2022北京各校九年级上册数学期中汇编一一旋转

03.2022北京各校九上数学期中汇编一一旋转

参考答案与试题解析

旋转的坐标特点(共5小题)

L【解答】解：点M(l,2)关于原点对称的点的坐标是(-1,-2).

故选：C.

2.【解答】解：若点45,5)与点8关于原点对称，则点8的坐标为(-5,-5).

故答案为:(-5,-5).

3.【解答】解：根据题意得，点尸关于原点的对称点是点产，

•••P点坐标为(3,-2),

.♦.点P的坐标(-3,2).

故答案为：(-3,2).

4.【解答】解：•.•将线段绕点O顺时针旋转，若点A的对应点4的坐标为(2,0),

/.NA04'=9O°,

ZBOB1=ZAOA!=90°,

夕(0,1),

故答案为：(0,1).

5.【解答］解：当x=0时，x+3=3,则8点坐标为(0,3)：

2

T.

当y=o时，-|x+3=0,解得x=2,则A点坐标为(2,0),

则。4=2,08=3,

•.,AAO3绕点A顺时针旋转90。后得到△AOE,

...N3(7=90°,ZAOS'=ZAOB=90°,AO=AO=2,QB=OB=3,

即AO_Lx轴，(7B7/x轴，

点夕坐标为(5,2).

故答案为(5,2).

旋转的性质(共25小题)

6.【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120。的整数倍，就可以与自身重合，

故〃的最小值为120.

故选：D.

7.【解答】解：•.•秋千旋转了80。，小林的位置也从A点运动到了A'点，

.•.AOA'=80。，OA=OA!,

NOA4'=g(180°-80°)=50°.

故选：B.

O

8.【解答】解：•.•AAOB绕点O逆时针旋转65。得到AC8,

ZAOC=65°,

•.♦NAO8=30。

/.NBOC=ZAOC-ZAOB=35°

故选：B.

9.【解答］解：08旋转后的对应边为"，故NBO尸可以作为旋转角，故本选项错误;

B、0A旋转后的对应边为8，故NAOD可以作为旋转角，故本选项错误；

C、0c旋转后的对应边为OE,故NCOE可以作为旋转角，故本选项错误；

D、OC旋转后的对应边为OE不是OF,故NCOF不可以作为旋转角，故本选项正确;

故选：D.

10•【解答】解：•.•四边形A8CD是矩形，

:.ZBAD=90°,AD=BC=4,

由旋转的性质可知，AB=A8=3,

:.Dff=AD-AB1=4-3=1,

故答案为：L

11.【解答】解：•.♦AB8绕点5逆时针旋转60°得到AfiAE,

：.BE=BD,AE=CD,Z£>3E=60°,

；.MDE为等边三角形,

:.DE=BD=5,

.•.AAED的周长=QE+AE+4)=£>E+CD+4?=DE+AC,

•.•A4BC为等边三角形，

/.AC=BC=6,

.•.AAED的周长=£)E+AC=5+6=11,

故选：D.

12.【解答】解：:.A/WC为等边三角形，

/.AB=AC,ABAC=60°,

•.•AABP绕点A逆时针旋转，使点3与点C重合，得到AACQ,

;.ZBAC为假转角,即旋转角的度数为60。.

故选：C.

13.【解答】解：•.•四边形A8CD是正方形，

ZABC=ZD=90°,AD=AB,

由旋转得：ZABF=Z£>=90°,BF=DE=2,

.­.ZABF+ZABC=180°,

:.C,B、尸三点在一条直线上，

:.CF=BC+BF=6+2=8,

故答案为：8.

14.【解答】解：•.•四边形ABCD为边长为2的正方形，

AC=20,

正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90。，

.•.点A运动的路径长=9。,兀*2显=岳.

180

故答案为尤丁.

15•【解答】解：根据旋转的性质AAfiC三AEOB,BC=BD,

则△C3D是等腰三角形，ZBDC=ZBCD,ZCBD=180°-ZDBE=180°-30°=150°,

NBCD=g(180°-ZCBD)=15°.

故答案为15。.

16•【解答】解：在RtAAED中，由勾股定理得，

AE=\lAD2+DE2=VlO,

•••AADE绕着点A逆时针旋转后与/重合，

.-.ZDAE=ZBAF,AE=AF,

:.ZEAF=90°,

印等腰直角三角形，

EF=叵AE=V10x>/2=2>/5,

故答案为：26.

