2020-2021学年龙岩市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年龙岩市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程/-7*+12=。的两个实数根，则该直角三

角形外接圆的半径长为（）

A.3B.4C.6D,2.5

2.方程/+4x-3=0的两个根为“久2则看+微的值是（）

44

A.4B.—3C.-D.--

3,把二次函数丫=/一2久-1的解析式配成顶点式为（）

A.y—（x—I）2B.y=（尤—1）2—2

C.y=（x+l）2+1D.y=（%+l）2—2

4.下列事件是必然事件的是（）

A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

B.若a?=则有a=b

C.二次函数的图象是双曲线

D.圆的切线垂直于过切点的半径

5.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、尸分别为BC、CD的中点,

点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为（）

A.4

B.4+2V2

C.8

D.4+4V2

6,下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等

的平行四边形是正方形；⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在半圆。中，48为直径，CD是一条弦，若小COD的最大面积是12.5,

则弦CD的值为（）

AB

A.V2

B.5

C.5V2

D.12.5

8.如图，正六边形ZBCDEF中，记荏=落前=后,则五—3是(

A.CD

B.

C.EF

D.FA

9.从-3,-2,-1,0,1,2这六个数中，随机取出一个数，记为若使关于x的函数y=(zn-

l)x2+mx+1的图象与x轴有交点，且使关于久的不等式组写机；；］：°有解，则所有满足条

件的小的绝对值的和是()

A.7B.5C.-1D.—5

10.已知抛物线y=a/+力％+。经过点(-3,n),若%「也是关于%的一元二次方程+

力%+。=0的两个根，且一4cxi〈一3,x2>0,则下列结论一定正确的是()

A.m+n>0B.m—n<0C.m-n<0D.->0

n

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

11.将方程2久2—5x=1—3%化为一般形式是

12.二次函数y=ax2+力％+c(aH0)的图象如图，给出下列四个结论:

①abc<0；②4a+c<2b；(3)m(am+b)+b>a(mH—1)；④方程

2

ax+6%+c—3=0的两根为第1，x2(%i<冷)，则％2V1，>—3,

其中正确结论的是

13.点P(3,-4)关于原点。成中心对称的点的坐标是,至k轴的距离是.

14.在密封的袋子里有除颜色外其它完全相同的红球3个，白球1个，从袋子里摸出两个球，恰好摸

到一个红球一个白球的概率是.

15.如图，等边△ABC中，点。、E分另U在AC、AB边上，且力。=BE,连接BD、入

CE交于点F,则NDFC=°./

E,

16.在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+.+C经过平行四边形4BCD的顶点A,B(l,m),。(7,1)

且它的对称轴经过AC,BD的交点，若AB=5,则这条抛物线的解析式为.

三、解答题(本大题共9小题，共86.0分)

17.计算：

(l)2cos45°-3V8+(tan45°+&)°

(2)———|1-V2|+2-1.

''sm45°11

18.(1)解方程：/一5=4%；

(2)如图，四边形48CD中，Z_C=60。，/.BED=110°,BD=BC,点E在4。上，将BE绕点B逆时针

19.计算：

(1)20050-22+(I)-1；

/,«-»xx1.1、a

(2)(-Q-—--3--1--a--+-3-，)—Q2；-—9

(1)它与X轴交点的坐标为,与y轴交点的坐标为,顶点坐标为

(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线;

X

_________________________

y

_________________________

(3)结合图象回答问题：当l<x<4时，y的取值范围是

21.某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，

平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均

每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？

(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：

小明：设每件皮衣降价万元，由题意，可列方程：.

小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：.

(2)请写出一种完整的解答过程.

22.如图，AABC的边4B与AEDC的边ED相交于点尸，连接CF.已知AC=EC,BC=DC,4BCD=

/.ACE.

(1)求证：AB=ED；

(2)求证：FC平分NBFE.

23.从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我校”演讲赛的学生.

(1)求抽取1名，恰好是男生的概率；

(2)先画树状图或列表，再求抽取2名，恰好是1名女生和1名男生的概率.

