里约热内卢奥运会奖牌榜预测数学建模

2016年里约热内卢奥运会奖牌榜预测摘要如今，奥运会已成了一个普天同庆的节日，越来越多的国家参与其中，它不但是各个国家的盛典，而且代表了一个国家的综合国力。2016年的里约热内卢奥运会即将来临，而大家对奥运奖牌榜也充满了好奇。本文将对2016年的奥运会奖牌榜的前十名进行一个预测。本文研究奖牌榜所采用的模型是灰色预测模型。针对问题（一）通过对原始数据进行一个编排，对金牌、银牌、铜牌进行赋权，权值分别为4分、2分、1分，然后采用灰色系统GM（1,1）累加生成的模型，列出相应的微分方程，在运用最小二乘法求解得灰系数，带入到微分方程中，再运用MATLAB进行数学分析，还原数据，得出模拟的序列，进行预测。最终求得2016年里约热内卢奥运会奖牌榜的前十名分别是美国、中国、俄罗斯、英国、德国、澳大利亚、法国、韩国、意大利、日本。然后对结果进行检验，还要考虑到各国经济发展、人口体质、政府政策、以及东道主效应对结果的影响，加入修正项，最终得到2016年奖牌榜的前十名为。针对问题（二）根据我们的最终结果对各国的体育水平进行一个分类。关键词：灰色预测最小二乘法东道主效应MATLAB一问题重述奥运会是竞技体育顶级盛会，其所获奖牌数及国家排名不仅仅是一个国家体育水平的反应，也是国家经济、政治和综合实力的具体体现。明年第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日-21日在巴西的里约热内卢举行(以下简称里约奥运会)，对于即将举行的里约奥运会，大家普遍关心的就是奥运会奖牌榜的排名这一奥运热点问题。现请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测二问题分析针对问题（一） 本文就2016年里约奥运会奖牌榜这一问题进行分析，采用灰色模型GM（1,1）来对2016奥运会奖牌榜进行预测，首先制定一个评判标准来将所获奖牌折合成积分数值，从而实现从模拟到数字的量化过程。再用灰色预测的方法对该问题进行探讨与分析。紧接着，用MATLAB编程求出结果。然后使用经济分析的方法，对收入（GDP）和人口体质建立数学模型。综合考虑东道主效应、政府政策等各种可能影响到奖牌榜的因素，从而使得结果更接近实际情况。最终得到里约奥运会前十名依次为美国、中国、俄罗斯、英国、德国、澳大利亚、法国、韩国、意大利、日本。针对问题（二） 我们将各国体育水平分为四类，分别为：一个一等国家，两个二等国家，三个三等国家，四个四等国家。三模型假设1、假设各国体育实力没有较大的变化。2、假设苏联解体前参加的奥运会记录记为俄罗斯记录。3、假设奥运会如期举行，不会被天气、战乱等因素影响各国所得奖牌情况。4、假设奥运会各项比赛规则及设置不变。5、假设各国奥运会得奖牌情况至于前几届得奖牌情况有关。6、假设参赛人员都发挥正常。四符号说明发展系数灰色作用量灰参数GDP国内生产总值U灰色作用量五模型建立5.1赛况评定标准的制定 根据对第25到30届奥运会奖牌榜数据来源的分析，选取每届出现在奖牌榜前15名的国家进行测评。 奥运会在当今社会已不仅仅是一个体育竞技赛事，它更是一个国家的政治、经济以及文化底蕴的重要体现。于是制定一个奥运排名评判准则就显得尤为重要。实际上，奥委会并未给出任何官方的国家排名情况，但各个国家有着各自不同的排名系统。而此次我们所所采用的排名方式为按积分排列方式。其规定如下：金牌=4分，银牌=2分，铜牌=1分。 按积分排列方式可以将所得奖牌情况量化为更为直观的数字，有助于我们更为直观地进行分析比较，最终得出更为人性化、合理化的结果。5.2原始数据整理选取第25到30届奥运会奖牌榜做情况的分析，运用excel依次选取出每届出现在奖牌榜前15名的国家进行分析，以出现在榜单中的次数为主要依据选取出综合较强的16个国家，做进一步分析。5.2GM（1，1针对问题（一） 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即含已知信息又含未知信息的理论体系。月就是说灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型。这有利于对其变化过程进行研究与描述，确定系统在未来的发展变化趋势，进而解决问题。 在灰色预测模型中，随机性被弱化，确定性增强，在深层次的求解中生成函数，据此建立一阶微分方程为其预测模型。 假设有原始数据列，n为数据个数。 在此我们依据数据建立GM（1,1）实现预测功能，具体步骤如此下： （1）记为生成数列： ； 其中，中个数据表示对前吉祥数据的累加。 t=1,2,3,…,n（1-1） （2）对建立的一阶线性微分方程： （1-2） 其中，a,b为待定系数，分别为发展系数和灰色作用量，a的区间为（-2,2），记a，b组成的矩阵为。求出参数a，b，就能求出，进而求出的预测值。（3）对累加生成数据做均值生成B与常数项向量，即，（1-3）（4）用最小二乘法，通过最小误差的平方和寻找数据函数的最佳匹配求解灰参数,(1-4)(5)将灰色参数代入进行求解，得：（1-5）其中是一个近似的表达式。