历年江苏数学高考试卷

2008年普通高校招生全国统一考试(江苏卷)

数学

IT1T

1.f(x)=cos(wx——)的最小正周期为一，其中VV>。，则W=▲o

65

27rTC

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。T=——=—nw=10。

w5

答案10

2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲o

【解析】本小题考查古典概型。基本事件共6x6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)

一1

答案一

12

l-i一

3.-表示为ci-\-bi(Q,beR),贝UQ+/?=▲。

1+z

【解析】本小题考查复数的除法运算，■.■^-i=i,:.a=0,b=l,因此a+b=l。

1+Z

答案1

4.A={x|(x-I)2<3x—7},则AnZ的元素个数为▲。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由(x-<3x-7得炉—5x+8<0

因为A<0,所以A=。，因此Ap|Z=。，元素的个数为0。

答案0

5.碗的夹角为120°,同=闹=3,贝“5万一同=▲-

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为鼠B=lx3x(—；)=—：,所以3万一可?=(52—Bp=25万2+后一10万3=49。

因此3万—q=7。

答案7

6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入

E中的概率为▲oL

【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边

77"X1TC

界），区域E表示单位圆及其内部，因此P=--------=—o

4x416

答案—

16

7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）,随机选择了50位

老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号分组组中值频数频率

（i）（睡眠时间）（G）（人数）

(F1.)

1[4,5)4.560.12

2[5,6)5.5100.20

3[6,7)6.5200.40

4[7,8)7.5100.20

5[8,9)8.540.08

（第T题）

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是

▲O

【解析】本小题考查统计与算法知识。

答案6.42

8.直线y=gx+Z?是曲线y=lnx（x〉0）的一条切线，则实数b=▲。

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。y'=~,令L得x=2,故切点为

xx2

（2,In2）,代入直线方程，得In2=；x2+b,所以匕=ln2—1。

答案b=ln2—1

9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为A（0,a）,B（b,0）,C（c,0）,点

P（0,p）在线段OA上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB

于点E,F,一同学已正确算出OE的方程：f---L+f---L=0,请你求OF的方

c）IPa）

程：▲»

【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想(』-!)x+(1-L)y=O。

cbpa

事实上，由截距式可得直线48一+工=1,直线。。：2+2=1,两式相减得

abcp

(---)x+(---)y=O,显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点。也满足此方

cbpa

程，故为所求的直线OF的方程。

--)y=0o

cbpa

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

按照以上排列的规律，第九行(〃23)从左向右的第3个数为▲

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前"-1行共用了1+2+3+…(〃-1)

个数,因此第九行(〃23)从左向右的第3个数是全体正整数中的第+3个,

〃2_〃+6

口

G7?*.x-2y+3z=0.乙的最小值为▲

xz

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由X-2丁+3[=0得y=土土王，代入匕得

2xz

x2+9z2+6xz6xz+6xz

>=3，当且仅当冗=3z时取“=”。

4xz4xz

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆二+与=1(。〉6〉0)的焦距为2,以。为圆心，。为半径

ab

2

的圆，过点(?，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率6=▲o

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂

直，又。4LP4,所以AOA尸是等腰直角三角形，故幺=行。，解得e=£=匚。

ca2

口

2

13.若AB=2,AC^6BC,则SMBC的最大值一▲_________。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2(定长)，可以以AB所在的直线为X轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则

A(-l,0),B(l,0),设C(x,y),由AC=CBC可得7(x+l)2+/=72^/(%-1)2+/，

化简得(x—3)2+V=8,即C在以(3,0)为圆心，2夜为半径的圆上运动。又

S^c=-AB-\yc\=\yc\<242.