24.如图1,。。是AaCD的外接圆，点。是M的中点，过点C作BC14C,交弦4D的延长线于点B.

(1)求证：AD=BD-,

(2)若。。的半径为6,求警的值;

(3)如图2,若就是半圆，点P是。。上的动点，且点D,P分别位于4C的两侧，作△力PD关于的轴

对称图形AAQD,连接CQ,试探究CQ2,DQ2,4Q2三者之间满足的数量关系，并证明所得到

的结论.

25.在平面直角坐标系久0y中，点P(2,-2)在二次函数y=/+znx+7?(爪>0)的图象上.

(1)若zn—n=3,求m、n的值.

(2)若该二次函数的图象与y轴交于点4其对称轴与“轴交于点B,贝I］。?!=0B成立吗？请说明理由.

(3)若该二次函数图象向左平移k个单位，再向上平移4爪个单位，所得函数图象仍经过点P,当k>-2

时，求所得函数图象的顶点纵坐标的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：%2-7%+12=0,

(%—3)(%—4)=0,

解得x-3,x=4；

所以直角三角形的两条直角边为：3、4,

由勾股定理得：斜边长=#32+42=5;

所以直角三角形的外接圆半径长为2.5,

故选：D.

直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此求出直角三角形的斜边长是解题的关键，通过解方

程可求得直角三角形的两条直角边，进而由勾股定理求得斜边的长，由此得解.

此题主要考查了直角三角形外切圆半径的求法，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应

用，难度不大.

2.答案：C

解析：解：

・.・方程M+©—3=0的两个根为%2,

•••+%2=—4，%1%2=—3，

,,1r1=%i+%2=—4=一4,

X2%i%2-33

故选：C.

由根与系数的关系可分别求得%+比2和*62的值，再代入求值即可.

本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系求得/+冷和久1久2的值是解题的关键.

3.答案：B

解析：试题分析：利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，

把一般式转化为顶点式.

y=x2—2x—1—X2—2x+l—1—l=(x—l)2—2.

故选2.

4.答案:D

解析：解：4、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，是随机事件，故此选项错误；

B、若a2=b2则有a=b,是随机事件，故此选项错误；

c、二次函数的图象是双曲线是不可能事件，故此选项错误；

。、圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件，故此选项正确;

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件

指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

5.答案：C

解析：解：作E点关于BD的对称点E',连接E'F交BD于点P,

••・四边形A8CD是正方形，E点是BC的中点，

E'是4B的中点，

E'P=EP,

■.EP+PF=E'P+PF,此时四边形PECF的周长最小,

・••正方形48CD的边长为4,F是CD的中点，

PE=PF=CF=EC=2,

••・四边形PECF的周长最小值为8,

故选：C.

作E点关于BD的对称点E',连接E'尸交于点P,此时四边形PECF的周长最小，由对称性可知户是4B

的中点，则四边形PECF的周长最小值为8.

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用正方形的性质是解题的

关键.

6.答案：B

解析：解：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形，错误，符合题意；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不合题意；

③对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不合题意；

④对角线相等的菱形是正方形，正确，不合题意；

⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不合题意；

⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，错误，符合题意.

故选：B.

根据中心对称图形的概念以及结合矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析即可求解.

本题考查了中心对称图形、矩形、菱形、正方形的判定方法，正确把握相关定义是解题关键.

7.答案：C

解析：

本题考查三角形的面积、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

如图，作1C。交C。的延长线于H.首先证明当=。。时，AC。。的面积最大，止匕时AC。。是等

腰直角三角形，NCOD=90。，求出半径。C即可解决问题；

解：如图，作DH1CO交C。的延长线于

•••DH<0D,

.•.当时，AC。。的面积最大，此时AC。。是等腰直角三角形，4COD=9。。,

CD=V2OC,

■■---oc2=12.5,

2

OC—5,

CD=5\/2.

故选：C.

8.答案：D

解析：解：如图，延长CB交凡4的延长线于7.

•・•乙FAB=乙ABC=120°,

・•・乙TAB=乙TBA=60°,

・•.△是等边三角形，

•••AT=AB=FA,

■■■FA—a—b>

故选：D.

