2020-2021学年福建省厦门市八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

2020-2021学年福建省厦门市八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.计算2。的结果是（）

A.0B.1C.2D.4

2

2.计算6机+3机的结果是（）

A.2B.2mC.3mD.2m2

3.在平面直角坐标系尤Oy中，点（2,1）关于y轴对称的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.若是AASC的中线，则下列结论正确的是（）

A.ADLBCB.BD=CDC.NBAD=NCADD.AD=—BC

2

5.如图，点2,C分别在NEA尸的边AE,AF上，点。在线段AC上，则下列是△A3。的

外角的是（）

A.ZBCFB.ZCBEC.ZDBCD.ZBDF

6.整式/-1与n2+n的公因式是（）

A.nB.C.〃+1D.n-1

7.运用公式〃2+2次?+82=（〃+/?）2直接对整式4N+4x+l进行因式分解，公式中的。可以是

（）

A.2x2B.4x2C.2xD.4x

8.如图，已知△ABC与全等，其中点。在边AB上，AB>BCfBD=CA,DE//AC,

BC与DE交于点、F,下列与AO+AC相等的是（）

E

A.DEB.BEC.BFD.DF

9.如图，直线AB,CD交于点O,若A8,C£)是等边△跖VP的两条对称轴，且点尸在直

线C£)上(不与点。重合)，则点N中必有一个在()

A.NA。。的内部B.的内部C.N80C的内部D.直线48上

10.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2),B(a,0),CGn,ri'),其中/">a,a<\,

n>0,若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC,则根的取值范围是()

A.Q<m<2B.2<m<3C.m<3D.m>3

二、填空题(共6小题).

11.计算：

(1)尤2"=；

(2)(%3)2=.

12.五边形的外角和的度数是.

14.如图，CE是△ABC外角的平分线，S.AB//CE,若NACB=36°,则NA等于度.

15.如图，△ABC与△BED全等，点A,C分别与点3,。对应，点C在3。上，AC与BE

交于点尸.若NABC=90°,ZD=60°,则AF：8。的值为

E

16.如图1,在一个大正方形纸板中剪下边长为aaw和边长为6c7W的两个正方形，剩余长

方形①和长方形②的面积和为8cm2.若将剩余的长方形①和②平移进边长为acm的正

方形中（如图2）,此时该正方形未被覆盖的面积为65落则原大正方形的面积为

共86分）

17.计算:

(1)2a2'(3。2-56)；

(2)(2a+b),(2a-6).

18.如图，点F,C,E在一条直线上，AB=DE,FB=CE,AB//ED.求证：AC//FD.

2

19.先化简，再求值：（用+鼻）•旦二鱼，其中加=1.

m-2m+2m

20.甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60

个所用时间相等.求甲、乙每小时各做多少个零件？

21.如图，已知锐角NAP8,M是边PB上一点，设/AP8=a,

（1）尺规作图：在边PA上作点N,使得NANM=2a；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若边PA上存在点。，使得/QM8=3a,

①证明△MNQ是等腰三角形；

②直接写出a的取值范围.

A

22.将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形

的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”.

(1)如图1,AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线折叠后，点B落在点夕

处，求NBA。的度数；

(2)如图2,在△A8C中，ZBAC=90°,点。在边2C上，5.AB=AD,若/B=2N

DAC,判断直线4。是否是△ABC的对垂线，并说明理由.

图1图2

23.观察下列等式：

第1个等式：-1x(4)=1+事

第2个等式：■1x(1U-)=l+p

第3个等式：芈义(1+4)=1+］；

第4个等式：器X(1+卷)=1+-1;

2454

根据你观察到的规律，解决下列问题:

(1)写出第5个等式；

(2)写出第九个等式，并证明；

(3)计算：—X—X—X—X—X—

38152420202-1

24.某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年

活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始

后，该套餐的销售情况如下：

第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；

第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%

出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的

套餐的份数）.

