函数模型的应用5种常见考法归类

4.5.3函数模型的应用5种常见考法归类1、几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2、应用函数模型解决问题的基本过程（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．（2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．（3）求模——求解数学模型，得出数学模型．（4）还原——将数学结论还原为实际问题．3、指数函数模型问题的求解策略(1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．(2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.4、对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．5、建立拟合函数与预测的基本步骤考点一根据实际问题增长率选择合适的函数模型考点二指数型函数模型考点三对数型函数模型考点四指数、对数、幂函数模型的增长差异考点五建立拟合函数模型解决实际问题考点一根据实际问题增长率选择合适的函数模型1．（2023·高一单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（

）x210123yA．一次函数模型 B．二次函数模型C．对数函数模型 D．指数函数模型【答案】D【分析】利用各类型函数的特点，取点，设出函数解析式，代入其他对应值验证即可求解.【详解】由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；故C错误；取点，设一次函数，则，解得，即，而当时，，所以不是一次函数模型；故A错误；设二次函数，则

解得，即.当时，，故不满足题意；故B错误；设指数函数，则，解得，即，代入其他值，验证：接近；接近；接近；接近，故D正确.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）若三个变量，，随着变量xx分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（）x13579115254565851055292452189196851771495A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数型的性质即可得其变化特征，即可求解.【详解】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选:.3．（2023秋·高一单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:x123y0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察散点图符合指数型函数图象.【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，观察图象，类似于指数函数图象，对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误，对于B，是以y轴为对称轴的二次函数，所以B错误，对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误，对于D，是指数型函数，所以D正确，故选：D4．（2023秋·高一课时练习）有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据表格中数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判断即可求解.【详解】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，结合选项，函数的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数随着的增大，不断减小，不符合题意；函数的增长速度越来越快，符合题意；函数增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是，故选：C5．（2023·全国·高一专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：利用散点图看增长趋势确定函数，法二：结合表中数据，根据函数的性质判断.【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；法二：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数，当时，代入值偏差较大，不符合要求，故选：B.6．（2023春·陕西西安·高二统考期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，即，，，对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；对于B中，函数，当时，和0.4相差较大；对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；对于D中，函数，当时，，当时，，当时，和0.76相差0.04，综合可得，选用函数关系较为近似．故选：D.7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：月份23456…元11…请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（

）（参考数据：，）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出自变量的范围.【详解】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象．如图：观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近，因此用这一函数模型．当时，，则有.由且，最小值为10.故选：C.8．（2023秋·高一课时练习）某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③(其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为．【答案】③【分析】根据该同学的成绩变化选定函数模型，然后根据已知条件求得解析式.【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是，∵，且，∴，解得，∴.故答案为：③；9．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据：增加的销售量01245广告投入费用为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，，(1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由；(2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析(2)；千件【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型；（2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可.【详解】（1），在区间上单调递减，与表中数据矛盾，该模型不合适,，则函数在处无意义,与表中数据矛盾，该模型不合适,故选择是最合适的模型.（2）将表中的数据代入可得，解得所以；设每千件的广告费用为，则，所以当时，最小值为，故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少.考点二指数型函数模型10．（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由求出的值，再令求出，从而求出.【详解】依题意，显然，即，所以，则，所以，令，即，所以，即，所以，所以该地投资基础建设年后产生的社会经济效益是投资额的倍，所以.故选：C11．【多选】（2023秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（

）（参考数据：取）A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的【答案】ACD【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项.【详解】设抽气泵抽了次，若要使压缩袋内的气体少于原来的，则，即，则．因为，所以至少要抽5次，A正确，B错误．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的，C正确．，D正确．故选：ACD12．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，.该品牌塑料袋大约需要经过（

）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A．20 B．16 C．12 D．7【答案】B【分析】由，解方程即可.【详解】依题意有时，，则，当时，有，，.故选：B13．（2024·安徽·校联考模拟预测）杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（

）） D．16元/千克【答案】C【分析】根据题意，得到且，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式，因为2级杨梅比4级杨梅多1倍，可得，解得，又因为1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，可得，可得，所以．故选：C．14．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（

