高三数学二轮复习 第一部分 重点保分题 专题检测（十八）概率、随机变量及其分布列 理-人教版高三数学试题

专题检测（十八）概率、随机变量及其分布列（高考题型全能练）一、选择题1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3122．(2016·张掖模拟)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(1,10)D.eq\f(2,5)3．(2016·广州模拟)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)4．(2016·江西两市联考)已知集合M=｛1,2,3｝，N=｛1,2，3,4｝.定义映射f:M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为()A.eq\f(3,32)B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16)D.eq\f(1,4)5．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤2，,0≤y≤4))表示的点集记为A，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y≥x2))表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为()A.eq\f(9,32)B.eq\f(7,32)C.eq\f(9,16)D.eq\f(7,16)6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,5)二、填空题7．(2016·山东高考)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．8．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>eq\f(7,4)，则p的取值范围是________．三、解答题10．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单元：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．11．(2016·石家庄一模)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和均值．12．(2016·贵阳模拟)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．答案一、选择题1．解析：选A3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．解析：选B第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝eq\f(3,5)，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9)，故选B.3．解析：选A依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).4．解析：选C∵集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，N有43＝64种，∴映射f:M→N有43＝64种，∵由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4种选择，f(2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12种，∴所求概率为eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).5．解析：选A联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,y＝x2，))解得x＝－1或x＝2.由几何概型知识可知所求概率P＝eq\f(SB,SA)＝eq\f(\a\vs4\al(\i\in(－1,2,))（x＋2－x2）dx,4×4)＝eq\f(9,32).6．解析：选B正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,6)＝36(种)．事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3),36)＝eq\f(1,4)，P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3),36)＝eq\f(1,4)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)－3,36)＝eq\f(1,6).由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).二、填空题7．解析：由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))＜3，即16k2＜9，解得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4).由几何概型的概率计算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为eq\f(1,4)，成功的概率为eq\f(3,4)，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此试验满足二项分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0，1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))三、解答题10．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(P（B）,P（A）)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率为eq\f(3,11).(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.11．解：(1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，∵0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5；∴x∈[4，5]．由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，∴该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为p＝eq\f(3,5)，随机变量X的所有可能取值为－4，－2，0，2，4.P(X＝－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,625)，P(X＝－2)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(96,625)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(216,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,625)，X的分布列为：X－4－2024Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)E(X)＝(－4)×eq\f(16,625)＋(－2)×eq\f(96,625)＋0×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋4×eq\f(81,625)＝eq\f(4,5).12．解：(1)学生甲的平均成绩x甲＝eq\f(68＋76＋79＋86＋88＋95,6)＝82，学生乙的平均成绩x