北师大版八年级数学下册专题1.3直角三角形【八大题型】(原卷版+解析)

专题1.3直角三角形【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1添加条件利用HL使三角形全等】 1【题型2判断三角形全等的依据】 2【题型3利用HL证明全等】 4【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】 5【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】 7【题型6利用HL解决坐标与图形问题】 8【题型7写出某个命题的逆命题】 9【题型8判断逆命题的真假】 10【知识点1直角三角形全等的判定】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.【题型1添加条件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）阅读下面材料：已知线段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜边BC=a作法：（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA【变式1-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是．【变式1-2】（2023下·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，BE=CF，AB⊥AF，CD⊥DE，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定△ABF与△DCE全等，则添加的条件可以是（写出一个条件即可）．【变式1-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF

A．∠A=∠B B．∠C=∠D C．AC=BE D．AD=BF【题型2判断三角形全等的依据】【例2】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP=∠BOP，那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（

）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【变式2-1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【变式2-2】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直，滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽EF相等，则△ABC≌△FDE的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【变式2-3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B

对这两种画法的描述中正确的是（

）A．小赵同学作图判定Rt△AB．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长C．小刘同学作图判定Rt△AD．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长【题型3利用HL证明全等】【例3】（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、是垂足，DE=BF，求证：△ABF≅△CDE．

【变式3-1】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图是Rt△ABC，根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△AA．

B．

C．

D．

【变式3-2】（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．

(1)第一种情形（如图a）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，则根据______，得出△ABC≌(2)第二种情形（如图b）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F（∠C和∠F均为钝角），AC=DF，AB=DE，求证：△ABC≌△DEF．（提示：分别过点A、点【变式3-3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】【例4】（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．(1)求证：AC=AE；(2)若AC=8，AB=10，求DE的长；(3)若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系．【变式4-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D、E，CE交AB于点F．

(1)求证：△ACD≌(2)若AC=AF，AD=12，BE=5，则FE的长______．【变式4-2】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？【变式4-3】（2023下·湖南张家界·八年级统考期中）如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm.一条线段PQ=AB，并且P、Q两点分别在线段AC和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.问当P点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与△ABC全等？并说明理由．【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】【例5】湖北武汉·八年级校联考期中如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？【变式5-1】（2014上·浙江金华·八年级统考期中）已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．

【变式5-2】（2023上·河北沧州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E．

（1）△ACE与△ADE是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若∠B=28°，则∠AEC的度数为．【变式5-3】（2023下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)连接AD，求证：AD平分∠BAC．【题型6利用HL解决坐标与图形问题】【例6】（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段OA上一点，连接PB．(1)如图1，CA⊥x轴于点A，BC⊥PB，D是OP上一点，且∠BDO=∠PBO；①求证：∠DBO=∠CBA；②若OP=OA，求证：BD+BC=BP；(2)如图2，A5，0，B2，0，G是PB的中点，连接AG，M是x轴负半轴上一点，PM=2AG，当点【变式6-1】（2023上·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，AB=CD，OA=OC=1，OB=2，则点D的坐标是．

【变式6-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中坐标轴上两点A、B，B−23,0，(1)求A点坐标；(2)点Q为第四象限内一点，点P从点B出发沿x轴正方向运动，速度为2个单位/秒，连接PQ、AQ，AQ交x轴于点D，在运动过程中，∠BPQ始终等于150°，且DA=DQ，请用含t的代数式表示(3)在（2）的条件下，当∠BQA=2∠PBQ【变式6-3】（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0）(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度/s，设点P运动的时间为ts，点Q为射线BA上一点，当t=5时，SΔPQOSΔCDB(3)如图3，在（2）的条件下，当△PDC为等腰直角三角形时，求t的值．【知识点2逆命题、逆定理】两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。【题型7写出某个命题的逆命题】【例7】（2023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）把命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题改写成“如果…那么……”的形式：．【变式7-1】（2023上·八年级课时练习）命题：“等角的余角相等”的条件是，结论是：，逆命题是．【变式7-2】（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题是．【变式7-3】（2023·八年级单元测试）将命题“所有直角都相等”的逆命题改写成“如果……那么……”的形式：.【题型8判断逆命题的真假】【例8】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．【变式8-1】（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．两直线平行，同位角相等； B．对顶角相等；C．如果a=b，那么a=b；【变式8-2】（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．两直线平行，内错角相等 B．有两个角互余的三角形是直角三角形C．如果x=y，则x2=y【变式8-3】（2023下·山东德州·八年级统考期中）已知△ABC，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题的逆命题成立的是（