17.【解答】解：•.•CC/Mfi,ZC4B=70°,

/.ZCC4=ZC4B=70°,

又•:C、C为对应点，点A为旋转中心，

.-.AC=AC,即A4CC为等腰三角形，

ZBAB1=ZCAC=180°-2ZCCA=40°.

故答案为：40。

18.【解答】解：当时，此时8最小,

设CO=DC'=瓜,

•.-ZB=60°,

二.BD=2x,

•.•点。不与3、C重合，

：.—的取值氾围为0<——,,一匚

CDCD3

痂公安刈nBD2G

故合案为：0v-3—

19.【解答】证明：•.•将AA8C绕点5旋转得到AD3E,

:.AABCwADBE

BA=BD.

..ZA=ZADB.

・"=ZBDE,

：.ZADB=ZBDE.

:.DB平分ZADE.

20•【解答】证明：•.•线段3D绕点8顺时针旋转角。得到线段BE,

BD=BE，ZJDBE=a，

\'ZABC=a，

ZABC=ZDBE,

\AD.LBC,

.\ZADB=900.

在△/$£)与AC3E中，

AB=CB,

</ABD=NCBE,

BD=BE,

:.MBD=ACBE(SAS)

.・.ZADB=ZCEB=90°.

：,BE±CE.

21.【解答】解：・.・A4BC和八4。£是等边三角形，

/.ZBAC=ZZME=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.

ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC，

.\ZBAD=ZEAC.

在AAJRD和AACE中

AB=AC

•/BAD=NEAC,

AD=AE

:.AABD=^ACE(SAS).

.・.CE=BD,

,・BC=3、CD=2,

:.CE=BD=BC-CD=1.

22•【解答】解：・.・小钻。绕着点。按顺时针方向旋转60。后得到AECO,

/.ZADE=60°,DA=DE,

.•.AADE为等边三角形，

/.ZZME=60°.

・・•点A、C、石在一条直线上，

二/BAD=ABAC-ZDAE=120°-60°=60°.

•・,点A、C＞石在一条直线上，

/.AE=AC+CE.

・・・绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到AECD，

，CE=AB,

.•.4E=AC+AB=2+3=5.

・・・AADE为等边三角形，

...AD=AE=5.

(2)OB=V42+22=275,NBO4=90。，

.•.点B旋转到点所经过的路线长为伙喘”=加兀.

24.【解答】解：•.•A4BC是等边三角形，

:.AC=BC,NB=NACB=60。.

・・・线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，

:,CD=CE,ZDCE=60°，

.\ZDCE=ZACB,

即ZBCD+ZDCA=ZDCA^-ZACE,

:.ZBCD=ZACEf

BC=AC

在ABC。与AACE中，ZBCD=ZACE

DC=EC

；.XBCD三MCE,

/.ZE4C=ZB=60o,

:.ZEAC=ZACB,

:.AE//BC.

25.【解答】解：(1)如图所示，△AB。即为所求.

(2)•/ZBCB1=90°,BC=J*+听=2五,

.•.点B运动到点B,所经过的路径的长为竺二逑=近兀.

180

26•【解答】解：线段CF与AC的数量关系是：CF=BAC,理由如下:

3

如图，连接",

•/ZBAZ)=ZC4E=60o,

:,ZEAD=ZCAB,

vAD=AB,AE=AC,

在AA。石和AABC中，

AD=AB

NE4O=NC48,

AE=AC

:.MDE^/\ABC(SAS),

/.ZA£D=ZC=90°,

.・.ZA£F=90。，

在RtAAEF和RtAACF中，

[AF=AF

[AE=AC'

RtAAEF=RtAACF(HL),

/.ZC4F=-ZCAE=30°,

2

在RtAACF中，CF='A尸，fLAC2+CF2=AF2,

2

:.CF=—AC.

3

27•【解答】解：(1)由题意NC4C=a,

要使AB//DC,须NBAC=NACD,

/.ZBAC=30°,cr=ZC4C=Za4C-ZS4C=45o-30o=15°,

即a=15。时，能使得45//DC.

