期末高频考点第10讲 事件、概率的综合-2021-2022学年高一数学下学期《考点·题型·密卷》期末精讲精练高效复习专题（人教A版2019必修第二册）

期末高频考点第10讲：事件、概率的综合高频考点梳理考点一随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.考点二样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.考点三随机事件、必然事件与不可能事件1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.考点四事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B考点五交事件与并事件定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)考点六互斥事件和对立事件定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝∅考点七古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.考点八古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).考点九概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).考点十：相互独立事件的概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.考点十一：相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.高频题型归纳题型一：事件的关系和运算1．（2021·河南郑州·高一期末）下列说法中正确的是（

）A．若事件与事件是互斥事件，则B．若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红､橙､黄､绿4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”是互斥事件2．（2020·河南信阳·高一期末）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（

）A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D3．（2021·吉林·长春市第二实验中学高一期末）设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（

）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤1题型二：互斥事件和对立事件4．（2021·浙江湖州·高一期末）从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有（

）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组5．（2021·陕西渭南·高一期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（

）A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件6．（2021·山西朔州·高一期末）从1，2，3，4，5，6这六个整数中任取两个数，下列各组事件中是对立事件的是（

）①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②两个都是偶数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.A．① B．②④ C．③ D．①③题型三：古典概型7．（2021·湖南·怀化市第一中学高一期末）甲､乙两个质地均匀且完全一样的正方体骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这两个骰子在水平桌面上，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·北京昌平·高一期末）北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（

）A． B． C． D．9．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）图1和图2中所有的三角形都是全等的等边三角形．现将图1和图2组合（如图3，即：把图1的等边三角形放在图3中的①、②、③、④、⑤的某一位置），那么，能围成正四面体的概率是（

）A． B． C． D．1题型四：概率的综合10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下．（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．11．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零.假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，且相互独立.该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.(1)求该嘉宾获得公益基金1000元的概率；(2)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率.12．（2021·湖南师大附中高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．专题强化精练一、单选题13．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（

）A． B．C． D．14．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）下面的事件：①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；②某人买彩票中奖；③非零实系数一次方程必有一实根；④明天会下雨．其中是必然事件的有（

）A．① B．④ C．①③ D．①④15．（2021·广东·仲元中学高一期末）数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（

）A． B． C． D．16．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（

）A．至少一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶17．（2021·广东茂名·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是(

)A． B． C． D．18．（2021·天津·高一期末）下列四个命题正确的个数为（

）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为.A．3 B．2 C．1 D．019．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立20．（2021·浙江温州·高一期末）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．某题恰有3个选项符合题目要求，则随机作答该题时（至少选择一个选项），得2分的概率为（

）A． B． C． D．21．（2021·陕西咸阳·高一期末）下列事件是随机事件的是（

）①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在时结冰；④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数.A．①② B．②③ C．③④ D．①④22．（2021·江苏苏州·高一期末）我省高考从2021年开始实行“”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（

）A． B． C． D．23．（2021·河北保定·高一期末）《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（

）A． B． C． D．24．（2021·广东肇庆·高一期末）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击次，至少击中次的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，表示没有击中目标，，，，，，，表示击中目标.因为射击次，故以每个随机数为一组，代表射击次的结果.经随机模拟产生了以下组随机数：据此估计，该射击运动员射击次至少击中次的概率约为（

）A． B． C． D．二、多选题25．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（

）A．的值不能确定，因为它与、、中究竟哪一个发生有关B．C．事件与事件相互独立D．、、是两两互斥的事件26．（2022·江西·高一期末）下列说法正确的是（

）A．3，4，5，7，8，9这六个数据的40%分位数为5B．事件“若，则”是不可能事件C．从装有4个黄球和3个白球的不透明口袋中随机取出4个球，则事件“取出1个黄球和3个白球”的对立事件是“取出的4个球中不止一个黄球”D．从装有4个黄球和3个白球的不透明口袋中随机取出4个球，则事件“取出1个黄球和3个白球”与事件“取出3个黄球和1个白球”是互斥事件27．（2022·山东日照·高一期末）从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事件的是（

）A．至少有一个白球和全是白球 B．至少有一个白球和全是红球C．恰有一个白球和恰有2个白球 D．至少有一个白球和至少有一个红球28．（2022·辽宁沈阳·高一期末）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的有（

）A．样本空间中一共含有4个样本点B．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件C．事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件D．事件“一次正面向上一次背面向上”发生的概率是29．（2022·江西南昌·高一期末）欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.42.07.53.912.66.410.26.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（