答案2啦

14./(%)=。*3一3%+1对于xe[—1,1]总有/(x)20成立，贝ija=▲。

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想。

要使0恒成立，只要/(乃加口20在xe[—1,1]上恒成立。

/,(x)=3ax2-3=3(ax2-l)

1°当a=0时，/(x)=-3x+l,所以/(x)1nhi=—2<0,不符合题意，舍去。

2°当a<0时/,(x)=3czx2-3=3(ax2-l)<0,即/(%)单调递减，

/Wmn=f(l)=«-2>0^«>2,舍去。

3°当a>0时f'(x)=0=>x=±./—

Va

上,1上单调递增,

①若Vina21时/(%)在

Vaa

>1=>a<1时/(%)在x£[-1,1]上单调递减,

/（x/in=/（l）=a—220=〃>2,不符合题意，舍去。综上可知a=4.

答案4。

15.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角％",它们的终边分别与单

位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为也，拽

105

（1）求tan（a+夕）的值；（2）求a+2,的值。

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由

条件得cosa=二",cos/?=冬5,:a为锐角，

105

故sina〉0且sina=-----。同理可得sin,=——，

105

因此tana=7,tan，=g。

1

(1)tan(a+£)=tana+tan£

1_tanatan,]_7乂1

-2

-3+-

(2)tan(a+2/3)=tan[(a+，)+，]=-------2_=-i,

l-(-3)x1

八Rc\c兀c\/->n37c,*-j-.c037c

・「0<a<—,0<,<—,0<a+2夕<,—,从而cc+2y?——0

16.在四面体ABCD中，CB=CD,AD1,BD,且E,F分别是AB,BD的中点,

求证(I)直线EP面AC。；

(II)面的CJ_Do

证明：(I)E,F分别为AB,BD的中点AD

EFAD

=>AOu面面Z>>=>EFACD。

EFa面ACD

EFAD

EFLBD

AD1BD

CD=CBk,

(II),卜nCFLBObnB。，面ERC又BDu面BCD,

/为的中点J

EFC\CF=F

所以面面KC，D

17.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B,及CD的中点P处，或口AB=20km,

CO=10初1,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B

与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的

总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

①设/氏4。=。（厂或/）,将y表示成。的函数关系式；

②设。P=x（历?1）,将y表示成x的函数关系式。

Q

（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三

条排水管道总长度最短。

【解析】本小题考查函数最值的应用。

（I）①由条件可知PQ垂直平分AB,NBAO=6（rad）,则04=一理一=」一

COSZBAOCOS0

故。3=」一，又。尸=10—lOtan。，所以

cose

„.八八八八1010„八20—lOsin。八%、

y—OA+OB+OP—----------1----------F110—110tan0--------------v110(0<6<—)。

cosecosecos。4

②OP=x(km),则。。=10—x,所以OA=03="(10—彳1+IO?=J以—2。％+200,

所以所求的函数关系式为y=x+2—20x+200(0<x<10)。

(I)选择函数模型①。

,—10cos?9—(20—10sin9)(—sin。)10(2sin6—1)