(2)连接8。，ND3C+NC4C+NBDC的值的大小没有变化，总是105。，

当()。＜4,45。时，总有皿。存在.

•/ZEFC=ZBDC+ZDBC,ZCAC=a,ZFEC=ZC+a,

又•.・NEFC+NFEC+NC=180°,

NBDC+功8。+NC+a+NC=180。，

又・.・NC=45。，ZC=30°,

ZDBC+ZCAC+ZBDC=105°.

28.【解答】解：(1)B，E=CD；理由如下:

连接CE、AB\如图：

A

B

AAfiC绕点A逆时针旋转a得到/SADE,

ZBAC=ZDAE,AB=AD,AC=AE,

•.•点B关于直线AC的对称点为B',

ABAC=ZB'AC,AB=AB',

:.ZB'AC=ZDAE,AD=AB,

:.^CAD=ZEAB',

在△(%£)和AE4"中，

AC=AE

<ZCAD=NEAB',

AD=AB'

:.^CAD^^EAB\SAS),

:.B'E=CD；

(2)连接瓦)，如图：

AABC绕点A逆时针旋转a得到MDE,

:.ZABC=ZADE,AB=AD,

:.ZABF^ZADF,

•.•AABf、AAD「有公共边AF,

；.A、F、B、。四点共圆，

：.ZAFD^ZABD,

•/a=32°,

:.ZBAD=32°,

…若空",

.-.ZAFD=74°.

29•【解答】解：（1）旋转后的三角形4c尸如图所示:

(2)由旋转可得，ZE4P,=Z5AC=50°,AP=AP,,AABPMAACP',

：.ZAPP=ZAPP=65°,ZAP'C=ZAPB,

朋C=50°,AB^AC,

...NB=65°,

又•.•NB4P=2()°,

ZAPB=950=ZAP/C,

/PPC=ZAP'C-ZAPP=95°-65°=30°.

30.【解答】解：（1）将A4BC绕点。逆时针旋转得到△ABC,旋转角为c,

:.CB=CB

•.•点股可以恰好落在43的中点处,

.•.点£是他的中点.

vZACB=90°,

,\CB,=-AB=BB,,

2

:.CB=CB=BB,

即ACB8是等边三角形.

/.ZB=60°.

・・・NAC8=90。，

/.ZA=30°；

(2)如图，过点C作CD_LAY于点。，

点C到AA的距离等于AC的一半，即CO=」AC.

2

CD1

在RtAADC中，ZADC=90°,sinZCAD=——=-,

AC2

.•.ZC4£>=30°,

.CA=CA',

:.ZA=ZCAD=3Q°.

.-.ZACA'=120°,即。=120°.

三.旋转作图（共9小题）

31•【解答】解：如图，连接AW「PR,可得其垂直平分线相交于点B,

故旋转中心是8点.

故选：B.

32•【解答】解：线段NM，线段2片的垂直平分线的交点为点8,故点8为旋转中心.

故选：B.

33•【解答】解：(1)三个特点：

①对应点到旋转中心的距离相等：

②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等;

③两个三角形全等.

(2)根据题意，A与D,B与E对应；

连接4),BE,分别作4)与3E的垂直平分线，作出其交点O,

O就是旋转中心.

连接OC，作=

再在。W上截取O尸,

连接£F,DF；即可得旋转后的ADEF.

图2

34.【解答】解:

(甲图)(乙图)(丙图)

(本题答案不唯一)

注：(1)2分；

(2)2分，只需画出图1中的一个三角形即可；

(3)4分，只需画出图2中不全等的两个四边形即可.

36•【解答】解：①△4石£如图所示；

②如图所示，旋转后点力、B、C的对应点的坐标分别为(-3,3),(-1,2),(-2,1)：

37.【解答］解：如图所示，任画一种即可.

38.【解答】解：（1）如图所示，△A夕。和为所求的三角形;

（2）根据题意画出图形，由图形可得出至少在第8次旋转后所得的三角形刚好是4A'B-C.

39•【解答】解：（1）对称中心点O；（4分）

（2）2G如图所示；（6分）

(3)90度.(8分)

40.【解答】解：（1）连接尸户，由题意可知8户=PC=10,AP=AP,

ZPAC=ZP'AB,而Z«4C+ZS4P=60°,

所以N24P=60度.故AAP尸为等边三角形,

所以小=%=叱=6;

(2)利用勾股定理的逆定理可知:

PP-+BP2=BP',所以AfiPP为直角三角形，且产=90°

可求ZAPB=90°+60°=150°.