）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为30．（2021·湖南永州·高一期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察骰子两次出现的点数，下列说法正确的有（

）A．试验的样本空间中有36个基本事件B．第一次投掷中，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件C．试验中两次骰子点数和为7的概率是D．试验中两次骰子点数之和最可能出现的是831．（2022·贵州遵义·高一期末）分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B为“两枚骰子的点数之和为奇数”，事件C为“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件D为“两枚骰子的点数都是偶数”，则（

）A．A与B为互斥事件 B．A与C为互斥事件C．B与C为对立事件 D．A与D为对立事件32．（2021·江西景德镇·高一期末）“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.某医院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，则（

）A．若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取人B．该医院中年患者所占的频率为C．估计该医院的平均治愈率大约是D．估计该医院的平均治愈率大约是三、填空题33．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色､黄色､蓝色､绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为___________.34．（2022·广西北海·高一期末）已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.35．（2022·江西上饶·高一期末）高一（11）班班主任准备安排A，B，C三位同学参与某一周的班级值日工作，其中周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排，则A同学周三在值日的可能性是___________.36．（2021·广东·化州市第三中学高一期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．37．（2021·山东青岛·高一期末）一个三位数，百位、十位、个位上的数字依次记为，，(，，互不相同)，当且仅当，，中有两个数字的和等于剩下一个数字时，称这个三位数为“等和数”(如358等).现从1，2，3，4这四个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为“等和数”的概率为__________.38．（2021·安徽六安·高一期末）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是_________．四、解答题39．（2022·江西·景德镇一中高一期末）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉.在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.先用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，再从抽出的5个口罩中一次性抽取2个口罩，求有二等品的概率.40．（2022·江西宜春·高一期末）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.41．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年5月份的某一天，某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x的频数分布表如下：x的分组超市家数(1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例；(2)用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间和（单位：元/公斤）的超市中抽取5家超市，再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2家超市的均价都在区间内的概率？42．（2022·江西·景德镇一中高一期末）某部门举办法律知识问答活动，随机从该市18~68岁的人群中抽取了一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：[18,28），[28,38），[38,48），[48,58），[58，68]，再将其分别编号为第1组、第2组、…、第5组.该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18,28)50.5第2组[28,38)18第3组[38,48)270.9第4组[48,58)0.36第5组[58,68]30.2(1)分别求出的值.(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人？(3)在（2）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率.43．（2021·湖南师大附中高一期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．44．（2022·辽宁·高一期末）2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测.(1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率.参考答案：1．D【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件以及事件的关系与运算逐一判断即可.【详解】互斥事件其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，即；A，若事件与事件是互斥事件，满足，但不一定等于；B，对立事件的含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，为不可能事件，且为必然事件，即且，若事件与事件满足条件：，则事件与事件不一定是对立事件，比如，掷骰子试验，事件“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数小于等于”，故B错误；C，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”，都包含一次中靶，另一次不中，故C错误；D，黄牌只能有一人得到，所以“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”是互斥事件，故D正确；故选：D．2．D【解析】【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝DB，D为互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等故选：D3．C【解析】【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．【详解】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.4．A【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断【详解】解：对于①，至少有个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件，对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件，所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组，故选：A5．D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立．故选：D．6．C【解析】【分析】根据对立事件的定义，逐一分析四个答案中的两个事件的关系，可得答案.