人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题17.17 勾股定理（最短路径问题）（基础篇）（专项练习）

专题17.17勾股定理（最短路径问题）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．3．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（

）A． B． C．10 D．4．平面直角坐标系中，已知、，是一个动点（m为任意实数），则周长的最小值为（

）A． B． C． D．5．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．6．如图，等边△ABC的边长为12，P是△ABC的中线AD上的动点，则AP+BP的最小值是（

）A． B． C．10 D．7．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．1308．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是(

)A．3 B．5C．4 D．2.49．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（

）A． B． C． D．10．如图，在长方形ABCD中，，，F是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是（）A． B．5 C． D．411．如图，平面直角坐标系中点，以为边作等边，与关于y轴对称，M为线段上一动点，则的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．1812．如图，在中，，，，平分，点M、N分别为上的动点，则的最小值是（

）A．2.4 B．7.2 C．9.6 D．4.8二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接、．则的最小值为______．14．如图，已知D（6，0），MN∥x轴且经过点E（0，4），点A，B分别是线段OD，OE上的两动点，AB=2，点C为AB的中点，点P为直线MN在第一象限上的动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点B在y轴上运动，以为边作等腰，（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，的最小值为__________．16．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为___．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为____________．18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是___．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）19．如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为________．20．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若，的周长是36，则的最小值为___________．21．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为______．22．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为_____．23．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm．三、解答题24．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．(1)求线段DP的最小值；(2)当DP最小时，求CDP的面积．25．如图，以一边为直角边构造，且，，，．(1)求证：为直角三角形．(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．26．已知，中，，，．(1)如图1，若点D是AB的中点，且，求的度数；(2)如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．27．（1）如图1，是边长为4的等边三角形的中线，点P、E分别在、上，且则的最小值为________；（2）如图2，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）28．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．【操作观察】图1中，．①则_________；②若，则________；【理解应用】如图2，若，试说明∶；【拓展延伸】如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；参考答案1．B【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，依据Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，进而得出BC的长．解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴BC＝6，故选B．【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算.2．A【分析】求出A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，则P即为所求点；∵点A（-4，1），∴点A关于y轴的对称点A′的坐标为（4，1），∵A′（4，1），B（-2，-3），∴A′B==，即PA+PB的最小值为，故选A．【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．3．B【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，过点作，由勾股定理得，当在同一条直线上，且时，的值最小为△ABC中，AB=AC=10，由等腰三角形两腰上的高相等中，的值最小为，故选：B.【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.4．D【分析】由于AB长度固定，找到点A关于直线x=1的对称点D，求出BD的长即可得到△ABC周长的最小值．解：在△ABC中，AB长度不变，且为=，C（1，m），即点C为直线x=1上的动点，设D（3，0），则A，D关于直线x=1对称，∴AC=DC，∴AC+BC的最小值即为BD，BD=，∴△ABC的周长最小值为，故选D．【点拨】本题考查了点的坐标，最短路径问题，解题的关键是找到点D，利用BD的长代替AC+BC的最小值．5．A【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再求出BH即可得出结论．解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=，∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．故选：A．【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．6．B【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE=AP，利用勾股定理求出BE的长，当BP⊥AC时，AP+BP=PE+BP的值最小，由此得到答案．解：如图：作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠DAC=30°，∴PE=AP，∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=6，∴，当BP⊥AC时，AP+BP=PE+BP=BE的值最小为．故选：B．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是找到动点P的位置．7．A【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，∵，，，∴，，，在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，∵，，∴当点P运动到点时，最大，过点B作，则，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即，∴，故选A．【点拨】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．8．D【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴，∵，∴解得：CE=2.4．故选：D【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．9．A【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，此时，而，∴，∴长度的最小值为．故选：A．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．10．A【分析】作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，当三点依次在同直线上时，的值最小，求出此时的值便可．解：作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，∴，∵，∴当三点依次在同直线上时，的值最小，∴的最小值为：3．故选：A．