y=---------------------------------------------=------------------o

cos20cos20

|yrjr

令y'=0得sin6=—,又0<6<生，所以8=2。

246

当0<6(工时，y'<0,y是。的减函数；工<6(工时，y'〉0,y是。的增函数。

664

所以当。=工时y血n=1073+10。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边竺如防九处。

63

18.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（xeR）的图象与坐标轴有三个

交点，经过这三个交点的圆记为C。

（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆。的方程；

（3）问圆。是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。

A>0

(1)4=>b<1且bH0

/(0)*0

（2）设所求圆的方程为了?+/+Dr+Ey+F=0。

令x?+Dx+F=0nD=2,F=by=0Wx2+Dx+F=Q=>D=2,F=b

又x=(Wy=b,从而E=-b-lo

所以圆的方程为x2+y2+2x-(b+l)y+b=0o

(3)x?+/+2x-(b+l)y+b=0整理为x?+y?+2x-y+b(l-y)=0,过曲线

。：％2+/+2%—y=0与/：1—y=0的交点，即过定点(0,1)与(一2,1)。

19.(I)设%,4,……。”是各项均不为零的等差数列(〃24),且公差dwO,若将此数列

删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：

①当"=4时，求色的数值；②求〃的所有可能值；

d

(II)求证：对于一个给定的正整数(〃24),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

仇力2……bn,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。

【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。

(I)①当九=4时，％,电,生，。4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等

比数列，则d=0。

若删去的，则有呼二卬为，即(q+2d1=%(%+3d),化简得幺=一4；

d

若删去的，则有出之二％%，即([+d)2=%(%+3d),化简得幺=1。

d

综上可知%=-4或1。

d

②当〃=5时，。]，出，%，%，%中同样不可能删去首项或末项。

若删去的，则有即4(4+4d)=(%+2dx%+3d),化简得幺=-6；

d

若删去生，则有4。5=。2。4，即a44+4d)=(4+1)(4+3d),化简得3d=0,舍去；

若删去久，则有〃1〃5=。2。3，即％(%+4d)=(%+d)(%+2d),化简得幺=2。

一d

当〃26时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列对,出，〃3中，由于不

能删去首项和末项，若删去a2,则必有alan=a3an_2,这与dW0矛盾；同样若删去an_x,

也有axan-a3an_2,明d矛盾；若删去的…。一2中的任意一个，则必有q%i

这与dwO矛盾。综上可知｛4,5｝。

(3)略

KI

20.若工(%)=3J2(x)=3卜％,xeR,A,「2为常数，且/⑴=„J*",?

(I)求/(X)=/1(X)对所有的实数X成立的充要条件(用P1，P2表示);

(II)设为两实数，a<b且pop?£(a,b),若/(〃)=/(/?),求证：/(x)在区间

［a,b］上的单调增区间的长度和为29(闭区间［祖，川的长度定义为〃-机)o

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。

⑴f(x)=工(x)恒成立o4(x)<f2(x)。如切«2.齐I

o3卜一"卜卜一闪p^-\x-p2\<log；(*)

若Pl=P2，则(*)olog；20，显然成立；若Pl力P2，记g(x)=,一21|一年一。2|

P1-P2(X<「2)

当B〉P2时，g(X)={—2x+B+P2(P24X〈Pl)，

P2-Pi(x〉B)

所以g(x)min=B—。2，故只需2—02<log；；

P「P2(X<0)

当Pl<02时，g(x)=«2x—B-p2(B，

P2—P1(X〉，2)

所以g(X)min=。2-B，故只需P2~P1<I"；。

(ID1°如果|B-Pzlwlog；,则/(x)=%(x)的图象关于直线x=B对称，

因为f(a)=f(b),所以区间［。力］关于直线x=Pl对称。

因为减区间为增区间为［0，可，所以单调增区间的长度和为一。

2°如果E-P21>log；，结论的直观性很强。

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数学（江苏卷）

参考公式:

kk

〃次独立重复试验恰有k次发生的概率为：月伏）=c：P（1-Py-

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有

：项是符合题目要求的。

7T

1.下列函数中，周期为々的是（D）

2

.x.八x

A.y=sin—B.y=sin2xC.y=cos-D.y=cos4Ax

2.已知全集U=Z,A={-l,0,l,2},B-{xlx2=x},则AAC*为（A）

A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为

x-2y=0,则它的离心率为（A）

A.石C.百D.2

4.已知两条直线加,〃，两个平面。,夕，给出下面四个命题：（C）

@m//n,mLa=>n.\_a②allB，mua,nuB=mlln

③mIIIIannIIa@aII/3,mlln.mLanL（3

其中正确命题的序号是

A.①③B.②④C.①④D.②③

5.函数/（%）=5亩工一百以九工（工£［一肛。］）的单调递增区间是（D）

「57r7TIT_TC_

A.一肛——B.——，__C.__,0D.__,0

66636

6.幅数/（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称,且当x21时，"X）=3、-1,

则有（B）

7.若对于任意实数X,有/=%+%（%—2）+〃2（工一2）2+〃3（工一2）3,则〃2的值为（B）

A.3B.6C.9D.12

2

8.设/(x)=lg(--+〃)是奇函数，则使/(x)<0的x的取值范围是(A)

1-x

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(-oo,0)U(l,+oo)

9.已知二次函数=的导数为/(幻，y-(0)>0,对于任意实数x都有

/(x)>0,则的最小值为(C)

