弧度制教学设计（人教A版）

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）

教材分析

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的

方法一弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容一三角函数扫平障碍，

打下基础.

教学目标与核心素养

课程目标

i.了解弧度制，明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

教学重难点

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化;

难点：弧度制概念的理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、情景导入

度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不

同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，

用十进制的实数来度量角的大小呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本172-174页，思考并完成以下问题

1.1弧度的含义是？

2.角度值与弧度制如何互化？

3.扇形的弧长公式与面积公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.度量角的两种单位制

（1）角度制

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.

1

②1度的角：周角的行.

（2）弧度制

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角.

2.弧度数的计算

「（正角的弧度数是一个正数）

（弧号数）--（负角的弧度数是一个复数）

-（零角的弧度数是一零）

3.角度制与弧度制的转算

［角度化弧度）=1弧度化角度）

.......————一一一T一一...一一,——一—一…T

J1

------rad=3您)

I

(^£80°-TTrad^)，aC^^rad-1

F_______1

1°=工rad«0.01745rad—1rad=(图r=57.30°

广J____'x'_______

4.一些特殊角与弧度数的对应关系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7TJTji712n37rSn3n

弧0n2n

64万TTT

度

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为1,a(0<aV2”)为其圆心角，贝h

(1)弧长公式：1=史.

1,12

(2)扇形面积公式：S=2=2.

四、典例分析、举一反三

题型一角度制与弧度制的互化

例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

714n

(1)-450°；(2)—；(3)一~—；(4)112°30'.

5JI5n

【答案】(1)一三厂rad；(2)18°；(3)―240°；(4)rrad.

Zo

JI5n

【解析】⑴-450°=-450X—rad=rad;

1ou2

⑵2rad=号(当)=18。；

(3)一竽rad=一等X=-240°；

n5n

(4)112°30'=112.5°=112.5X—rad=—rad.

loUo

解题技巧：(角度制与弧度制转化的要点)

跟踪训练一

1.将下列角度与弧度进行互化.

(1)20°；(2)-15°；(3)胃；⑷一整.

1Z0

【答案】(1)grad；(2)-77rad；(3)105°；(4)-396°.

yiz

〜20nJI

【解析】(1)20°=~7布rad=—rad.

loUy

/、7n7

⑶-fFrad=Y^X180。=105°.

(4)rad=-^-X180°=-396°.

55

题型二用弧度制表示角的集合

例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不

包括边界，如图所示).

斗475。135°17

K4

。幽“。。

(1)(2)(3)

_f5

【答案】⑴二JI+24…廿+2-MZ卜

3n.3兀1]n

⑵〃MZ卜⑶,6+八r<,kGZ■.

【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

zn5

(1)0--+2kTt<0<—JI+2kn,kRZk

3n3n

(2)0--+2An<0<—+2kJi,AGZ.

441

nJI

(3)0y+An<(f<—+kn,kRZ■.

解题技巧：(表示角的集合注意事项)

1.弧度制下与角。终边相同的角的表示.

在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为｛0£=2An+AeZ),即与角。终边相同的

角可以表示成。加上2n的整数倍.

2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤.

(1)仔细观察图形.

(2)写出区域边界作为终边时角的表示.

(3)用不等式表示区域范围内的角.

提醒；角度制与弧度制不能混用.

跟踪训练二

1.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不

2nJT

【答案】(1)〃--^-+2k^<a<—+2knfAGZ

nn

(2)]a<a<—+2〃n或~^-+24nV。Vn+24五，kGZ

»Jo

JI2五

【解析】(1)如题图①，以04为终边的角为二+24冗(攵£2);以08为终边的角为-二

63

2An(^eZ),

所以阴影部分内的角的集合为

2nn

a--+^<a<-+2k.,A-eZ

(2)如题图②，以如为终边的角为：+2〃nJeZ)；以如为终边的角为(AWZ).

不妨设右边阴影部分所表示的集合为M,左边阴影部分所表示的集合为跳，

n2五

则弘=ja2k*<a<—+2k^,AeZpM=\o—+24nV。Vn+2〃五，kGZ

所以阴影部分内的角的集合为

U版={-2n

M\a2kn<a<-^+24冗或F*+24n<a<n+2An,kJZ

题型三扇形的弧长与面积问题

例3一个扇形的周长为20,则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

【答案】当扇形半径r=5,圆心角为2rad时，扇形面积最大.

【解析】设扇形的圆心角为。，半径为八弧长为/,则/=。八

20—2r

依题意1+2r=20,即ar+2r=20,Aa=------.

r

由7=20—2r>0及r>0得0<r<10,

12120-2r,,、

.'.5«)g=-or=~•---•r=(10—r)r

=-(r-5)2+25(0<r<10).

...当r=5时，扇形面积最大为S=25.此时/=10,a—2,

故当扇形半径r=5,圆心角为2rad时，扇形面积最大.

解题技巧：(弧度制下解决扇形相关问题的步骤)

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：7=1|和S=：”.(这里a必须是弧度制下的

角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.

跟踪训练三

1、已知某扇形的圆心角为80°，半