如图，延长CB交FA的延长线于7,可知△ABT是等边三角形，推出AT=48=FA^a-b，可得结论.

本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.答案：A

解析：解：关于工的函数y=(7H-1)/+nix+1的图象与％轴有交点，

当函数为一次函数时，m-1=0,与x轴有交点；

当函数为二次函数时-1K。)，y=(m—l)x2+mx+1=[(m-l)x+1](%+1),与无轴交点坐

标(-1,0)(六,0),

故一3,-2,-1,0,1,2这六个数满足条件，

解关于x的不等式组得m-2<x<1-2m,有解，

m-2<1—2m,

解得m<1,

满足条件数为—3,-2,—1,0,1.

.•・满足条件的根的绝对值的和=3+2+1+0+1=7,

故选：A.

讨论函数关于x的函数y=(m-l)x2+mx+1的图象与无轴有交点，是一次函数与二次函数的情况,

再结合不等式组的解求解.

本题主要考查了二次函数、一次函数与无轴的交点问题、不等式求解，解题关键是分情况讨论小的取

值，进而求解.

10.答案:C

解析：

本题考查抛物线与久轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

根据题意和二次函数的性质，可以得到加、九一定异号，从而可以得到各个选项中的哪个结论一定正

确，本题得以解决.

解：；抛物线y=ax2+bx+c经过点(-4,7n),(-3,n),久2是关于久的一元二次方程a比2+bx+c—

。的两个根，且一4</<一3,x2>0,

m>0,n<0或？n<0,n>0,

二当zn>0,?1<0时，m+n的正负不好确定，m—n>0,mn<0,；<。，

当m<0,7i>0时，m+n的正负不好确定，m—n<0,mn<0,?<。，

由上可得，一定正确的结论是nm<0,

故选：C.

11.答案：2/一2久一1=0

解析：解：2/—5%=1—3%,

2K2—5%—1+3%=0,

2x2—2x—1—0,

故答案为：2x2-2x-l=0.

移项，合并同类项，即可得出答案.

本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注

意：一元二次方程的一般形式是a/+6%+c=0(a、b、c为常数，a70).

12.答案：①②③

解析：解：抛物线开口向上，因此a>0,对称轴为％=a、b同号，所以6>0,与y轴交于

负半轴，c<0,所以abc<0,故①正确；

当x=-2时，y=4a—2b+c<0,即4a+c<26,因此②正确；

当久=—1时，丫最小=a—b+c,当％=4一1)时，^^:口^^+人M+的有am?++0>a—

b+c,即m(am+b)+b〉a,因此③正确；

由抛物线与x轴的交点为(1,0)(-3,0),因此方程a/+bx+c-3=0

xX

的两根为X],X2(l<%2)，则久2>1，1<一3,于是④不正确；

综上所述，正确的结论有：①②③，

故答案为：①②③.

根据抛物线的开口方向、对称轴、与％轴、y轴的交点以及最小值综合判断即可.

本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、6、c的关系是正确判断的前提.

13.答案:(—3,4)；4

解析：解：点P(3,-4)关于原点。成中心对称的点的坐标是(-3,4),至反轴的距离是4,

故答案为：(-3,4),4.

根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案；

根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.

14.答案：1

解析：解：01树状图为：

红红红白

小

A」缸白红Z红N白红/红N白红红红

共有12种等可能的结果数，其中一个红球一个白球的结果数为6,

所以恰好摸到一个红球一个白球的概率=卷=也

故答案为

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个红球一个白球的结果数，然后根据概率公式求

解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事

件a或8的结果数目ni,然后利用概率公式计算事件a或事件B的概率.

15.答案:60

解析：解:为等边三角形，

乙CBE=/.BAD=60°,BC=BA.

在△43。和4BCE中，

AB=BC

Z.BAD=Z.CBE,

AD=BE

•••△ABDWABCE(SAS),

•••Z-ABD=Z-BCE.

•・•乙DFC=乙BCE+乙FBC,

・••乙ABD+乙FBC=乙BCE+乙FBC=60°,

・•・乙DFC=60°.

