新教材人教A版高中数学选择性必修第一册1.4空间向量的应用-教学课件

1.4空间向量的应用1.4.1

用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行第2课时空间中直线、平面的垂直P481.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题P94第2课时夹角问题P126课程标准学法解读1．能用向量语言描述直线和平面．2．理解直线的方向向量与平面的法向量．3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念．(数学抽象)2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．(直观想象)3．会用待定系数法求平面的法向量．(数学运算)4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)知识点1空间中点的位置向量知识点2空间中直线的向量表示式思考1：直线的方向向量是不是唯一的？提示：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．知识点3空间中平面的向量表示式思考2：平面的法向量是不是唯一的？提示：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2．知识点4线线平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0．知识点5线面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2．思考3：怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．知识点6面面平行的向量表示题型探究题型一平面法向量及其求法

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．典例1[分析]

首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解．[解析]

如图所示建立空间直角坐标系．【对点训练】❶如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．[分析]

先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．题型二利用向量方法证明线线平行

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS．典例2[证明]

(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．[规律方法]

要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．【对点训练】❷在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1．[证明]

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，题型三利用向量方法证明线面平行

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．典例3方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．[规律方法]

利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．[证明]

建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，题型四利用向量方法证明面面平行

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?典例4[分析]

建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明．[解析]

如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．[规律方法]

利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明．(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．【对点训练】❹如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．[证明]

因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．易错警示典例5[错解]

l∥α[辨析]

由a⊥e应得出l∥α或l⊂α．l∥α或l⊂α

1.4空间向量的应用1.4.1

用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直课程标准学法解读1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)2．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理．(逻辑推理)3．能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系．(逻辑推理)设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则知识点空间中垂直关系的向量表示线线垂直l1⊥l2⇔__________⇔_____________线面垂直l1⊥α⇔__________⇔___________________面面垂直α⊥β⇔__________⇔_____________u1⊥u2

u1·u2＝0

u1∥n1

∃λ∈R，u1＝λn1

n1⊥n2

n1·n2＝0

思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．题型探究题型一利用向量方法证明线线垂直

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．[分析]

只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可．典例1[规律方法]

利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．题型二利用向量方法证明线面垂直

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱AB，BC，B1B的中点．求证：D1M⊥平面EFB1．典例2[规律方法]

坐标法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．【对点训练】❷如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．[证明]

如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．题型三利用向量方法证明面面垂直

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，点E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．典例3[分析]

要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0．[解析]

由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．[规律方法]

1．利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．题型四探究性问题

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE．典例4[解析]

建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，[规律方法]

空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要说明成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．【对点训练】❹如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，E是B1C的中点．[解析]

(1)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．易错警示

在四面体A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．判断平面BEF与平面ABC是否垂直．典例51.4空间向量的应用1.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题第2课时夹角问题

课程标准学法解读1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．2．了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)知识点1点P到直线l的距离知识点2点P到平面α的距离思考1：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．题型探究题型一利用空间向量求点线距

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．典例1[规律方法]

用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．【对点训练】❶如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．题型二利用空间向量求点面距、线面距

典例2[分析]

借助平面SAC⊥平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先求平面CMN的法向量，再求距离．[解析]

取AC的中点O，连接OS，OB．∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC．又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO．又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO．如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，【对点训练】❷

在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．题型三利用空间向量求面面距

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．典例3[分析]

根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距．[解析]

(1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，[规律方法]

求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．【对点训练】❸如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．[解析]

以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，易错警示

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．典例4[错解]

建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，[辨析]

对距离公式记忆不够准确忽略法向量的模而使距离求错．利用距离公式求解时一定牢记距离公式．1.4空间向量的应用1.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题第2课时夹角问题课程标准学法解读1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．1．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角．(空间想象，数学运算)2．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角．(空间想象，数学计算)3．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．(空间想象，数学计算)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面β的夹角．不大于90°

知识点1两个平面的夹角知识点2空间角的向量法解法|cos〈u，n〉|

题型探究题型一利用向量方法求两异面直线所成角

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．[分析]

建立空间直角坐标系，求出直线EF和BC1的方向向量的坐标，求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角．典例1[规律方法]

1．利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．C

[解析]

如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC＝C1C＝2，则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)．令θ为AN，BM所在直线成的角，题型二利用向量方法求直线与平面所成角

如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．典例2[分析]

(1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．[规律方法]

若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：【对点训练】❷如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C

与平面BB1C1C所成角的正