281419988.6.2直线与平面垂直（第1课时-判定定理） 课件-2020-2021学年

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直（第1课时）问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那什么叫做直线与平面垂直呢？那怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？

如右图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?AABCA旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直思考：对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，旗杆AB会与之垂直吗？结论:旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.结论:旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.“任意”一词能修改为“无数”吗？不能

一般地,如果直线

l

与平面

a

内的任意一条直线都垂直,我们就说直线

l

与平面α互相垂直,记作

l⊥α,

直线

l

叫做平面α的垂线，平面α叫做直线

l

的垂面.

直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.垂线垂面垂足在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.例如：

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?

容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直.如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?

事实上，由基本事实的推论2,平面α可以看成是由两条相交直线BD、DC所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直.直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.

两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”呢?线线垂直⇒线面垂直l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m

，n

l⊥.定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化.例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.

显然，直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.l

为斜线l

与

的交点A为斜足直线OA为在平面

上的射影直线l

与射影OA所成角∠PAO(角θ)为直线l

与平面

上所成角直线与平面所成角θ取值范围是0°≤θ≤90°.如图，一条直线l与一个平面

相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.练习1：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有

个直角三角形．4

[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]练习2：如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.练习3：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.2、怎样画出直线与平面所成角？1