2月25日，星期天练习：设X的密度函数是fX(x),Y=4X-1,求Y的密度函数.第64页,共100页，2024年2月25日，星期天§2.6随机变量的数字特征一、为什么要引入随机变量的数字特征1.实际中，有些随机变量的分布不易求。二、几个常用的特征指标数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩2.有些实际问题往往对随机变量的分布不感兴趣，只对随机变量的几个特征指标感兴趣。第65页,共100页，2024年2月25日，星期天一、数学期望例1〔分赌本问题〕甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50元，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100元。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这100元的赌本应如何分配才合理？乙胜甲输甲胜乙输乙胜甲输甲胜乙输甲胜的概率为：¾.分析：假设赌博继续下去，其可能结果如下：1、数学期望的引入第66页,共100页，2024年2月25日，星期天设甲得到的赌本为X，则X的分布律为甲胜的概率为：¾.说明：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义.甲应该获得赌本的3/4.第67页,共100页，2024年2月25日，星期天算术平均与加权平均问题：如果已知离散型随机变量X的分布律如何求X的平均值？第68页,共100页，2024年2月25日，星期天加权平均数的计算：随机变量的平均值：概率替换频率第69页,共100页，2024年2月25日，星期天2、数学期望的定义

为随机变量X的数学期望.第70页,共100页，2024年2月25日，星期天补充说明：加权平均数：离散型随机变量期望：连续型随机变量期望：频率概率概率注：期望是均值的推广或更一般的形式.第71页,共100页，2024年2月25日，星期天例2一批产品中有一、二、三等品、次品及废品5种，相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06，0.04，若其价格分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均价格。XP第72页,共100页，2024年2月25日，星期天第73页,共100页，2024年2月25日，星期天第74页,共100页，2024年2月25日，星期天3、数学期望的运算性质4、一维随机变量的函数的数学期望线性性质第75页,共100页，2024年2月25日，星期天第76页,共100页，2024年2月25日，星期天例4

设随机变量X的分布为解：第77页,共100页，2024年2月25日，星期天练习：设随机变量X的分布律为XP第78页,共100页，2024年2月25日，星期天第79页,共100页，2024年2月25日，星期天第80页,共100页，2024年2月25日，星期天数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面的例子.第81页,共100页，2024年2月25日，星期天例6

购买福利彩票,为简化假定只有一种奖,即百万大奖,中奖率为百万分之一.每张彩票2元,张某买了一张彩票,问他可以获益多少元?第82页,共100页，2024年2月25日，星期天练习:保险公司设立汽车盗窃险,参保者交保险费a元,若汽车被盗,公司赔偿b元,问b应如何定值才能使公司期望获益?(经统计,一年内汽车的失窃率为p)第83页,共100页，2024年2月25日，星期天保险公司按以上策略经营,很可能破产！原因有二：(1)投保者是相对不安全地区的车主.——信息不对称(2)投保者会放松对车的看管.——道德风险它们使投保者中车辆的失窃率p大大提高.第84页,共100页，2024年2月25日，星期天例7某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。第85页,共100页，2024年2月25日，星期天解决方法：求随机变量函数的数学期望.关键：第86页,共100页，2024年2月25日，星期天则用户自己负责。公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，第87页,共100页，2024年2月25日，星期天