）（参考数据：）【答案】C【分析】根据所给模型解不等式即得．【详解】由题意，，，，故选：C．15．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.【详解】当时，，所以，由得，，所以的最小整数值为.故选：A考点三对数型函数模型16．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D17．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.【详解】根据题意，将，代入可得；将，代入可得；所以可知.故选：D18．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（

）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍【答案】C【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.【详解】∵声音的等级式（单位：）与声音强度（单位：）满足，又∵老师的声音的等级约为63dB，，解得，即老师的声音强度约为，∵两人交谈时的声音等级大约为，，解得，即两人交谈时的声音强度约为，老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.故选：C19．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指对数转化可求燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值.【详解】令，则，故，故选：C.20．（2023秋·山东临沂·高三校考期中）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾，2023年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办。会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平。香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改变带宽，而将信噪比从9提升至53，则最大信息传递率会提升到原来的（

）参考数据：．【答案】D【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，根据题意计算，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则，，.最大信息传递率会提升到原来的倍.故选：D.21．【多选】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（

）A．震级为2级的地震释放能量为焦耳B．释放能量为焦耳的地震震级为3级C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级【答案】BD【分析】利用给定的关系式，逐项计算判断即可得解.【详解】对于A，当时，，解得，A错误；对于B，当时，，解得，B正确；对于C，令9级地震释放能量为，8级地震释放能量为，则，于是，C错误；对于D，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，则，且，两式相减得，解得，D正确.故选：BD22．【多选】（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（

）（参考数据：）A．若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍B．若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍C．若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了D．若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了【答案】ACD【分析】计算可判断A；计算可判断B；计算的值可判断C；计算可判断D.【详解】对于，若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，即，则增加一倍，所以正确；对于，若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，即，所以B错误；对于C，若不改变带宽，而将信噪比从255提升至1023，则，所以C增加了，所以C正确；对于D，若不改变带宽，而将信噪比从999提升至4999，则，所以D正确.故选：ACD.23．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M倍时，它的游速是.【答案】/【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，将代入可得，.故答案为：.考点四指数、对数、幂函数模型的增长差异24．（2023秋·高一课时练习）下列函数中，增长速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快，即可得到结果.【详解】指数函数时呈爆炸式增长，并且随值的增大，增长速度越快，在一次函数，指数函数，对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数.故选：A25．（2023秋·高一校考课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（

）A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快【答案】C【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解.【详解】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢，故选:C．26．【多选】（2023秋·高一单元测试）函数，，，在区间上（

）A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度【答案】ABC【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，递减速度越来越慢，故A正确；递减速度越来越慢，故B正确；递减速度越来越慢，故C正确；的递减速度慢于递减速度，故D错误.故选：ABC.27．（2023秋·高一课时练习）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为．【答案】【分析】利用函数的单调性，根据条件求出范围，进而可求出结果.【详解】令，易知三个函数在区间上均单调递增，所以，当时，，，，故，故答案为：.28．（2023秋·全国·高一随堂练习）三个变量随自变量的变化情况如下表：则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为，，.【答案】【分析】根据三种函数模型增长速度的差异可直接判断出结果.【详解】对数函数的增长速度越来越慢，指数函数的增长速度越来越快且呈现出爆炸式增长模式，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，由此可知：变量为对数函数，变量为指数函数；变量为幂函数．故答案为：，，.29．（2023·全国·高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.【答案】(1)选，理由见解析(2)答案见解析(3)55分钟【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，（2）将，代入求解系数即可.（3）将代入解析式即可.【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当时，匀速增长；对于模型二，当时，先慢后快增长；对于模型三，当时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将，代入解析式得到，即，解得，，即.第四步：完善模型是否合适当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为.（3）由，，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.30．（2023·高一课时练习）若，则使成立的的取值范围是，使成立的的取值范围是．【答案】【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．由图得，若，则，若，则或．故答案为：，考点五建立拟合函数模型解决实际问题31.（2023·高一课时练习）某大型家电商场，