）A．若∠A=∠C−∠B，则△ABC为直角三角形B．若a:b:c=3:4:5，则∠C=90°C．若△ABC为直角三角形，则∠A:∠B:∠C=5:2:3D．若a2=b+c专题1.3直角三角形【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1添加条件利用HL使三角形全等】 1【题型2判断三角形全等的依据】 4【题型3利用HL证明全等】 6【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】 10【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】 15【题型6利用HL解决坐标与图形问题】 18【题型7写出某个命题的逆命题】 26【题型8判断逆命题的真假】 27【知识点1直角三角形全等的判定】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.【题型1添加条件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）阅读下面材料：已知线段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜边BC=a作法：（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA【答案】A【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等．【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL．故选：A．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．【变式1-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是．【答案】AB=AC【分析】根据题意可得，在△ABD和△ACD中，∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，则只需要添加AB=AC，即可根据HL判定全等．【详解】解：添加的条件为：AB=AC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=AD∴Rt△ABD≌故答案为：AB=AC．【点睛】本题主要考查了根据HL判定三角形全等，解题的关键是掌握一条直角边和一条斜边相等的两个直角三角形全等．【变式1-2】（2023下·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，BE=CF，AB⊥AF，CD⊥DE，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定△ABF与△DCE全等，则添加的条件可以是（写出一个条件即可）．【答案】AB=DC或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又∵AB⊥AF，CD⊥DE，∴∠A=∠D=90°，∴当AB=DC时，在Rt△ABF和RtBF=CEAB=DC∴Rt△ABF≅当∠AFB=∠DEC时，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DEC∴△ABF≅△DCEAAS当∠B=∠C时，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABF≅DCEAAS故答案为：AB=CD或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．【变式1-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF

A．∠A=∠B B．∠C=∠D C．AC=BE D．AD=BF【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【详解】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC=∠BFE=90∵CD=EF，∴当添加AC=BE时，根据“HL”判断Rt故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【题型2判断三角形全等的依据】【例2】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP=∠BOP，那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（

）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【详解】由题意知OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，OP=OP，在Rt△OMP和RtOM=ON∴Rt△OMP≌∴∠AOP=∠BOP，故选：C．【变式2-1】（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°在RT△AOB和RT△COD中，AB=CDAO=CO∴△AOB≌△COD(HL)故选A.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键。【变式2-2】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直，滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽EF相等，则△ABC≌△FDE的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，根据直角三角形全等的判定方法解题即可．【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△FDE中，AB=FD∴Rt△ABC≌故选：D．【变式2-3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B

对这两种画法的描述中正确的是（

）A．小赵同学作图判定Rt△AB．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长C．小刘同学作图判定Rt△AD．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长【答案】A【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段B′C′=BC，第二步为作线段C′A′=CA，判定方法为故选：A．【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．【题型3利用HL证明全等】【例3】（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、是垂足，DE=BF，求证：△ABF≅△CDE．

【答案】见解析【分析】求出∠DEC=∠BFA=90°，根据HL定理推出即可．【详解】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF和RtAB=DCBF=DE∴Rt【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【变式3-1】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图是Rt△ABC，根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△AA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据HL证明Rt△【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边A1C1=AC，∴Rt△故选：B．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式3-2】（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．

(1)第一种情形（如图a）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，则根据______，得出△ABC≌(2)第二种情形（如图b）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F（∠C和∠F均为钝角），AC=DF，AB=DE，求证：△ABC≌△DEF．（提示：分别过点A、点【答案】(1)HL（斜边直角边），理由见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定．（1）“HL”定理只能用来证明两个直角三角形全等；（2）通过证明△ACG≌△DFH可得到△ABG,△DEH中的一组直角边相等，再证明△ABG≌【详解】（1）解：HL（斜边直角边），推理过程如下：∵∠C=∠F=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=DFAB=DE∴Rt（2）证明：如图，过A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，过D点作DH⊥EF，交EF的延长线于点H，

