新教材高中数学基础练38函数模型的应用含解析新人教A版必修第一册

函数模型的应用

■基础练一水平一

（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:

X123・・・

•・・

y125

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（）

A.尸log2（x+1）B.j=2x-l

C.尸2尸1D.尸（xT）2+l

【解析】选D.代入数值检验,把户2代入可排除A,B,C,把A=1,2,3代入D选项,符合题意.

2.（2021•肇庆高一检测）sigmoid函数.）二事是描述在资源有限的条件下种群增长

规律的一个最佳数学模型.某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型

当S9,时,病毒增长达到最大,则「约为山9^2.2）（）

A.90B.83C.74D.63

【解析】选C•由题意得"，+eO2『63）=°3

整理得------1*.=0.9,即e-O.2（t-63）

二一,可得-0.2（方*-63）=-ln9--2.2,所以f*=74.

1+e-o2（t-63）9

3.“红豆生南国,春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间方（月）与枝数y（枝）的散点图.那

么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（）

M枝）

01234567

A.指数函数:尸2"B.对数函数:尸10g2方

C.哥函数:尸/D.二次函数:产2/

【解析】选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快,

符合指数型函数模型,且图象过点（1,2）,所以图象由指数函数来模拟比较好.

4.素数也叫质数，法国数学家马林•梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人

将“2〃-1”形式5是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为题侬t,第19个

P

梅森素数为小2"双_1,则下列各数中与一最接近的数为（参考数据：1g2Po.3）（）

Q

A.1045B.10”C.1056D.1059

p24423_I

【解析】选B.由题知一=弋2"°.令2"°="，则lg2170=lg左所以1701g2=lg上又1g

Q24253-1

2-0.3,所以51=lgk,即A=1051,所以与一最接近的数为1051.

Q

5.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费

1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经

费开始超过2000万元的年份是（参考数据:1g1.12心0.05,

lg1.3«=0.11,lg2^0.30）（）

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【解析】选B.若2018年是第一年,则第〃年科研经费为1300XL12",由1300X1.12">2000,

可得lg1.3+Mg1.12>lg2,得nXO.05>0.19,n>3.8,A与4,即到2021年科研经费超过2000

万元.

6.（多选题）已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就减弱10%,要使通过玻璃板的光线的

1

强度减弱到原来强度的一以下,则需要重叠玻璃板数可能为（）

3

A.9块B.10块C.11块D.12块

1

【解析】选C、D.设至少需要重叠玻璃板数为n,由题意得（1-10%）解得则至少

3

需要重叠玻璃板数为11块.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1

万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为尸alog4x+4某业务员要

得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.

alog8+b=1,

【解析】依题意得4

alog464+b=4,

ja+b=1,

即

(3a+b=4.

解得a=2,反-2.

所以j=21og4X-2,

当产8时，即210g4『2=8.

解得户1024（万元）.

答案:1024

8.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为户e*'（其中左为常数，t表示

时间,单位:h,y表示病毒个数），则k,经过5h,1个病毒能繁殖为个.

k

【解析】因为当t=0.5时，尸2,所以2-62,所以A=21n2,

所以尸产叱当t=5y=e101n2=210=l024.

答案:21n21024

教师

专用【补偿训练】

某商品价格y（单位:元）因上架时间x（单位:天）的不同而不同，假定商品的价格与上架时间

的函数关系是一种指数型函数,即y=k-/（a>0且aWl）,xGN*.当商品上架第1天的价格为

96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.

(3

‘kxa1—96Q=1

【解析】由题意可得方程组：｛,oL/结合a>0且aWl可得4

kkxa3=54,Ik=128,

即尸128x（：），则该商品上架第4天的价格为128义（,）=£=40.5,即该商品上架第4

天的价格为40.5（或为元.

答案：40.5（或苫）

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.某乡镇目前人均一年占有粮食360kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平

均每年增长4%,那么x年后人均一年占有ykg粮食,求函数y关于x的解析式.

【解析】设该乡镇目前人口量为m,则该乡镇目前一年的粮食总产量为360加

经过1年后,该乡镇粮食总产量为360加1+4%）,人口总量为2%）,

360?n(l+4%)

则人均占有粮食为

3607n(1+4狗2

经过2年后,人均占有粮食为

771(1+1.2%)2

3607n(l+4%)”

经过x年后，人均占有粮食为产，

?n(l+1.2%)x

1.04260

=360(■■)=360(一

1.012253

260

即所求函数解析式为尸360（——）,.

