小题压轴题专练40-计数原理2-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练40—计数原理2一．单选题1．如图所示，，，，是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有A．48种 B．32种 C．24种 D．16种2．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的个数是A．63 B．65 C．67 D．693．设，下列一定不是二项式展开式中的项的是A．6 B． C． D．4．将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为，则产生的不同的8位数的个数是A．546 B．498 C．516 D．5345．若，，则下列结论正确的是A． B． C． D．6．将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1个，乙至少2个，丙至少3个，则共有种不同的分法．A．24 B．26 C．28 D．307．从0，1，2，3，，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A．252 B．216 C．162 D．2288．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从至的路径条数有条：若、两处因故施工，不能通行，从至的路径条数有条，则，分别为A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288二．多选题9．设，下列结论正确的是A． B． C．，，，，中最大的是 D．当时，除以2000的余数是110．关于及其展开式，下列说法正确的是A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为 C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是111．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法 B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法12．用0到9这10个数字．可组成个没有重复数字的四位偶数？A． B． C． D．三．填空题13．设整数，的展开式中与两项的系数相等，则．14．已知正整数，若的展开式中不含的项，则的值为．15．2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（用数字作答）16．某校高二年级共有10个班级，5位数学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数．

小题压轴题专练40—计数原理21．解：分为以下两类：第一类，从一个岛出发向其他三岛各建一桥，共有4种方法；第二类，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，，，要去掉重复的这样，因此共有种方法．根据分类计数原理，知道共有种．故选：．2．解：车上应该准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票，所以一共应该准备种，但不可能在一场单程行驶中都卖的出去，以前面7个车站中的每一个作为起点，后面7个车站作为终点，应当有种，但持有这种票的乘客都要通过7号车站与8号车站之间，但由于汽车满员为25人，所以这种车票至少会有种卖不出去，所以车上最多卖出不同的车票个数是种．故选：．3．解：展开式的通项公式为，．当时，为常数项，此时，为偶数，当时，，此时，，故有可能，．当时，此时，为偶数，当时，，此时，，故有可能，．当时，此时，当时，，此时，但此时，故没有可能，．当时，此时，为偶数，当时，，此时，此时，故有可能，故选：．4．解：根据题意，将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数，由于0不能在首位，则有个8位数，其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”之前的排法有种，“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”之前的排法有种，“20”和“19”都出现2次的排法有种，则满足题意的8位数有个，故选：．5．解：，，令，可得，故错误；令，可得，故，故错误；根据，可得，再令，可得，故正确；对已知等式两边求导，可得，令，可得，由二项展开式的通项公式可得，所以，故错误．故选：．6．解：先将12个球按甲0个，乙1个，丙2个进行分派；剩余的9个相同的球，分成3组，每组至少1个球，9个相同的球形成8个空位（不算首尾的两个空位）中，插入两个隔板，有即有种分法故选：．7．解：将10个数字分成三组，即被3除余1的有，4，、被3除余2的有，5，，被3整除的有，6，9，．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3整除的数共有228个．故选：．8．解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，故在走到每个点的路径条数如下图所示故选：．9．解：由，得，，，，，，，所以，故正确；，故错误；，，，，中最大的是，故错误；当时，，，，，都能被2000整除，而，所以除以2000的余数是1，故正确．故选：．10．解：二项式的展开式中二项式系数和为，故错误；展开式中第七项为，故正确；该二项展开式的通项公式为，当，2，4，，2020时，为有理项，故错误；当时，的通项公式为，所以，所以除以100的余数是1，故正确．故选：．11．解：对于，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法，所以不同的分配方法有种，故正确；对于，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对于，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法，所以不同的分配方法有种，故正确；对于，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有种方法，再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法种，故错误．故选：．12．解：法①，先排个位若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有种．法②，个位是0的不同四位数偶数共有种，个位不是0的不同四位偶数有个，其中包含个位是偶数且千位为0的种，故没有重复数字的四位偶数共有：个．法③，若千位为奇数，则有个，若千位是偶数，有个，故共有个．法④，没有重复数字的四位数有个，没有重复数字的四位奇数有个，故没有重复数字的四位偶数有个．故选：．13．解：因为，其中项仅出现在时的展开式中，其中项的系数为，而项仅出现时的展开式中，项的系数为，因此，注意，化简的，故只能是为奇数且，解得，故答案为：51．14．解：与的系数互为相反数，要使展开式中不含的项，则需要的展开式中，与的系数也为相反数，即，得，得，故答案为：815．解：根据题意，选出国内，国外的可能组合为，，，，，不满足国内媒体团不能连续提问，当，组合时，选取方式有，提问方式种，则不同的提问方式为，当，组合时，选取方式有种，提问方式，安排国内两个媒体的提问先后顺序种，由于国内媒体团不能连续提问，再将2个国外媒体插入到2个空（非头尾），确定国外媒体提问顺序，或将国内两个媒体团捆绑插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体提问顺序，故共有种，则不同的提问方式为，综合以上两种情况，不同的提问方式的种数为．故答案为：684．16．解：（1）秋老师教9班，曲老师可在4，5，7，10班中选两个班，再分两类：①曲老师不教5班，则曲老师可选种；王老师可选种；剩余的3个班3个老师全排列，有种，由分步计数原理可得种；②曲老师教5班，则曲老师可选种；剩余的4个班4个老师全排列，有种，由分步计数原理可得种．由分类计数原理可得，秋老师教9班共有种；（2）秋老师教10班，同理也是126种；（3）秋老师同时教9班和10班，则曲老师可在4，5，7班中选两个班，