【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件，也不是对立事件；②两个都是偶数和两个都是奇数不能同时发生，但也可能都不发生，故②是互斥事件，但不是对立事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生且必有一个发生，故③是对立事件；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件，也不是对立事件.故选：C.7．D【解析】【分析】对于A：分别求出，，，即可判断；对于B：直接判断出，即可判断；对于C：由，，的值，即可求出，即可判断；对于D：直接求出，即可判断.【详解】对于A：掷这两个骰子，一共有种基本事件.事件A发生，则两个骰子的点数为一奇一偶，有种，所以；因为掷骰子正面向上为奇数和偶数的方法种数相同，所以，.故A正确；对于B：事件BC，事件AC，事件AB均表示甲为奇数，乙为偶数，所以.故B正确；对于C：因为，，，所以，故C正确；对于D：事件ABC表示甲朝上一面为奇数，乙朝上一面为偶数，故，故D错误.故选：D8．C【解析】【分析】根据古典概型概率的计算公式直接计算.【详解】由题意可知甲､乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，故选：C.9．C【解析】【分析】根据古典概型概率公式，即可计算.【详解】当图1的三角形放在图3的①②⑤位置时，能围成正四面体，所以概率为．故选：C10．(1)小吃类商贩家，果蔬类商贩家(2)（ⅰ）元（ⅱ）【解析】【分析】（1）先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后根据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家；（2）（i）根据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；（ii）根据频率分布直方图，计算出日收入超过元的天数及日收入在，的天数，然后利用古典概型的计算方法计算概率.(1)由题意知，小吃类所占比例为，按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩（家），果蔬类商贩（家）．(2)（ⅰ）该果蔬经营点的日平均收入为元．（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：，天，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为，，其余4天为，，，随机抽取两天的所有可能情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至多有一天超过250元的对立事件为：共1种．所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为．11．(1)##0.3(2)【解析】【分析】（1）由嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，应用独立事件乘法公式求概率即可.（2）由题设确定基本事件，进而应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率.(1)由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，所以；(2)记A=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.又，，所以.12．(1)；(2).【解析】【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.(1)分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，夫妻二人都不需要交补考费的事件，则，所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.(2)由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，则，所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.13．D【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式，列出方程组，即可求得的值.【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，所以，即，解得.故选:D.14．C【解析】【分析】根据必然事件的知识确定正确选项.【详解】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件.②，中奖不是必然事件.③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件.④，明天会下雨，不是必然事件.所以必然事件的是①③.故选：C15．A【解析】【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有种涂法，能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，故他能得分的概率为．故选：A.16．B【解析】【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.【详解】由已知条件得∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：.17．B【解析】【分析】根据已知条件分别求出基本事件总个数和满足任意两个素数之和不是合数的基本事件数即可求解.【详解】在“2，3，5，7，11”这5个素数中任取两个，其和有10种不同的情况如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18，其中两素数之和不是合数的有5，7，13共3种，所以任取两个素数，其和不是合数的概率为.故选：B.18．A【解析】【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，向上点数之和不小于10的基本事件有，，，，，共6种，所以所求事件的概率，故①正确，②：因为，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65，故②正确，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率，故③正确，故选：A.19．A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．【详解】解：根据题意得，，，，所以，，，，所以与相互独立.故选：A20．B【解析】【分析】列举基本事件，利用等可能性事件的概率公式即可求得.【详解】设四个选项分别即为ABCD，不妨设本题正确答案为ABC.所有不同的情况有：选一个选项的有4种：A、B、C、D，选两个选项的有6种：AB、AC、AD、BC、BD、CD，选三个选项的有4种：ABC、ACD、ABD、BCD，选四个选项的有1种：ABCD，共15种.其中得2分的有：A、B、C、AB、AC、BC共6种，所以得2分的概率为.故选：B21．D【解析】【分析】根据事件的定义判断各选项中事件的类型，可得出结论.【详解】①④中的事件为随机事件，②中的事件为必然事件，③中的事件为不可能事件.故选：D.22．A【解析】【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有：{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理},共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以他们的选科完全相同的概率为故选：A23．A【解析】【分析】由题可得规律为：第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为，然后根据题中数据进行计算即可得解.【详解】当到第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为，当时，每个人找到羊的概率为，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为.故选：A.24．D【解析】【分析】应用列举法写出所有含，，至多个的随机数，利用古典概型的概率求法求概率即可.【详解】个随机数中，含有，，至多个的有，，，，，，，，，，，，，，，共个，∴射击次至少击中次的概率的估计值为，故选：D25．BD【解析】【分析】的值与、、都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件与的发生有关系可判断C；、、不可能同时发生，是互斥事件可判断D.