（6）对函数表达式及进行离散，并将两者做差以还原原序列，得到近似数据序列（1-6）（7）利用模型进行预测：（1-7）5.3数据处理及预测 对于较为复杂的数学计算，我们采用程序的算法来求得结果。 首先我们查找一些可靠的数据。由于若选择年限太久则变化太大，我们并不能从中更为精确地计算出奖牌榜预测情况，所以在进行对里约奥运会的奖牌榜预测时，我们选择近六届奥运奖牌榜获奖成绩前十五的国家获奖积分成绩排名作为参考依据。具体数据如附录1所示，从表中我们可以清楚地得知各国所获得的奖牌情况。 表1在近6届奥运会中奖牌榜积分排名前十六位国家加权积分情况综合积分25届26届27届28届29届30届美国253265239247274271中国124120159176274228俄罗斯285162212200162179英国38267166117169德国2021431161069996澳大利亚577713111610372法国588991757778韩国428481736261意大利706361698075日本392941945873古巴796073614132匈牙利754647472445西班牙683823394336罗马尼亚363965481720乌克兰-5242555343荷兰273670444244对表1数据进行分析可知，以频率分布为筛选条件选出在近六届奥运会中奖牌榜出现次数最多的十六个国家进行分析。我们通过对近六届美国、中国、俄罗斯、英国、德国、澳大利亚、法国、韩国、意大利、日本、古巴、匈牙利、西班牙、罗马尼亚、乌克兰、荷兰十六个国家奖牌榜排名情况进行分析便可预测他们在2016年里约奥运会的奖牌榜排位情况，在无重大影响因素的条件下即可预测出前十名的国家排名。在此次数据处理中，我们采用MATLAB进行程序的编写，依据十六个国家近六届奥运会中奖牌榜积分情况来对2016年里约奥运会奖牌榜进行一个预测。具体程序见附录2。经MATLAB运算可得结果如下所示：1.美国2.中国3.俄罗斯4.英国5.德国6.澳大利亚7.法国8.意大利9.韩国10.日本11.古巴12.匈牙利13.西班牙14.罗马利亚15.乌克兰16.荷兰经数据处理，我们得出结果为：中国、美国、英国、俄罗斯、日本、澳大利亚、意大利、德国、法国、韩国如表2所示。表22016年里约奥运会奖牌榜预测前十名国家排名情况国家中国美国英国俄罗斯日本澳大利亚意大利德国法国韩国预测积分304.5795273.9565241.8781178.481792.126490.512783.329781.14171.547354.67725.4结果的检测对实验结果进行进一步的优化分析：按照数学模型的求解，我们可以得到各国从第二十六届奥运会到三十一届奥运会的各届预测积分和世纪积分，将这两个数据进行对比，会发现存在着一定的误差，对比做出误差分析表格，如表3所示：表3实际积分和预测积分二者误差分析国家美国中国俄罗斯德国英国澳大利亚法国韩国误差3.59%8.67%8.15%14.30%3.68%18.28%3.55%2.45%国家意大利日本古巴匈牙利西班牙罗马尼亚乌克兰荷兰误差3.73%39.65%13.38%21.62%15.44%28.85%8.67%14.74%从对比表中我们可以发现，我们的模型存在着一定的误差，而这种误差是不可忽略的，这是因为我们只是通过对以往各国的奖牌榜情况的分析而进行预测，而忽略了各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌的因素，因此我们应该加入一些修正项，由近六届奥运会奖牌榜可知，第25届西班牙奥运会，西班牙奖牌榜排名为我们所研究六届奥运会奖牌榜中名次最为靠前的一次；第26届美国奥运会，美国所获奖牌数远超第二名；第27届澳大利亚奥运会，澳大利亚所取得的成绩为近六届最好；第28届希腊奥运会，希腊在近六届奥运会中唯一一次进入奖牌榜前十五名；第29中国届奥运会，中国首次登顶为奥运奖牌榜首位；第30届英国奥运会，英国也获得了近六届最好成绩。由此可以很明显地看出，奥运会的东道主效应十分明显。通过定量计算我们得出历届奥运会奖牌榜东道主效应值为0.113。在用灰色理论建立模型前，我们先考虑东道主效应，预测实际值将会与计算至产生偏差，因此应该消除东道主效应所产生的偏差，取得一个平均水平上的值。东道主国家实际获奖牌数比理论值增加11.3%。所以（其中x为实际值，因为预测值）。但由于在近六届奥运会奖牌榜中巴西从未进入过前十五位，所以我们不考虑巴西由于东道主效应而进入奖牌榜排名前十名这种情况。人口数量因素分析： 假定擅长运动的人平均分布于世界各地，则人口基数多的国家会获得更加有意的成绩，那么中国、印度、印度尼西亚、孟加拉非等国家应该位列前茅，但事实并非如此。国家经济发展因素分析： 通过对查找的数据（见附录1）进行分析我们发现奥运奖牌榜的排名情况与国家GDP有着较为密切的关系。通过下列圆饼图（下面我们选取近两届奥运会举办年度的数据，其他数据见附录2）我们可以更为清晰地看出一个国家的GDP排名越为靠前则其奖牌榜排名也会位居前列。2008年奥运会奖牌榜积分汇总图