故答案为：60.

由等边三角形的性质可得出NCBE=NB4D=60。，BC=BA,进而可得出△4BD三△BCE(SAS),根

据全等三角形的性质即可得出N/1BD=乙BCE,再根据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质找出相等的边

角关系是关键.

16.答案：y十号x+1

解析：解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a*0),

因为四边形48CD是平行四边，

所以。，(4,券)，

所以抛物线对称轴为直线x=4,

过点2作2E，直线x=1于点E,

因为4E=3,AB=5,由勾股定理可得“BE=y/AB2-AE2=V52-32=4，

又因为所以4(4,m—4),

因为B在抛物线上，所以B(l,a+6+c),A(4,a+6+c-4),

根据抛物线经过点。(7,1),4(4,a+b+c-4)且对称轴为直线尤=4可列方程为:

49a+7b+c=1

b.

-----=4.

2a

16a+4b+c=a+b+c—4

a=-

解得:

37

C=一

故抛物线的解析式为：y=1x-----xH——.

设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出力(4,a+6+c-4),在利用

0(7,1),4(4,a+b+c-4)和对称轴为直线％=4可列出方程，得到牌抛物线解析式.

本题重点利用平行四边形的性质和二次函数的性质的一道综合应用题，能够准确画出图象是解题的

关键.

17.答案：解:(1)原式=2义孝一3*2夜+1

=V2-6A/2+1

=-5V2+1;

(2)原式=1+11

=V2+1—V2+-

解析：(1)根据零指数累和特殊角的三角函数值得到原式=2x乎-3x2/+1,然后进行乘法运算

后合并即可；

(2)根据负整数指数幕以及特殊角的三角函数值得到原式=专+1—&+巳，然后分母有理化后合并

即可.

18.答案：解：(I)%2-5=4%；

原方程变形得：x2-4x-5=0,

因式分解得:(x-5)(%+1)=0,

于是得：％-5=0,或x+l=0,

X]=5,%2=—1;

(2)••・ZC=60°,BD=BC,

・•.△BCD是等边三角形，

••・乙DBC=60°,

由旋转的性质得：/-EBF=60°,BE=BF,

•••Z.EBD=Z.FBC,

BE=BF

在ABDE和ABCF中,乙EBD=乙FBC,

、BD=BC

・•△BDEm4BCF(SAS),

：.乙BDE=NC=60°,

•••乙EBD=180°-4BED-乙BDE=180°-110°一60°=10°.

解析：(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)证明ABC。是等边三角形，得出ADBC=60。，由旋转的性质得出NEBF=60。，BE=BF,得出

乙EBD=NFBC,证明△BDEmABCF(SAS),得出乙BDE=NC=60°,由三角形内角和定理即可得出

答案.

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、

因式分解法解一元二次方程；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是

解题的关键.

19.答案：解：(1)原式=1—4+3

=0；

。、盾才_a+3+a-3.(a+3)(a-3)

乐队―(a+3)(a-3)a

=2.

解析：(1)原式第一项利用零指数哥法则计算，第二项表示2个2的乘积，最后一项利用负指数累法则

计算即可得到结果；

(2)原式括号中两边通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到

结果.

20.答案:(1,0)、(3,0)；(0,-3)；(2,1)；0；1；2；3；4；；；0；1；0；—3；—3<y<0

VA

解析：解：(1)在y=—/+4%—3中，令y=0,则〃5-

—X2+4%—3=0,4-

3-

解得：勺=1,冷=3,

2-

・・.抛物线y=-%2+4%-3与无轴交点的坐标为(1,0),

/\

(3,0);-5-4-3一-2-1(142%4…5J

令％=0,则y=-3,

・•・抛物线y=-%2+4%-3与y轴交点的坐标为

(0,-3)；

y——x2+4x—3——(x—2>+1,

顶点坐标为(2,1)；

故答案为：(1,0),(3,0),(0,-3),(2,1)；

(2)当x=0,1,2,3,4时，y=—3,0,1,0,-3；

如图所示，

故答案为：0,1,2,3,4,一3,0,1,0,-3；

(3)由图象知：当1<久<4时，y的取值范围是一3<y<0.