253

10.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤

1

一次可使杂质含量减少一，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已

3

知：lg2=0.3010,lg3=0.4771)

22/2\x

【解析】解法1：因为每次过滤杂质含量降为原来的一，过滤〃次后杂质含量为--------.

3100\37

78

2，匕因为目12812\2561

依题意,得一」=-----＞一,

100(\3J71000唔）20\3721872037656120,

所以由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.

21l+lg2

解法2:接解法1:法)"W—,则〃(lg2Tg3)W-(l+lg2),即杉;--;一27.4,又〃GN+,所以

320Ig3-lg2

〃三8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.

国提升练一水平二

（20分钟40分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2021•北京高一检测）植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时,将得到的数据

用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在卜5年内的生长规律,

A.y=ka+b{k>D,a>0且aNl)

B.y=klog,rx+b(k>0,a>0,且aWl)

C.y=—+Z)(A>0)

x

D.产aV+6x+c(a〉0)

【解析】选B.由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型，即B符合.

2.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化,/产品连续两次提价20%,8产品

连续两次降价20%,结果都以23.04元出售,此时厂家同时出售A,6产品各1件,盈亏情况是

()

A.不亏不赚B.亏5.92元

C.赚5.92元D.赚28.96元

【解析】选B.设/产品的原价为a元，方产品的原价为b元，则a(l+20%)z=23.04,求得

a=16;6(1-20%)=23.04,求得为36.

则刑斤52元,而23.04X2=46.08元.故亏52-46.08=5.92(元).

教师

专用

某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨

10%)又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为

()

A.略有亏损

B.略有盈利

C.没有盈利也没有亏损

D.无法判断盈亏情况

【解析】选A.由题意可得：（1+10%）3（1-10%）340.97《1.因此该股民这只股票的盈亏情况为:

略有亏损.

3.（多选题）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发

资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研

发资金超过200万元的年份是（）

（参考数据:IgL12=0.05,Igl.3=0.ll,lg2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【解析】选C、D.设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意得

202

130(1+12%)">200,所以1.12"〉一二—,两边取对数，得

131.3

2坨展lg2-lgl.30.30-0.11

z?>logi.i2----------;----------=---------=3.8,因为〃GN+,所以n的最小值为4.

1.3Igl.12Igl.120.05

故2020年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.

4.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位iuol/L,记作[H+]）

和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L,记作0H-）的乘积等于常数10%.已知pH

的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35-7.45之间，那么健康人体血液中

[H+]

的f-----y可以为(参考数据：1g220.30,1g320.48)()

[OH]

1111

A.-B.-C.-D.—

23610

【解析】选c.因为[H+]•0H-=10",

因为7.35<-lg[H+]〈7.45,

所以io^[H+]<io_7SS,

所以1009〈^I^=".[H+]2<10-。，，

>—,lg(10°-7)=0.7>lg3>lg2,

IO0910v'

11

所以10°-7>3>2,10-°-7<-<-

32

1[H+]1

所以

10[OH]3

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废

气中的污染物数量?（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系式

为:片Re"（k,R均为正的常数）.若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么，至少

还需要过滤小时才可以排放.

【解析】仁0时，尸必由题意，知前5小时消除了90%的污染物，因为尸He",所以

1

（1-90%）/o=/oe-5A,所以0.l=e即-5公In0.1,所以公-gin0.1.

由1%R=Re"",即0.01'e"；

所以-AQln0.01,QlnO.l）片In0.01,

所以占10,所以至少还需要过滤5小时才可以排放.

答案：5

6.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y（万件）与广

3x

告费x（万元）之间的函数关系为户1+—（x'O）.已知生产此产品的年固定投入为4万元,

x+2

每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价（元）定为“平均

每件甲产品所占生产成本的150%"与"年平均每件甲产品所占广告费的50犷之和,则当广

告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为.,万元.

30y+4x

【解析】由题意,产品的生产成本为（30y+4）万元,销售单价为-------X150%+-X50%,故年

yy

销售收入为乂牛x150%+]x50%）.e尹6+]所以