【详解】A选项，，所以A错误；B选项，，所以B正确；C选项，事件与的发生有关系，所以C错误；D选项，、、不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.26．ACD【解析】【分析】根据分位数的定义、不可能事件的定义以及对立事件和互斥事件的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，大于2.4的最小整数为3，则40%分位数为第3个数据5，故A正确；对：易知“若，则”是随机事件，故B错误；对：由于取出的4个球中必有黄球，所以事件“取出1个黄球和3个白球”的对立事件是“取出的4个球中不止一个黄球”，故C正确；对：在一次试验中，事件“取出1个黄球和3个白球”与事件“取出3个黄球和1个白球”不可能同时发生，所以是互斥事件，故D正确.故选：ACD.27．BC【解析】【分析】需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可．【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；对A：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件不是互斥事件，不符合题意；对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件，符合题意；对C：恰有1个白球和恰有两个白球显然是互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；对D：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事件不互斥，不符合题意；故选：BC28．ACD【解析】【分析】根据列举法判断选项A；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项B、C；根据古典概型判断选项D.【详解】A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确；B：事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；C：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故C正确；D：事件“一次正面向上一次背面向上”发生的概率是，故D正确.故选：ACD.29．ABD【解析】【分析】A选项，最大值减去最小值即为极值；B选项，数据按照从小到大排列，找到处于中间位置的两个，两个的平均数即为中位数；C选项，利用分位数的定义进行求解；D选项，列举法求解古典概型的概率.【详解】，A正确；按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.故选：ABD30．AC【解析】【分析】由N=6=36，可判断A;当第一次投掷时，当出现的点数为2时，两件事同时发生了，从而判断B;求出两次骰子点数和为7的概率，从而判断C;列举出次骰子点数之和为8的基本事件即可判断D.【详解】解：对于A,由题意可知N=6=36,故正确；对于B，第一次投掷时，当出现的点数为2时，事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”同时发生了，不是互斥事件，故错误；对于C,出现两次骰子点数和为7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个，所以事件发生的概率为：,故正确；对于D,两次骰子点数之和为8的基本事件有：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)小于和为7的概率，故错误.故选：AC.31．AC【解析】【分析】题目考察互斥事件和对立事件的定义，不会同时发生的即为互斥事件，对立事件是不会同时发生且两件事包含了所有事件的可能性【详解】投掷两枚质地均匀的骰子，共有三种情况，一奇一偶，两个奇数或两个偶数，选项A中，事件B“两枚骰子的点数之和为奇数”则说明是一奇一偶，与事件A没有重叠，所以是互斥事件，选项A正确；选项B中，事件A发生时，事件C同时发生，所以不是互斥事件，选项B错误；选项C中，两枚骰子点数之和只有两种情况，奇数或者偶数，所以B与C为对立事件，选项C正确；选项D中，两枚骰子除了都是奇数或者都是偶数，还有可能一奇一偶，所以不是对立事件，选项D错误故选：AC32．ABC【解析】【分析】利用分层抽样可判断A选项；利用频率公式可判断B选项；计算出该医院的平均治愈率，可判断CD选项.【详解】对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取的人数为，A对；对于B选项，该医院中年患者所占的频率为，B对；对于CD选项，估计该医院的平均治愈率大约是，C对D错.故选：ABC.33．【解析】【分析】列举出所有结果，然后由古典概型的概率公式可得.【详解】在学校花坛的左右两边布置气球的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（红蓝，黄绿），（红绿，黄蓝），（黄蓝，红绿），（黄绿，红蓝），（蓝绿，红黄），共6种，其中红色气球和黄色气球恰好在同一边的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（蓝绿，红黄），共2种，所以红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为.故答案为：34．##0.15【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，甲和丙被录取的概率为，乙和丙被录取的概率为则他们三人中恰有两人被录取的概率为，故答案为：.35．【解析】【分析】用列举法列出A，B，C三位同学参与一周的班级值日工作根据古典概型概率计算公式可得答案.【详解】周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排共有周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五，种方法，其中A同学在周三值日有周一周二，周三周四，周五；周一周二，周三周四，周五，种方法，则A同学周三在值日的可能性是.故答案为：.36．【解析】【分析】利用古典概型概率公式即得.【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），基本事件总数为，事件“①号骰子的点数a大于②号骰子b的点数”包含的基本事件有15个，分别为：，∴事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为：.故答案为：.37．##0.5【解析】【分析】求出从1，2，3，4中任取三个组成无重复数字的三位数试验的基本事件总数，再求出“等和数”的个数，利用古典概率公式计算作答.【详解】从1，2，3，4中任取三个组成无重复数字的三位数试验有：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个基本事件，它们等可能，三位数为“等和数”的事件A有：123，132，134，143，213，231，312，314，321，341，413，431，共有12个基本事件，所以三位数为“等和数”的概率.故答案为：38．【解析】【分析】先确定a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况，再确定其中“凹数”的个数，最后即可运用古典概型的概率计算公式求解即可【详解】a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：123，132，213，231，312，321，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，342，423，432，共24个数字，其中为“凹数”的有213，312，214，412，314，413，324，423，共8个，所以所求概率为，故答案为：39．(1)0.030(2)平均数为71，中位数为73.33(3)【解析】【分析】（1）通过频率分布直方图面积的和为1，求解m即可；（2）根据概念求出平均数，设中位数为n，然后求解n即可；（3）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，利用古典概型概率公式求解即可.(1)由，得(2)平均数，设中位数为n，则，得．故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．(3)由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个