逼近与正交多项式

逼近与正交多项式§1

函数逼近的基本概念

：1.数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；2.当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.问题

这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.第2页,共32页，2024年2月25日，星期天

插值法就是函数逼近问题的一种.

记作，

本章讨论的函数逼近，是指“对函数类中给定的函数中求函数，使与的误差在某种度量要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”.

函数类通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间.第3页,共32页，2024年2月25日，星期天

§2正交多项式

1.定义

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定义1设是有限或无限区间，在上的函数满足条件：（2）存在且为有限值（3）对上的非负连续函数，如果则称为上的一个权函数.则(1)第5页,共32页，2024年2月25日，星期天

设是上给定的权函数,定义2第6页,共32页，2024年2月25日，星期天

内积的性质第7页,共32页，2024年2月25日，星期天

定义3则称与在上带权正交.若上的权函数且满足为第8页,共32页，2024年2月25日，星期天

若函数族满足关系则称是上带权的正交函数族.

若，则称之为标准正交函数族.第9页,共32页，2024年2月25日，星期天

三角函数族就是在区间上的正交函数族.

定义3设是上首项系数的次多项式，为上权函数，满足正交关系式，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式.如果多项式序列第10页,共32页，2024年2月25日，星期天

只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列：第11页,共32页，2024年2月25日，星期天

例1

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（1）是具有最高次项系数为1的次多项式.正交多项式序列有以下性质：

（2）任何次多项式均可表示为的线性组合.第14页,共32页，2024年2月25日，星期天

2.正交多项式的性质第15页,共32页，2024年2月25日，星期天

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定理3设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根.第18页,共32页，2024年2月25日，星期天

第19页,共32页，2024年2月25日，星期天3.

勒让德多项式

罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式

当区间为，权函数时，并用表示.正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，由第20页,共32页，2024年2月25日，星期天由于是次多项式，所以对其求阶导数后得

最高项系数为1的勒让德多项式为于是得首项的系数第21页,共32页，2024年2月25日，星期天

勒让德多项式重要性质：

性质1

证明令，设是在区间上阶连续可微的函数，由分部积分知正交性则第22页,共32页，2024年2月25日，星期天

下面分两种情况讨论:

（1）若是次数小于的多项式，则故得第23页,共32页，2024年2月25日，星期天则

（2）若于是第24页,共32页，2024年2月25日，星期天由于故第25页,共32页，2024年2月25日，星期天

性质2

由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是性质2成立.奇偶性第26页,共32页，2024年2月25日，星期天由递推公式利用上述递推公式就可推出

性质3第27页,共32页，2024年2月25日，星期天图3-1

图3-1给出了的图形.第28页,共32页，2024年2月25日，星期天

在区间内有个不同的实零点.性质4第29页,共32页，2024年2月25日，星期天

4.

切比雪夫多项式

当权函数，区间为时，由序列正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.

它可表示为若令，则第30页,共32页，2024年2月25日，星期天

性质5

切比雪夫多项式有很多重要性质：