（1）若第一天的全天销售量为m,请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售

量；

（2）该套餐的定价为多少元？

（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售

量比第一天多32%；

第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐

厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规

律：

①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；

②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.

参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时

间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.

25.在四边形ABC。中，90°,AC±BD,垂足为E.

（1）如图1,若BC=DC,求证：ZADC=90°；

（2）如图2,过点C作CG〃AB,分别与2。，交于点RG,点M在边上，连

接MC并延长，交BD于点N,过。作。H_LMC于H,NBCG=2/DCG,且

ZBDC+45°.

①证明NM=NB；

②若BD=AE+CH,探究AB与BC的数量关系.

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.计算2。的结果是（）

A.0B.1C.2D4

解：2°=1,

故选：B.

2.计算6%4-3m的结果是（）

A.2B.2mC.3mD.2m2

解：6m-i-3m—2,

故选：A.

3.在平面直角坐标系xOy中，点（2,1）关于y轴对称的点在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：由题意，得

点、P（2,1）关于y轴对称的点的坐标是（-2,1）,它在第二象限.

故选:B.

4.若是AABC的中线，则下列结论正确的是（）

A.AD1BCB.BD=CDC.NBAD=NCADD.AD=­BC

2

解：是△4BC的中线，

：.BD=DC,

故选:B.

5.如图，点、B,C分别在/E4尸的边AE,AF上，点。在线段AC上，则下列是的

外角的是（）

F

A.ZBCFB.ZCBEC.ZDBCD.ZBDF

解：△A3。的一个外角是NBOF,

故选：D.

6.整式/-1与if+n的公因式是()

A.nB.层C.n+YD.n-\

解：“2-1=(w+1)(M-1),层+〃="("+1),所以整式“2_］与n2+n的公因式是(〃+1),

故选：C.

7.运用公式。2+2"+及=(a+b)2直接对整式4/+4X+1进行因式分解，公式中的。可以是

()

A.2尤2B.4炉c.2xD.4x

解：-：4x2+4x+l

=(2x)2+2X2X+1

=(2x+l)2,

对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x.

故选：C.

8.如图，已知△ABC与全等，其中点。在边AB上，AB>BC,BD=CA,DE//AC,

2C与。E交于点E下列与AO+AC相等的是()

A.DEB.BEC.BFD.DF

解：'：DE//AC,

：.ZA=ZEDB,

'：AABC与ABDE全等,

:.BC=BE,AC=DB,AB=DE,

：.AC+AD^DB+AD=AB^DE,

故选：A.

9.如图，直线AB,CD交于点。，若AB,CO是等边的两条对称轴，且点尸在直

线C。上(不与点。重合)，则点M,N中必有一个在()

A./A。。的内部B.48。。的内部C.NBOC的内部D.直线A3上

解：是等边三角形，

△PMN的对称轴经过三角形的顶点，

,/直线CD,AB是APMN的对称轴，

又：直线CD经过点P,

直线AB一定经过点M或N,

故选：D.

10.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2),B(a,0),C(m,n),其中m>a,a<\,

M>0,若△ABC是等腰直角三角形，且4B=BC,则根的取值范围是()

A.0</?i<2B.2<m<3C.加V3D.机>3

解：如图，过点C作CDLx轴于。，

；.A0=2,

：△ABC是等腰直角三角形，且A8=BC,

・•・ZABC=90°=ZAOB=NBDC,

：.ZABO+ZCBD=90°=ZABO+ZBAO,

・・・ZBAO=ZCBD,

在△AOB和△30。中，

'ZAOB=ZBDC

<ZBAO=ZCBD,

tAB=BC

A(AAS),

.*.A0=B£>=2,BO=CD=n=a,

.\O<£Z<1,

*.*OD=OB+BD=2+Q=m,

A2<m<3,

故选：B.

二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)

H.计算：

(1)N・%5=£；

(2)(X3)2=x6.

解：(1)N・I5=N+5=%7；

(2)(X3)』任』/.

故答案为：(l)N；⑵/

12.五边形的外角和的度数是360°.