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确的找出点的位置是解题的关键．11．C【分析】连接．首先证明垂直平分线段，推出关于对称，由，可知此时当点M与O重合时，的值最小，最小值为．解：连接．∵'和都是等边三角形，∴垂直平分线段，∴关于对称，∵，∴当点M与O重合时，的值最小，最小值为，∴的最小值为．故选：C．【点拨】本题考查等边三角形的性质、轴对称−最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．D【分析】取点N关于的对称点E，由轴对称图形或成轴对称的性质可推出，从而得到，当点C、M、E在一条直线上且时，有最小值，最后利用等面积法求得的值即得．解：取点N关于的对称点E，如下图：∵平分∴点E在上∵点N与点E关于对称∴是N点与E点所连线段的垂直平分线∴∴当时，CE有最小值，即有最小值∵在中，，，∴∵在中，∴∴∴最小值为．故选：D．【点拨】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题．13．【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，进而得出B'（-1，2），再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，-1），进而得出AC+BD的最小值为A'B'，即可求解答案．解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，∵CD=1，B（0，2），∴点B'（-1，2），作点A关于x轴的对称点A'，当点A'，C，B'在同一条线上时，AC+BD最小，∵A（0，1），∴A'（0，-1），连接A'B'，则AC+BD的最小值为A'B'=，故答案为：．【点拨】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'B'是解本题的关键．14．9【分析】作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．判断出点D′坐标，求出OD′，根据OD′≤OC+PC+PD′，可以推出PC+PD′≥9，可得结论．解：作点D关于直线MN的对称点D′，连接PD′，OD′，OC．∵E（0，4），D（6，0），MN∥x轴，D，D′关于MN对称，∴D′（6，8），∴OD′==10，∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB，∴OC=AB=1，∵PD=PD′，∴PC+PD=PC+PD′，∵OD′≤OC+PC+PD′，∴PC+PD′≥9，∴PC+PD的最小值为9，故答案为：9．【点拨】本题考查轴对称——最短问题，坐标与图形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≌∆AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．解：如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，∴∠DCA=∠EAB，又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，∴∆CDA≌∆AEB（AAS），∴BE=AD，∵，∴AD=BE=OA=3，作点A关于CD的对称点A′，连接，则点在直线l上，，，∴，∵在∆COA′中，∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=，∴最小值=．故答案是：．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．16．【分析】作C点关于OB的对称点，连接C'D交OB于点E，连接，过作交OA于点F，则，此时CE+DE最小，可得到是等边三角形，从而得到，再由勾股定理，即可求解．解：如图，作C点关于OB的对称点，连接C'D交OB于点E，连接，过作交OA于点F，则，此时CE+DE最小，由对称性可得：，，∴，∴是等边三角形，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∵OD＝2，∴DF=1，在中，由勾股定理得：，即CE+DE的最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．17．【分析】根据题意得当AF≥AD-DF时，可得当A，F，D在同一直线上时，AF的长最小；再根据勾股定理进行计算，即可得到线段AF长的最小值．解：如图，连接AD，由题意得：DF=DB=CD=，∵AF+DF≥AD，∴，∴当A、F、D三点共线时，AF的长最小，在中，由勾股定理得：，∴，即线段AF长的最小值为．故答案为：【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．18．【分析】取CD的中点G，根据等腰三角形两腰上的中线相等得到AE＋CF=AE＋EGAG，当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，利用勾股定理即可求解．解：取CD的中点G，连接CE、EG、AG，∵点D是BC的中点，且DE＝DB，∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形，∵点CF、EG是等腰三角形△DEC两腰上的中线，∴DG＝DF＝ED＝CD，在△DEG和△DCF中，，∴CF＝EG，∴AE＋CF=AE＋EGAG，∴当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，∵点D是BC的中点，点G是DC的中点，且BC=4，∴BG=3，又AB=3，且∠B=90°，AG=．故答案为：．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，得到当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长是解题的关键．19．【分析】利用角平分线的性质设出GC=GP=x，根据等积法得到方程，得出结果．解：如图，当GP⊥AB时，GP最小，根据作图知AG平分∠BAC，∠C=90°，∴GC=GP，设GC=GP=x，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=，又∵，即,解得x=,故答案为．【点拨】本题考查角平分线的性质，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．20．12【分析】连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于是等腰三角形，点H是BC边的中点，故，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为的最小值，由此即可得出结论．解：连接AP，AH．∵，的周长为36，∴．∵H是BC的中点，∴．∵是等腰三角形，点H是BC边的中点，∴，∴．∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴，∴，∴AH的长为的最小值，∴的最小值为12．故答案为：12．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．21．【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，根据，，可得，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则，∴，∴的最小值为的长，过点作于点H，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．22．15解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．∵长方形中，，F为的中点，∴，∴，∴，即的最小值为15．故答案为：15．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．23．128【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．圆柱底面的周长为，圆柱高为，，，，，这圈金属丝的周长最小为，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为．故答案为：128．【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．24．(1)DP的最小值是3； (2)当DP最小时，△CDP的面积为12．【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，当DP⊥BC时，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；（2）解：∵∠A=90°，∴BD==5，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，∴PB==4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12，即当DP最小时，△CDP的面积为12．【点拨】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．25．(1)见分析 (2)最小值为【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．解：（1）证明：根据题意得，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴△ABC为直角三角形；（2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，则，，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∵，当B、P、M三点共线时，取最小值为，∴最小值为．【点拨】本题考