∴∠ACG=∠DFH，∵在△ACG和△DFH中，∠AGC=∠DHF=90°∠ACG=∠DFH∴△ACG≌∴AG=DH．∵在Rt△ABG和RtAB=DEAG=DH∴△ABG≌∴∠ABG=∠DEH．∵在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠ACB=∠DFE∴△ABC≌【变式3-3】（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】A【分析】根据题意，结合图形有△AEC≌△AFB,【详解】解：∵AE⊥EC于E，AF⊥BF于F

∴∠E=∠F=90°∵AB=AC，AE=AF∴△AEC≌△AFB(HL∴∠ABH=∠ACG，AB=AC∵∠A=∠A∴△ABH≌△ACGASA∴AG=AH∴BG=CH∵∠ABH=∠ACG，∠GOB=∠HOC∴△GOB≌△HOCAAS∵CE=BF，CG=BH∴EG=FH∵∠E=∠F=90°，AE=AF∴△AEG≌△AFHHL故选：A．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．注意：AAA,SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】【例4】（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．(1)求证：AC=AE；(2)若AC=8，AB=10，求DE的长；(3)若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系．【答案】(1)见解析(2)8(3)AB=AF+2EB【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等量代换思想．(1)证明△ADC≌△ADE即可．(2)根据勾股定理，得BC=AB2−AC2=6，结合△ADC≌△ADE，得到AE=AC=8，BE=AB−AE=2(3)根据三角形全等的性质，结合已知等量代换证明即可．【详解】（1）解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∠CAD=∠BAD，∴∠C=∠AED=90°，DE=DC在△ADC和△ADE中，AD=ADDE=DC∴△ADC≌△ADEHL∴AC=AE．（2）解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=A由（1）得：△ADC≌△ADE，∴DE=DC，AE=AC=8，BE=AB−AE=2，设DE=x，则CD=DE=x,BD=BC−CD=6−x，根据勾股定理，得6−x2解得∴x=8∴DE=8（3）AB=AF+2EB，理由如下：由（1）得：△ADC≌△ADE，∴AE=AC=AF+CF，AB=BE+AE，∴AB=BE+AC，∴AB=BE+AF+CF，∵CF=BE，∴AB=AF+2EB．故答案为：AB=AF+2EB．【变式4-1】（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D、E，CE交AB于点F．

(1)求证：△ACD≌(2)若AC=AF，AD=12，BE=5，则FE的长______．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，由同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，根据AAS证得△ACD≌△CBE即可；（2）由全等三角形的性质得CD=BE=5，AD=CE=12，根据HL可得Rt△ACD≌Rt△AFD，得DF=CD=5【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD与△CBE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE(AAS（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE=5，AD=CE=12，∵AC=AF，AD=AD，∴Rt∴DF=CD=5，∴EF=CE−CD−DF=12−5−5=2．故答案为：2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．【变式4-2】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】会受到影响，24s【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB=80m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE=AF，从而BE=BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．【详解】如图，过点A作AB⊥PN于点B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=1∵80m<100m，∴学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE=AF=100m，∵AB=AB，∴Rt△ABE≌Rt△ABF，∴BE=BF，由勾股定理得：BE=A∴EF=2BF=120m=0.12km，则受影响的时间为：0.12÷18×3600=24（s）．【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点．【变式4-3】（2023下·湖南张家界·八年级统考期中）如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm.一条线段PQ=AB，并且P、Q两点分别在线段AC和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.问当P点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与△ABC全等？并说明理由．【答案】当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等，理由见解析【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置，②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合来求解．【详解】解：当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．理由：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=10；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】【例5】湖北武汉·八年级校联考期中如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？【答案】∠B+∠F=90°【分析】根据HL证明Rt△BAC≌Rt△EDF即可．【详解】解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDFHL∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）．∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余），∴∠B+∠F=90°．【点睛】本题考查了直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．【变式5-1】（2014上·浙江金华·八年级统考期中）已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．