/'(0)

°5

A.3B.一C.2D.—

22

10.在平面直角坐标系xOy,已知平面区域A={(x,y)Ix+y<1,且x20,y20},则平面

区域B={(x+y)I(x,y)£A}的面积为(B)

A.2B.1C.—D.—

24

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直

接填空在答题卡相应位置上。

11.若cos(a+P)=—,cos(a-夕)=一,.则tan。tan'二1/2

12.某校开设9门课程供学生选修，其中A,良。三门由于上课时间相同，至多选一门，学

校规定每位同学选修4门，共有75种不同选修方案。（用数值作答）

13.已知函数/（%）=%3—12%+8在区间［—3,3］上的最大值与最小值分别为/,根，则

M-m=32.

14.正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45°,则点A到侧面P3C的距离是

6

5

15.在平面直角坐标系》。）中，已知AABC顶点4-4,0）和C（4,0）,顶点5在椭圆

xysinA+sinC

---1=1上，贝U

2516sin5

16.某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5c相，秒针均匀地绕点。旋转，当时间，=0

时，点A与钟面上标12的点方重合，将两点的距离表示成1（s）的函数，则1=

jrt

10sin一，其中te［0,60］。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%,计算（结果保留到小数点后

面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）

44

解(1)p=C；

5

44

(2)P=l-Cjxj=1-0.0064«0.99

44

x—a0.02

5

18.（本小题满分12分）如图，已知A3CO-是棱长为3的正方

体，点E在上，点厂在CG上，且46=/。］=1,

（1）求证：EH,。】四点共面；（4分）

2

（2）若点G在上，3G=m，点〃在8片上，

GM工BF,垂足为“，求证：E"，面3。。］坊；（4分）

（3）用。表示截面EBFD］和面3CG8］所成锐二面角大小，求tan。。（4分）

解（1）证明：在DD］上取一点N使得DN=1,连接CN,EN,显然四边形CFD［N是平行

四边形，所以D]F//CN,同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN〃AD,且EN=AD,又

BC//AD,且AD=BC,所以EN//BC,EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形，所以

CN//BE,所以D]F//BE,所以后,民歹,。|四点共面。

2

（2）因为GM/所以ABC/sAMBG,所以逊=些，即逊=3,所以MB=1,

BCCF32

因为AE=1,所以四边形ABME是矩形，所以EM_LBB]又平面ABB]A]_L平面BCCFi

,且EM在平面ABB】A[内，所以面8。。1坊

（3）EM上面BCG片，所以E”_LBF,EM1MH,GMLBF,所以NMHE就是截

ME

面仍阳1和面3。。1名所成锐二面角的平面角，ZEMH=90°,所以tand=近万，

ME=AB=3,A5CFsAMHB,W3：MH=BF：1,BF=@+3?=V13,W3

V13

MFI—

所以tan6=*=W

MH

19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向

上一点C（0,c）任作一直线，与抛物线y=V相交于A3两点，一条垂直于x

轴的直线，分别与线段A3和直线/:y=-c交于P,。，

（1）若瓦•砺=2,求c的值；（5分）

（2）若P为线段A3的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

解：（1）设过C点的直线为y=fcr+c,所以％2=依+。（。＞0）,即

x2-kx-c=0设A（七，％）,3（%2，%），%=（七，%）,。3=（%2，%），因为

OAOB=2,所以

22

%=2，即+（如+c）（飙+C）=2,x1x2+kxrx2-kc^x[+x2）+c=2

所以一c一k'c+kck+c2=2,即02—c—2=0,所以c=2（舍去c=—1）

（2）设过Q的切线为y—%=k1（x-xl）,y'=2x,所以《=2看，即

y-2芯x—+%=2/x—xy,它与y=—c的父点为M------,-c,又

12)

ppq+%,%+%]=—,—+c,所以Q(£-C],因为x/2=-c，所以—--=x2,

I22J^22)<2)X]-

所以M^1+/■，—\=•，—c]所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

(3)(2)的逆命题是成立，由(2)可知Q[：,—c),因为PQ,x轴，所以尸[g,%]

