2024届上海市嘉定区高考二模数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2024年上海市嘉定区高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线Γ1：x24−A.焦点 B.顶点 C.渐近线 D.离心率2.已知OA=(x1,y1)，OB=(x2A.12|x1x2−y13.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米.在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为(

)太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08：3068.53°10：3049.53°09：0074.49°11：0055.93°09：3079.60°11：3062.29°10：0082.00°12：00A.09：00 B.10：00 C.11：00 D.12：004.已知函数y=f(x)(x∈R)的最小正周期是T1，函数y=g(x)(x∈R)的最小正周期是T2，且T1=kT2(k>1)，对于命题甲：函数y=f(x)+g(x)(x∈R)可能不是周期函数；

命题乙：若函数y=f(x)+g(x)(x∈R)的最小正周期是A.甲和乙均为真命题 B.甲和乙均为假命题

C.甲为真命题且乙为假命题 D.甲为假命题且乙为真命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.设集合A=[1,3]，B=(2,4)，则A∪B=______．6.抛物线y2=4x的准线方程为______．7.已知圆锥的母线长为2，高为1，则其体积为______．8.(x+1)5的展开式中x29.已知i是虚数单位，则|4+3i(1−2i)210.函数y=|x−1|+|x−4|的值域为______．11.数据1、2、3、4、5的方差为s12，数据3、6、9、12、15的方差为s22，则s12.已知曲线y=13x3上有一点P(2,813.小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率P(B|A)=______．14.已知f(x)=2sinx+2cosx15.在平面直角坐标系xOy中，点P在圆x2+y2=1上运动，定点A、B满足OA⋅OB=116.若规定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,⋯⋯,am}为三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，D是BC的中点，AC=2A1A=AB=BC=1，

(1)18.(本小题14分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B−sin2B=−12．

(1)求角B，并计算sin(B+π6)19.(本小题14分)

据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组(大于等于14岁，小于40岁)和中老年组(大于等于40岁).现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：青壮年中老年合计自由行6040跟团游2050合计(1)请补充2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；

(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X的分布和数学期望．α0.100.050.025P2.7063.8415.02420.(本小题18分)

如图，已知三点A、B、P都在椭圆x24+y22=1上.

(1)若点A、B、P都是椭圆的顶点，求△ABP的面积；

(2)若直线AB的斜率为1，求弦AB中点M的轨迹方程；

(3)若直线AB的斜率为2，设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB21.(本小题18分)

已知常数m∈R，设f(x)=lnx+mx．

(1)若m=1，求函数y=f(x)的最小值；

(2)是否存在0<x1<x2<x3，且x1、x2、x3依次成等比数列，使得f(x1)、f(x2)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：双曲线Γ1：x24−y22=1的焦点为(±6,0)，顶点(±2,0)，渐近线方程为y=±22x；离心率e=62；

双曲线2.【答案】B

【解析】解：设A到OB的距离为d，

因为OB=(x2,y2)，则OB的一个法向量n=(−y2,x2)，

则d=|OA⋅n|n3.【答案】B

【解析】解：如图所示，设两竖直墙面的交线为DE，点E被太阳光照射在地面上的影子为点B，

点A、C分别是点B在两条墙脚线上的射影，连接AC、BD、BE，由题意可知∠DBE就是太阳高度角．

∵四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，

∴∠ABC=360°−(∠BAD+∠BCD+∠ADC)=60°，

∴△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos60°=1.52+12−2×1.5⋅1×12=1.75，可得AC=1.75≈1.32，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，BD是其外接圆直径，

∴设△ABC的外接圆半径为R，则BD=2R=ACsin60∘≈1.53，

Rt△BDE中，tan4.【答案】A

【解析】解：取f(x)=sinx，g(x)=sinπx，则f(x)+g(x)不是周期函数，故甲命题为真命题；

若函数y=f(x)+g(x)(x∈R)的最小正周期是T3，则f(x+T3)+g(x+T3)=f(x)+g(x)，

∴T3=nT1，5.【答案】[1,4)

【解析】解：∵集合A=[1,3]，B=(2,4)，

∴A∪B=[1,4)．

故答案为：[1,4)．

直接根据补集的运算求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．6.【答案】x=−1

【解析】解：y2=4x的准线方程为：x=−1．

故答案为：x=−1．

直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．7.【答案】π

【解析】解：圆锥的母线长为l=2，高为ℎ=1，

则底面半径r=l2−ℎ2=3，

圆锥的体积V=8.【答案】10

【解析】解：(x+1)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅x5−r，令5−r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为C53=10，

故答案为：9.【答案】1

【解析】解：i是虚数单位，

4+3i(1−2i)2=4+3i−3−4i=(4+3i)(−3+4i)(−3−4i)(−3+4i)=−2425+725i，10.【答案】[3,+∞)