【答案】见解析【分析】易得∠AED=∠CFD=90°，AD=CD，即可根据HL证明Rt【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∵D为AC的中点，∴AD=CD，在Rt△ADE和RtAD=CDDE=DF∴Rt△ADE∴∠A=∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，等角对等边．【变式5-2】（2023上·河北沧州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E．

（1）△ACE与△ADE是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若∠B=28°，则∠AEC的度数为．【答案】是59°/59度【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）利用HL证明两三角形全等即可；（2）根据全等三角形可以得到∠CAE=∠DAE=1【详解】（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt△AEC和RtAE=AEAC=AD∴Rt△AEC≌（2）∵∠B=28°，∴∠CAB=90°−∠B=90°−28°=62°，∵Rt△AEC≌∴∠CAE=∠DAE=1∴∠CEA=90°−∠CAE=90°−31°=59°，故答案为：是；59°．【变式5-3】（2023下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)连接AD，求证：AD平分∠BAC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】1求出BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF即可；2根据全等三角形的性质得出∠B=∠C，根据等腰三角形的判定推出即可．【详解】（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE与Rt△CDF中BD=DCDE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL（2）证明：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B=∠C，BD=DC，∴AB=AC，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用．【题型6利用HL解决坐标与图形问题】【例6】（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段OA上一点，连接PB．(1)如图1，CA⊥x轴于点A，BC⊥PB，D是OP上一点，且∠BDO=∠PBO；①求证：∠DBO=∠CBA；②若OP=OA，求证：BD+BC=BP；(2)如图2，A5，0，B2，0，G是PB的中点，连接AG，M是x轴负半轴上一点，PM=2AG，当点【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)不变，M【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）①由题意知，∠DBO+∠BDO=90°，∠PBO+∠CBA=90°，进而可证∠DBO=∠CBA；②如图1，延长CB交y轴于E，过E作EF⊥CA的延长线于F，由∠DBO=∠CBA=∠EBO，可得BD=BE，BD+BC=BE+BC=CE，证明△POB≌△EFCAAS，则PB=EC=BD+BC（2）如图，延长AG到H，使AG=GH，连接PH，过H作HN⊥AB于N，证明△AGB≌△HGPSAS，则HP=AB=3，证明Rt△AHN≌Rt△MPOHL【详解】（1）①证明：∵∠BOD=90°，∴∠DBO+∠BDO=90°，∵BC⊥PB，∴∠PBO+∠CBA=90°，∵∠BDO=∠PBO，∴∠DBO=∠CBA；②证明：如图1，延长CB交y轴于E，过E作EF⊥CA的延长线于F，由（1）知，∠DBO=∠CBA=∠EBO，∴BD=BE，BD+BC=BE+BC=CE，∵∠PBO+∠ABC=90°，∠ABC+∠C=90°，∴∠PBO=∠C，∵∠PBO=∠C，∴△POB≌△EFCAAS∴PB=EC=BD+BC，∴BD+BC=BP；（2）解：如图，延长AG到H，使AG=GH，连接PH，过H作HN⊥AB于N，∵AG=GH，∠AGB=∠HGP，BG=PG，∴△AGB≌△HGPSAS∴HP=AB=3，∵AH=2AG=MP，HN=OP，∴Rt△AHN≌∴MO=AN=3+5=8，∴M−8【变式6-1】（2023上·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，AB=CD，OA=OC=1，OB=2，则点D的坐标是．