41.【解答］解：将ABCP绕5逆时针旋转60。，点C和A重合，P到P,连接PP,

•.•NP8P=60°,BP=BP,

:.APBP是等边三角形,

:.ZBPP=6O°,

♦.•尸产=8,AP=PC=\0,PA=P'A=6,

:.PP2+PAi=AP2,

ZAP?=90°,

ZAPB=600+90°=150°.

42.【解答】(1)证明：•.•线段AP绕点A逆时针旋转60。到AQ,

AP=AQ,NPAQ=60。，

.,.MPQ是等边三角形，NPAC+NC4Q=60。，

•.,AA3C是等边三角形，

.-.ZBAP+ZPAC=60°,AB=AC,

ZBAP=^CAQ,

在AfiAP和ACAQ中

BA=CA

,ZBAP=ZCAQ,

AP=AQ

:.ABAP=ACAQ(SAS),

:.PB=QC；

(2)解：・・•由(1)得A4PQ是等边三角形,

AP=PQ=3,Z4QP=60。，

・・・NA依=150。，

/.APQC=150°-60°=90°,

・.・PB=QC,

.・.QC=4,

.•.APQC是直角三角形，

:.PC=ylP^+QC2=732+42=5.

43.【解答】解：(1)依题意补全图形,如图所示:

(2)连接OM,

A

・・・A48C为等边三角形，

.\ZABC=600.

•••MAO旋转得到MCM,OA=五,OB=6

：.MC=OA=4i,MB=OB=6,/OBM=ZABC=3,

・•.AO的/为等边三角形，

.•.OM=OB=6，

在AOMC中，OC=\,MC=近,OM=6.

•.•F+（同=（扬2,

OC2-^-MC2=OM2.

ZOCM=90°.

44.【解答】证明：如图，把A4BQ绕点A转到A4C[,连接PR,

\AB=AC,

.•.AP=A[,PB=RC,ZAPB=Z2+Z4=ZI+Z3,

/.Z1=Z2,

/.Z3=Z4,

pc=RC=PB,

:.ZPBC=ZPCB.

45.【解答】解：(1)当AM+BM+CM的值达到最小时，NDAM为75度,理由如下：

如图，将绕点3逆时针旋转60。得到8V,连接EV.

・・•BM绕点B逆时针旋转60°得至ljBN,

:.BM=BN,ZM5N=60。，

「.MAW是等边三角形，

:.ZBNM=6O°9

AABE和ABMN都是等边三角形，

・・.AB=EB,BM=BN,ZABE=ZMBN=60。,

/.ZABE-ZABN=/MBN-ZABN，

即ZABM=ZEBN=45°.

在AAWB和A£A®中，

AB=EB

<ZABM=4EBN,

BM=BN

:.故MB三^ENB(SAS)；

/BAM=/BEN；

・・・ABMV为等边三角形，

:.BM=MN,

•.・MMB=AENB,

EN=AM,

:.当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM=EN+MN+CM=EC,值最小，如图,

止匕时，vZBAE=180o-ZBW=120°,

.•.ZBEN=180°-NEBN-4BNE=1800-450-120°=150,

/./BAM=/BEN=\50,

ZDAM=90°-ZBAM=75°；

(2)如图，过E点作8c交C8的延长线于尸，

/.NEBF=ZABF-ZABE=90°-60°=30°,

设正方形的边长为x,则8尸=且x,EF=-x.

22

在RtAEFC中，-：EF2+FC2=EC',

，(gx)2+(*x+xf=(73+1)2,

解得，x=&(舍去负值).

正方形的边长为四.

故答案为：72.

46.【解答】解：(1)将AA3P绕点3顺时针方向旋转90。得△CBQ,如图,

则AABPs&CBQ且P8_L,

于是P8=QB=2a,PQ=2丘a,

在APQC中，

PC2=9a2,PQ1+QC2=9a2,

PC2=PQ2+QC2.

ZPQC=90°,

•.•AP8Q是等腰直角三角形，

ZBPQ=ZBQP=45°,故ZAPB=ZCQB=9