故答案为：—3<y<0.

(1)令y=0得：一/+4%一3=0,求得方程的解，从而得到抛物线与x轴交点的坐标，令x=0,求

得y值，从而求得抛物线与y轴的交点坐标，根据二次函数图象的顶点式，可得顶点坐标；

(2)利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；

(3)根据函数图象回答即可.

本题主要考查的是抛物线与x轴交点的坐标、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题

的关键.

21.答案：(1100—750)(30+x+50x10)=12000(y-750)(30+x10)=12000

解析：解：(1)小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为(30+x+50x10)件，

依题意，得：(1100-x-750)(30+x50x10)=12000；

小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为(30+10)件，

依题意，得：(y—750)(30+嘤2x10)=12000.

故答案为：(1100750)(30+x+50x10)=12000；(y-750)(30+x10)=12000.

(2)选择小明的的设法，贝！)(1100-%-750)(30+x-r-50x10)=12000,

整理，得：%2-200%+7500=0,

解得：=50,久2=150,

1100-x=1050或950.

答：每件皮衣定价为1050元或950元.

选择小红的设法，则(y-750)(30+&岁x10)=12000,

整理，得：y2-2000y+997500=0,

解得：%=1050,%=950.

答：每件皮衣定价为1050元或950元.

(1)根据总利润=每件皮衣的利润x销售数量，即可得出关于久。)的一元二次方程；

(2)选择小明(小红)的设法，解方程即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

22.答案：证明：(1)ABCD=AACE,

乙BCD+Z-ACD=Z-ACE+Z.ACD,

即N8C4=乙DCE,

在△ABC与△EDC中

BC=DC

乙BCA=Z.DCE,

AC=EC

.-^ABC=^EDC(SAS),

AB=ED；

(2)过点C作CG，AB,CHIDE,垂足分别为G,H

•••△ABC=LEDC,

•••Z-B=Z-D,

•・•CGLAB,CH1DE,

•••(BGC=乙DHC=90°,

在△BCG与△DC”中

ZB=Z.D

乙BGC=乙DHC,

BC=DC

：.ABCG=ADCH(AAS),

・•.CG=CH,

・•・FC平分乙BFE.

解析：(1)根据SAS证明△ABC与△EDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；

(2)根据全等三角形的判定和性质得出CG=CH,进而利用角平分线的性质解答即可.

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定方法解答.

23.答案:解:(1)•••有1名男生和2名女生,

・•・抽取1名，恰好是男生的概率为：

(2)画树状图得：

开始

男女女

Z\Z\/\

女女男女男女

•••共有6种等可能的结果，抽取2名，恰好是1名女生和1名男生有4种情况，

・•・抽取2名，恰好是1名女生和1名男生概率为：

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解析：(1)由从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，故利用概率公式即

可求得抽取1名，恰好是男生的概率；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取2名，恰好是1名女生和1名

男生的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是不放回实验.

24.答案：解：•・•点D是部的中点，

AD=CD，AD=DC,

•••Z-BAC=Z-DCAf

•・•AACB=90°,

••・^DCA+乙BCD=90°=/-BAG+乙B,

・•.Z.BCD=乙B,

CD=BD,

AD=BD；

(2)过点。作O。的直径DE,连接AE,DE交AC于点F,

,•,点。是翁的中点，

/.AF=CF,DF1ZC,

BD=AD,

・•・DF=-BC,

2

・•・DE为。。的直径，

・•.A.DAE=90°=Z.DFA,

•••Z-ADF=Z.EDA,

ADF~AEDA,

AD_DE

,t,—，

DFAD

.AD_12

--BC-AD9

2

•••AD2=6BC.

AD2/

—=6.

BC

(3)以。为直角顶点，作NQDG=90。，且使DG=DQ,连接AG,QG,

.•■AQDG为等腰直角三角形，

•••QD=DG,QG2=2QD2,Z.DQG=45°,

•••AC为O。的直径，

AADC=90°=乙QDG,

Z.ADG=Z.CDQ,

AD=DC,

SAX