【答案】−2【分析】利用HL证明Rt△ABO≌Rt△CDO，得到OD=OB=2【详解】解：∵AB=CD，OA=OC=1，∠AOB=∠COD=90°，∴Rt△ABO≌∴OD=OB=2，∴D−2故答案为：−2，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明Rt△ABO≌【变式6-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中坐标轴上两点A、B，B−23,0，(1)求A点坐标；(2)点Q为第四象限内一点，点P从点B出发沿x轴正方向运动，速度为2个单位/秒，连接PQ、AQ，AQ交x轴于点D，在运动过程中，∠BPQ始终等于150°，且DA=DQ，请用含t的代数式表示(3)在（2）的条件下，当∠BQA=2∠PBQ【答案】(1)0,2(2)△ABP的面积为(3)4−2【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求得OA的长即可求解；（2）根据题意可得BP=2（3）过点Q作CQ⊥x轴于点C，证明△AOD≌△QCD，得出PQ=2CQ=4，∠BQA=2∠PBQ，设∠BQA=2α，则∠PBQ=α，如图，过点D作DE⊥BQ，在EB上截取EF=EQ，则DE垂直平分FQ，得出∠FDB=∠FBD，过点F作FH⊥BD，则BH=HD，过点D作DG⊥BA交【详解】（1）解：∵AB=4，∠ABO∴OA=∴A0,2（2）解：∵点P从点B出发沿x轴正方向运动，速度为2个单位/秒，∴BP∴S△（3）解：如图，过点Q作CQ⊥x轴于点∵AD=DQ，∠AOD∴△AOD∵OA=2∴CQ=∵∠BPQ∴∠CPQ∴PQ=2∵∠BQA=2∠PBQ，设∠如图，过点D作DE⊥BQ，在EB上截取EF=EQ，则∴DF=∴∠DFQ又∵∠DFQ∴∠FDB∴∠FDB∴FB=过点F作FH⊥∴BH=HD过点D作DG⊥BA交BA的延长线于点∵∠ABO∴DG=∵AD=∴AD=在Rt△ADG与Rt△DA∴Rt△ADG≌Rt△∴∠ADG=∠∵∠CDQ∠ADB∴∠GDB又∵∠GDB∴α=15°∴∠ADO又∵∠CPQ∴∠PQB∴∠PBQ∴PB=PQ∴OP=4−即P4−2【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积，求得α=15°【变式6-3】（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0）(1)求直线AB的解析式；(2)如图2，点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度/s，设点P运动的时间为ts，点Q为射线BA上一点，当t=5时，SΔPQOSΔCDB(3)如图3，在（2）的条件下，当△PDC为等腰直角三角形时，求t的值．【答案】(1)y=−x+3(2)（32，32）或（−3(3)3【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出OP的长，再求出C、D的坐标进而求出△CDB的面积得到△PQO的面积，再根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意可知当△PDC为等腰直角三角形时，只存在∠PDC=90°这种情况，则PD=DC，过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，证明Rt△PED≌Rt△CFD（HL），得到PE=CF=92，则OP=6，t=【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=3∴k=−1b=3∴直线AB的解析式为y=−x+3；（2）解：由题意得OP=5×2=10，∵点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0），∴点C的坐标为（-3，0），点D的坐标为（32，3∴BC=6，∴S△CDB∵S△PQO∴S△PQO∴12∴xQ∴xQ∵点Q在射线BA上，∴当xQ=32时，yQ∴点Q的坐标为（32，32）或（−3（3）解：根据题意可知当△PDC为等腰直角三角形时，只存在∠PDC=90°这种情况，则PD=DC，过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，∴∠PED=∠CFD=90°，∵点D的坐标为（32，3∴DE=DF=3又∵PD=CD，∴Rt△PED≌Rt△CFD（HL），∴PE=CF=92∴OP=OE+PE=6，∴t=6【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．【知识点2逆命题、逆定理】两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。【题型7写出某个命题的逆命题】【例7】（2023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）把命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题改写成“如果…那么……”的形式：．【答案】如果一个图形是轴对称图形，那么它是等腰三角形【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题；许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么……”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了逆命题；先把原命题的题设与结论交换得到逆命题，然后把逆命题的题设写在如果的后面，把逆命题的结论写在那么的后面即可．【详解】命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题为“轴对称图形是等腰三角形”，此逆命题写成“如果...那么...”的形式为“如果一个图形是轴对称图形，那么它是等腰三角形”；故答案为：如果一个图形是轴对称图形，那么它是等腰三角形．【变式7-1】（2023上·八年级课时练习）命题：“等角的余角相等”的条件是，结论是：，逆命题是．【答案】两个角相等它们的余角相等如果两个角的余角相等，那么这两个角相等【分析】根据命题的条件和结论和逆命题的定义进行求解即可．【详解】解：命题：“等角的余角相等”的条件是：“两个角相等”；结论是：它们的余角相等；逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．故答案为：两个角相等；它们的余角相等；如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．【点睛】本题主要考查了命题的条件与结论，命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【变式7-2】（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题