因为土j=所以P为AB的中点。

22

20.(本小题满分16分)已知｛%｝是等差数列，也“｝是公比为q的等比数列，

%=々,%=2/，记S"为数列｛bn｝的前n项和,

(1)若为=。„,(丸人是大于2的正整数)，求证：Sj=(仅一I)/；(4分)

(2)若4=%(，是某一正整数)，求证：q是整数，且数列｛a｝中每一项都是数列｛4｝中

的项；(8分)

(3)是否存在这样的正数q,使等比数列｛4｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的

值，并加以说明；若不存在，请说明理由；(4分)

解：设｛%｝的公差为d,由4=4,%=dH%，知d#0,4彳1，d=a](q-1)(qH0)

(1)因为/=%"，所以=%+(«_1)4(q—l),

qk~]=1+(仅-l)(q-1)=2-m+(zu-1)(/,

c/j\l-qk~')a,,、

所以Sj=------=------------------=(m-1)(7]

i-qq

(2)%=]=4+(i-I)&(q-1),由。3=%」

所以/=1+(\1)何_1),/_«_i)q+«_2)=0,解得，q=]或q=j—2,但qW1,

所以a=i-2,因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列仍“｝中任意一项

为

bn=a@TeN+),设数列｛%｝中的某一项册(优eM)=4+(机一I)%(^-1)

现在只要证明存在正整数m,使得b„=am,即在方程%q"T=%+(加一1)%(q-1)中m

n-1i

有正整数解即可，q"T=1+(仅-l)(q-1),7"-1=W—^=l+q+q2+…/-2,所以

q—i

n2

m=2+q+q?-\—q~,若i=1,则q=-1,那么b2rl_x—bx-火口2n~b2=当i23

时，因为%=印,〃2=3，只要考虑"23的情况，因为。3=4，所以723,因此q是正

整数，所以机是正整数，因此数列｛2｝中任意一项为

bn=%/T(〃eN+)与数列｛七｝的第2+4+/+…q〃-2项相等，从而结论成立。

(3)设数列｛%｝中有三项篇,b〃,0p(m<〃<p,加，&peN+)成等差数列，则有

24q"T=设〃一加=x,p—〃=y,(x,yeN*),所以2=—+qy,令

qx

x=1,y=2,则/_2q+]=0,(q-1)(/+[_])=o,因^qw],加Uq2+q-]=0,

所以4=存工(舍去负值)，即存在4=存。使得依｝中有三项

与，或+1，或+3(机cN+)成等差数列。

21.(本小题满分16分)已知a,b,c,d是不全为0的实数，函数/(x)=+cx+d,

g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程/(x)=0有实根，且/'(%)=()的实数根都是

g(/(%))=0的根，反之，g(/(x))=0的实数根都是/(%)=0的根，

(1)求d的值；(3分)

(2)若。=0,求c的取值范围；(6分)

(3)若。=1,/(1)=0,求c的取值范围。(7分)

解(1)设/是〃x)=0的根，那么〃/)=0，则/是g(/(x))=O的根，则

g"(%)]=0,即g⑼=0,所以1=0。

⑵因为4=0,喇/(x)=区2+cx,g(x)=8]2+5,贝|Jg(/(x))=/(%),+(?]