【解析】解：y=|x−1|+|x−4|=2x−5,x≥43,1<x<4−2x+5,x≤1，

其大致图象如图所示，结合函数图象可知，函数有最小值3，没有最大值．

故答案为：[3,+∞)．

先对已知函数进行化简，作出函数图象11.【答案】9

【解析】解：数据1、2、3、4、5的平均数为1+2+3+4+55=3，

所以s12=15×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2，

数据3、6、912.【答案】4

【解析】解：根据题意，曲线y=13x3，其导数y′=x2，则y′|x=2=4，

即过P点的切线的斜率k=4．

13.【答案】45【解析】解：根据题意，两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，有3×3=9种情况，

若两家至少有一家选择古猗园，有9−2×2=5种情况，则P(A)=59，

若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有2×2=4种情况，则P(AB)=49，

则P(B|A)=P(AB)P(A)=45．

故答案为：414.【答案】4【解析】解：因为f(x)=2sinx+2cosx=2(sinx+cosx)sinxcosx，

令t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

因为0<x<π2，

所以π4<x+π4<3π4，

所以22<sin(x+π4)≤1，

故1<t≤2，

由t=sinx+cosx可得，t2=1+2sinxcosx，

15.【答案】[【解析】解：根据题意，定点A、B满足OA ⋅OB=12且|OA|=|OB|=1，可知∠AOB=π3，

设A(1,0)，B(12,32)，圆x2+y2=1上点P坐标为(cosα,sinα)，0≤α≤2π，

则OA⋅OP=cosα，OB⋅OP=12cosα+32sinα，可得|OA⋅OP|+|OB⋅OP|=|cosα|+|12cosα+32sinα|，

由三角函数的定义与性质，可知：当0<α<π2时，cosα与12cosα+32sinα均为正数，

此时f(α)=|OA⋅OP16.【答案】{0,1,4,6,7}

【解析】解：因为211=20+21+24+26+27，

所以E的第17.【答案】(1)证明：因为AC=2A1A=AB=BC=1，

可得AB⊥BC，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，

可得BB1⊥平面ABC，

以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，

C(0,1,0)，C1(0,1,1)，

因为D为BC的中点，所以D(0,12,0)，

则BA1=(1,0,1)，AD=(−1,12,0)，AC1=(−1,1,1)，

设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AD=0n⋅AC1=0，即−x+12y=0−x+y+z=0，令y=2，

可得n=(1,2,−1)，

所以BA1⋅n=1×1+0×2+1×(−1)=0，

【解析】(1)由题意建立空间直角坐标系，求出平面ADC1的法向量n的坐标，可得BA1⊥n，再由BA1⊄平面ADC18.【答案】解：(1)因为cos2B−sin2B=−12=cos2B且B为三角形内角，

所以B=π3或B=2π3，

当B=π3时，sin(B+π6)=sinπ2=1，

当B=2π3时，sin(B+π6)=sin5π6=12；

(2)由题意结合(1)得A+C=2π3，

所以0<A<π20<2π3−A<π【解析】(1)由已知结合二倍角公式进行化简可求cos2B，进而可求；

(2)由已知锐角三角形可先求出A的范围，然后结合正弦定理可表示a+2c，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．

本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)补充2×2列联表：青壮年中老年合计自由行6040100跟团游205070合计8090170K2=170×(60×50−40×20)2100×70×80×90≈16.3>3.841，

因此有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；

(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取2070×14=4人，从中老年组中抽取5070×14=10人，

再从14个人中随机抽取7个人，这7个人中中老年与青壮年人数分别为a，7−a，则a=0，1，2，3，4，相应的7−a=7，6，5，4，3．

则X=|a−(7−a)=|2a−7|=7，5，3，1．

则P(X=1)=X1357P4063355E(X)=1×40143【解析】(1)利用已知数据即可补充2×2列联表，利用K2计算公式可得K2，进而得出结论．

(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，可得从青壮年组中与从中老年组中抽取的人数，再从14个人中随机抽取7个人，这7个人中中老年与青壮年人数分别为a，7−a，可得a=0，1，2，3，4，相应的7−a=7，6，5，4，3.于是X=|a−(7−a)=|2a−7|=7，5，3，1.利用超几何分布列可得X的分布列为的分布列与E(X)．20.【答案】解：(1)因为点A、B、P都是椭圆x24+y22=1的顶点，

所以△ABP的面积为S=12×2a×b=ab=22；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y1)，因为直线AB的斜率为1，所以设直线AB的方程为y=x+m，

由y=x+mx24+y22=1，消去y，整理得3x2+4mx+2m2−4=0，

由根与系数的关系知，x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−43，

设弦AB中点M(x,y)，则x=x1+x22=−2m3，y=y1+y22=(x1+m)+(x2+m)2=−43m+2m2=m3，

消去m，得y=−12x，由Δ=16【解析】(1)根据点A、B、P都是椭圆x24+y22=1的顶点，计算△ABP的面积即可；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y1)，直线AB的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，消去y，利用根与系数的关系得出x1+x2，根据AB中点坐标公式，求解即可；

(3)设A(21.【答案】解：(1)f(x)=lnx+1x(x>0)，

f′(x)=1x−1x2=x−1x2，

令f′(x)=0，得x=1，

所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1,+∞)上