30680246 微专题：巧解集合间关系问题-2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

微专题：巧解集合间关系问题【主题】理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；1、集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A⸦B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}＝{x|x∈U，且x∉A}3、集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪＝U；A∩＝∅；＝A．【典例】题型一、巧用文氏图（Venn图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解；例1、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5 B．10 C．15 D．20题型二、巧用数轴图示法若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍；例2、设集合，，若，则实数，必满足（）A． B． C． D．题型三、正难则反巧对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而使问题得以解决。例3、已知集合，},若，求实数m的取值范围。【即时练习】1、如图，已知全集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．或C． D．2、设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为（）A．B．C． D．3、已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．4、设集合，，若，则的取值范围是______．5、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（2）当A＝{x|－2≤x≤5，x∈Z}时，求A的非空真子集的个数；（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.【教师版】微专题：巧解集合间关系问题【主题】理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；1、集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A⸦B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}＝{x|x∈U，且x∉A}3、集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪＝U；A∩＝∅；＝A．【典例】题型一、巧用文氏图（Venn图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解；例1、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5 B．10 C．15 D．20【提示】用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论；【答案】C；【解析】用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．【说明】本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值。题型二、巧用数轴图示法若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍；例2、设集合，，若，则实数，必满足（）A． B． C． D．【提示】先利用绝对值不等式的解法化简集合A，B，再利用，结合数轴列出不等式，即可求得结论；【答案】B【解析】因为，，所以，因为，或，所以，或，又因为，，数轴表示集合，如图所示结合数轴可知：或，即或，即；【说明】本题考查利用集合交集结果求参数，解题的关键是解含绝对值不等式，再利用数轴观察集合区间的端点之间的关系列出不等式，考查学生的运算求解能力。题型三、正难则反巧对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而使问题得以解决。例3、已知集合，},若，求实数m的取值范围。【提示】注意先利用相关的“一元二次方程”知识进行化简；【解析】由题意，得，全集应该为或，再不妨假设，则由题意，等价为方程有两根且均为非负的，则有：，解得，结合补集思想，综上，实数m的取值范围为：；【说明】在明确研究问题的全集前提下，直接计算或化简“比较繁”，“正难则反”往往可以化繁为易。【归纳】1、判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；2、在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论；3、已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析；4、子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1。【即时练习】1、如图，已知全集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．或C． D．1、【答案】D【分析】由图可知阴影表示的集合为，求出，由此可得结论．【详解】因为，集合或，所以，又因为，

所以图中阴影部分表示的集合为，2、设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为（）A．B．C． D．2、【答案】B【分析】由图象可知阴影部分对应的集合的元素一定不在集合S中，因此在，且在集合M与集合P的交集中．【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x∉S，∴x∈，且x∈M∩P，因此x∈（）∩（M∩P）．3、已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．3、【答案】或【解析】当时，，即，满足要求；当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，解得或．综上，实数的取值范围为或.4、设集合，，若，则的取值范围是______．4、【答案】【分析】即求集合的并集，也就是取集合的全部元素，借助于数轴可对列式计算.【详解】由数轴得，所以.【点睛】本题考查集合的并集运算，同时考查学生画数轴解题的思想和推理计算能力.5、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（2）当A＝{x|－2≤x≤5，x∈Z}时，求A的非空真子集的个数；（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.5、【答案】（1）{m|m≤3}；（2）254；（3）{m|m<2或m>4}.【分析】（1）由A∪B＝A，则B⊆A，再分和，求出的范围；（2）先求出集合及集合中元素的个数，再求出A的非空真子集的个数；（3）由A∩B＝∅，分和分析，再结合数轴上表示集合，得到的关系式，求得的取值范围.【详解】解（1）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（2）当x∈