={bx~+cx^[b2x~+bcx+c)=0的根也是f(x)=x(bx+c)=0的根。

(a)若b=0,则CHO,出时〃力=0的根为0,而g(/(x))=O的根也是0,所以cwO,

(b)若bwO,当c=0时，〃x)=0的根为0,而g(/(x))=O的根也是0,当cwO时,

/(x)=0的根为0和—反，而好■(x)+c=0的根不可能为。和一反，胆"(x)+c=0必

bb

无实数根，所以A=(bc)2—4b2c<0,所以02—4C<0,0<C<4,从而04C<4

所以当b=0时，CHO；当bwO时，04c<4。

(3)a=l,f(V)=O,所以b+c=O,即〃x)=0的根为0和1,

所以(-CX2+ex)-C(-CX2+CX)+C=0必无实数根，

(a)当c〉0时，t=-ex2+ex=-c+-1<,即函数—ct+c在/<：,

场(。>0恒成立，又入«)=产—a+c="—|]+C—]，所以

cc16

即-------+c>0,所以0<c<、；

1643

(b)当c<0时，t=-ex2+cx=-c^x-+：»(，即函数八«)=/一4+c在t,

岫)>0恒成立，又)(。=/一以+c=0一+"?，所以〃(鼠=〃/〉0，

22

c——>0,而c<0,所以c——<0,所以c不可能小于0,

44

(c)0=0,则匕=0,这时/(a=0的根为一切实数，而g[/(x)]=O,所以c=0,符合

要求。

所以04c(”

3

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（数学）

一、填空题

1、设集合A={-1,1,3},B={a^/+4},AnB={3},则实数a=A

2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为▲

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同

的概率是_上

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维

的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示,

则其抽样的100根中，有上——根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数fx©R,是偶函数，则实数a=▲

22

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线'——2=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双

412

曲线右焦点的距离是__左______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是▲

8、函数y=x?（x>0）的图像在点（a&ah处的切线与x轴交点的横坐标为欣为正整数，&=16,

贝ljai+as+a^▲

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1，则实数c的取值范围是▲

10、定义在区间［。，会］上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作

PPi±x轴于点Pi,直线PPi与y=sinx的图像交于点P2)则线段PiP2的长为▲

11、已知函数=1'-，则满足不等式/(I—的X的范围是

l,x<0

▲

23

12、设实数x,y满足3W盯2^8,4W二W9,则「的最大值是▲

JJ

13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,-+-=6cosc，则处•+型£=_

abtanAtanB

▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

,(梯形的周长)2

'二---------，则S的最小值是.▲

梯形的面积

二、解答题

15、(14分)在平面直角坐标系xOy中，点A(T,-2),B(2,3),C(-2,-l)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足(癌—f而)•而=0,求t的值

16、(14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD_L平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB〃DC,ZBCD=90°

(1)求证：PC±BC

(2)求点A到平面PBC的距离

三

AB

17、(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图，垂直放置的标杆BC

高度h=4m,仰角/ABE=a,ZADE=0

(1)该小组已经测得一组a、6的值，tana=1.24,tanB=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使a与

0之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125nl，问d为多少时，a-B最大

22

18.(16分)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆［■+］-=1的左右顶点为A,B,

右顶点为F,设过点TU,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点MQ：］,%),N^c2,y2),其

中m>0,%>0,为<0

①设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹

②设%=2,%=g，求点T的坐标

③设r=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点

(其坐标与m无关)

19.(16分)设各项均为正数的数列｛%｝的前n项和为S“，改口2%=%+%，嬲lJ|折｝

是公差为d的等差数列.

①求数列｛%｝的通项公式(用小d表示)

②设c为实数，对满足利+〃=3左且仅H”的任意正整数机,〃,左，不等式5m+S“〉cS1t都

成立。求证：c的最大值为二9

2

20.(16分)设/(x)使定义在区间(1,+00)上的函数，其导函数为了'(X).如果存在实数。和

函数〃(x),其中/z(x)对任意的xe(l,+oo)都有/i(x)>0,使得/'(x)=无(％)(/-ax+l),

则称函数/(%)具有性质P(a).

h+2

(1)设函数/(x)=//(%)+——(x>1),其中b为实数

x+1

①求证：函数/(X)具有性质P(b)

②求函数/(%)的单调区间

⑵已知函数g(x)具有性质P(2),给定

/，％2e(1,+00),/<%2,设机为实数，a=桃王+(1-机)工2,=(1-in)xx+mx2,且

a>l,/3>1,若Ig(a)-g(/3)|<|g(xj-g(x2)求他的取值范围

【理科附加题】

21(从以下四个题中任选两个作答，每题10分)

(1)几何证明选讲

AB是。。的直径，D为。。上一点，过点D作。。的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证

AB=2BC

(2)矩