解：五边形的外角和是360度.

解：原式=已

X-1

=1.

故答案为：1.

14.如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB〃CE,若NACB=36°,则NA等于72度.

4/E

B

D

解：VZACB=36°,

AZAC£>=180°-ZACB=180°-36°=144°,

•/CE是AABC外角的平分线，

AZAC£=yZACD=yX144°=72°，

'：AB//CE,

.*./A=NACE=72°,

故答案为：72.

15.如图，△ABC与△BE。全等，点A,C分别与点8,。对应，点C在8。上，AC与BE

交于点H若NA2C=90°,/。=60°,则AF：2D的值为3：4.

解：如图，根据题意知，△ABCHBED,则/AC8=/D=60°,ZABC=ZBED=90°,

AC=BD,

：.AC//ED.

ZAFB=ZE=90°.

VZA=ZA,ZAFB=ZABC,

：.△AFBs^ABC.

.AF=AB

■'AB-AC-

'/=sinXACB—sin60°

AC2

,AF=V3

"AB一"F'

：.AF=^-AB.

2

\"AC=BD,

.竺=处=除处=返乂返=3

"BDAC224'

Av

：.AF：瓦）=3：4.

故答案是：3：4.

16.如图1,在一个大正方形纸板中剪下边长为acm和边长为bcm的两个正方形，剩余长

方形①和长方形②的面积和为8cm2.若将剩余的长方形①和②平移进边长为acm的正

方形中（如图2）,此时该正方形未被覆盖的面积为6cm2,则原大正方形的面积为

22。/

图1图2

解：根据图①可知2加?=8的2,

根据图②可知(a-b)2=6c*

贝I](a+b)2=(a-Z?)2+4ab=6+2X8=22(cm2).

故原大正方形的面积为22cm2.

故答案为：22cm2.

三、解答题(本大题有9小题，共86分)

17.计算：

(1)2〃2・(3a2-5b)；

(2)(2a+b)•(2a-b).

解：(1)原式=2。2・3〃2-2〃2・5匕

=6〃-10a2b；

(2)原式=(2a)2-b2

=4〃-b2.

18.如图，点5,F,C,E在一条直线上，AB=DE,FB=CE,AB//ED.求证：AC//FD.

BE

D

【解答】证明：AB//DE,

:.NB=/E,

•：BF=CE,

:.BC=EF,

在△ABC和△£>£：£■中，

'AB=DE

<NB=NE,

,BC=EF

:.AABC^ADEF(SAS),

ZACB=ZDFE,

：.AC//FD.

2

19.先化简，再求值：(粤+」、)•典二鱼，其中根=1.

m-Zm+2m

q声卡_3m(m+2)+m(m-2)(m+2)(m-2)

解：原式—(m+2)(m-2)m

=m[3(m+2)+(m-2)]

m

=3(m+2)+(m-2)

=3m+6+m-2

=4m+4,

当m=1时，原式=4+4=8.

20.甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60

个所用时间相等.求甲、乙每小时各做多少个零件？

解：设乙每小时做％个零件，甲每小时做(x+6)个零件，

根据题意得：—

xx+b

解得：x=12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

x+6=18.

答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件.

21.如图，已知锐角NAPB,M是边产2上一点，设

（1）尺规作图：在边PA上作点N,使得NANM=2a；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若边E4上存在点。，使得NQMB=3a,

①证明AMNQ是等腰三角形；

②直接写出a的取值范围.

A

解：（1）如图1,作的垂直平分线交PA于点N,

（2）①证明：点。在PA上，且存在以M,N,。为顶点的三角形时，有如下情况,

当点Q在射线NA上（不含端点N）时，如图2,

•；ZPQM=ZQMB-ZAPB=3a-a=2a,

由（1）得/ANM=2a,

ZANM=ZPQM,

：.NM=QM,

即△MAQ是等腰三角形；

当点。在线段PN上(不含端点尸)时，如图3,

同理可得NPQW=2a,

由(1)得/ANM=2a,

.•.180°-ZAW=180°-ZPQM,

：.ZMNQ=ZMQN,

:.NM=QM,

即△MNQ是等腰三角形；

当点。在点尸处，3a=180°,

即a=60°,此时△MNQ是等边三角形.

