数学（选修12）课件74复数的几何表示

第7章数系的扩充与复数7．4复数的几何表示1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复数的几何意义．2．了解复数的模的意义，理解共轭复数概念．阅读教材，完成下列问题1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作_______，y轴叫作_______.实轴上的点都表示_______；除_______外，虚轴上的点都表示纯虚数．实轴虚轴实数原点在复平面上，坐标原点在虚轴上吗？虚轴上的点都表示纯虚数吗？提示：在虚轴上．虚轴上的点，除原点外都表示纯虚数．P(a，b)

平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点．我们知道两个复数不一定能比较大小，那么两个复数的模一定能比较大小吗？为什么？提示：一定能比较大小，因为两个复数的模均为非负实数．a－bi

|z|2相互共轭若一个复数与其共轭复数相等，则这个复数一定是实数吗？提示：一定是实数．

复数的加法、减法、实数与复数的乘积是否分别可用向量的加法、减法、数乘来表示？提示：可以．复数几何意义的应用

实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：(1)位于第二象限；(2)位于直线y＝x上．解根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．

[互动探究]

若本例中的复数z对应的点位于x轴下方，试求出实数a的取值范围．解∵点位于x轴下方，∴a2－3a＋2＜0，即(a－1)(a－2)＜0.∴1＜a＜2.故a的取值范围为(1,2)．共轭复数的应用

已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)与复数4－20i互为共轭复数，求x的值．【点评】根据共轭复数的定义及复数相等的定义，可列出关于x的两个方程，其公共根即为所求．对于a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，a＋bi与a－bi互为共轭复数．显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．

如图所示，在复平面内平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：复数加减法的几何意义【点评】复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．3．已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点．求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．复数的模与复数轨迹(或图形)问题

已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且它在复平面内的对应点为M.(1)确定点M的集合构成的图形的形状．(2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值．解(1)设复数－2＋2i的对应点为P(－2,2)，则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝|MP|＝2.故点M的集合是以P为圆心，2为半径的圆，如图所示．(2)设复数1－2i的对应点为Q(1，－2)，则|z－1＋2i|＝|MQ|.由(1)知|PQ|＝5，则|MQ|的最大值即|z－1＋2i|的最大值是|PQ|＋2＝7，|MQ|的最小值即|z－1＋2i|的最小值是|PQ|－2＝3.【点评】

(1)|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数的模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．(2)复数的轨迹问题一般转化为解析几何问题求解．4．已知z0＝x＋yi(x，y∈R)，z＝(x＋3)＋i(y－2)，且|z0|＝2.求复数z对应的点的轨迹．1．理解复数的几何意义需注意的问题(1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.(3)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi＝bi(a，b∈R)是纯虚数，所以纵轴上除原点外的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．(4)复数z＝a＋bi(a，b