②由①可知点。与点P重合时，a=60°,

；.a的取值范围是0°<a<60°.

22.将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形

的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”.

(1)如图1,AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线A。折叠后，点B落在点3

处，求NBA。的度数；

(2)如图2,在△ABC中，ZBAC=90°,点D在边2C上，S.AB=AD,若NB=2N

DAC,判断直线是否是AABC的对垂线，并说明理由.

图1图2

解：（1）-：AD是等边△ABC的对垂线，把AABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'

处，

：.AB'±BC,AABD^^AB'D,

：.ZBAD=ZB'AD,

•：AABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

又：AB'_LBC,

ZBAB'=—ZBAC^30°,

2

/.ZBAD=^-ZBAB'=^X30°=15°；

(2)直线AO是△ABC的对垂线.

理由如下：-：AB=AD,

：.ZB=ZBDA,

,:NB=2/DAC,ZBDA^ZDAC+ZC,

J.ZDAC^ZC^ZB,

「△ABC中，ZBAC=90°,

.\ZB+ZC=90°,

ZB-4-ZB=90°,

.•.ZB=60°=ABDA,ZDAC=ZC=30°,

把△的＞(7沿直线AD折叠，设点C落在。处，直线AC交BC于点F,则△ACO0A4C。,

：.ZDAC=ZDAC=?>QO,

中，ZAF£>=180°-30°-60°=90°,

即AC±BC,

：.AD是△ABC的对垂线.

23.观察下列等式：

第1个等式：-1x（1+J）=1+事

S，J.

第2个等式：名义（1g）=1+[；

OO2

第3个等式：4rx（i+当=1+春；

1b4o

第4个等式：（1+[=1+4；

2454

根据你观察到的规律，解决下列问题:

（1）写出第5个等式；

（2）写出第〃个等式，并证明;

491625202()2

（3）计算:—X—X—X—x…x

38152420202-1

解：（1）根据已知等式可知:

第5个等式：fx（1+|）="

（2）根据已知等式可知：

第w个等式：（"1\一

x(1H---=1+-

（n+l）2-ln+1n

证明：左边=噌*鬻=等=1上右也

(3)

1+

1咛「5乂17乂y2019

171471^2020

=2x2021

2021

_4040

—2021.

24.某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年

活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始

后，该套餐的销售情况如下：

第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；

第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%

出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的

套餐的份数）.

（1）若第一天的全天销售量为m,请用含机的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售

量；

（2）该套餐的定价为多少元？

（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售

量比第一天多32%；

第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐

厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规

律：

①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；

②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.

参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时

间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.

解：（1）第一天的全天销售量为小第二天晚餐套餐的销售量为：

（1+30%）.100份.

30000

（2）套餐定价为:

m

贝ij：30000x100+30000xo.g5[(1+30%)m-1OO]=37650.

mm

解得：机=250.

经检验：m=250符合题意.

套餐定价为：嚅6=120元.

答：该套餐定价为120元.

(3)第一天午餐卖100份，晚餐买250-100=150份.

第二天午餐卖100份，全天卖250X1.3=325份，晚上卖325-100=225份.

打折后的增长率为：22三二5。X100%=50%.

第三天晚餐卖150份，午餐卖：250X(1+32%)-150=180份.

18Q

打折后的增长率为：^QQ°x100%=80%.

第四天销售量为：250X2=500.

增长率为：IX100%=100%.

由此可知打无折后的销售量的增长率y是一次函数.

设这个函数为：y^kx+b.

贝U：①0.5=0.95上+6.

②0.8=0.924+4

@l=0.9k+b.

解得：k--10,b=10.

•\y=-10x+10.

当x=0.88时，y=1.2.

第5天全天的销售量为：250X(1+120%)=550份.

答：第5天的