有理数-的经典例题

有理数考点分析：1、了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。2、掌握一个数的相反数、绝对值的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，会借助数轴比拟有理数的大小。3、掌握有理数的加、减、乘、除法和乘方的运算法那么，能进行有理数的加、减、乘、除法、乘方运算和简单的混合运算。4、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法。5、掌握数的精确度和有效数字个数确实定方法。课前小测：1．水库水位上升3米记作+3米，那么下降了2米记作_____米．2．－│－7│的相反数为____，相反数等于本身的数为_______．3．│x│=，│y│=，且xy>0，那么x－y=______．4．近似数1.50精确到_______，用科学记数法表示13040000应记作_______________；假设保存三个有效数字，那么近似值为_____________。．5．假设+〔1-y〕2=0，那么___________6．以下各式计算正确的个数为〔〕①－1－1=－2②－〔－2〕3=8③〔－1〕+〔－3〕=5④〔－〕÷4×=－A．1个B．2个C．3个D．4个7．a，b在数轴位置如图1－1所示，那么│a│与│b│关系是〔〕A．│a│>│b│B．│a│≥│b│C．│a│<│b│D．│a│≤│b│8．计算题〔1〕〔－8〕÷[〔－〕×〔－〕÷〔－2〕];〔2〕〔－〕2÷〔－〕2÷│－6│2×〔－〕2内容讲解：知识点1：正数和负数1、正数：大于0的数叫做正数。2、负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。3、0既不是正数也不是负数。4、非负数：正数与零的统称。(表示为：x≥0)

例1：把以下各数填在相应的大括号内：正数集合{_______________________________________________________________…}负数集合{_______________________________________________________________…}非负数集合{_____________________________________________________________…}例2：把热气球上升1000m记作＋1000m，那么热气球下降500m，记作________．练习：1．规定往北为正，那么往南走150m，应记作________．2．某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，那么-5.8元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.知识点2：有理数，数轴正整数1、有理数：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。正整数2、有理数的分类：0负整数整数正有理数0负整数整数正有理数正分数0有理数有理数正分数0负分数分数负有理数负分数分数负有理数3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴上从左往右，数依次变大。数轴满足以下要求：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点〔origin〕；通常规定直线上从原点向右〔或上〕为正方向，从原点向左〔或下〕为负方向；选取适当的长度为单位长度。例1、把以下各数填在相应的大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，正整数集｛…｝；正有理数集｛…｝；负有理数集｛…｝负整数集｛…｝；自然数集｛…｝；正分数集｛…｝负分数集｛…｝例2.如下图的图形为四位同学画的数轴，其中正确的选项是〔〕练习：1.在数轴上画出表示以下各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。4，-|-2|，-4.5，1，02.以下语句中正确的选项是〔〕A数轴上的点只能表示整数B数轴上的点只能表示分数C数轴上的点只能表示有理数D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来3.①比－3大的负整数是___________;②m是整数且-4<m<3，那么m为_______________.③有理数中，最大的负整数是__，最小的正整数是_____,最大的非正数是______.4、把以下各数镇在相应的集合中：正数集：{…}；负数集：{…}；正分数集：{…}；负分数集：{…}；整数集：{…}；分数集：{…}．知识点3：相反数1、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．0的相反数是0.2、在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.3、假设a、b互为相反数，那么a+b=0，〔a、b≠0〕补充：互为倒数的两数之积为1.例1、-5的相反数是；-〔-8〕的相反数是；-[+〔-6〕]=0的相反数是；a的相反数是；的相反数的倒数是_____例2、假设a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么____.练习：1.假设a和b是互为相反数，那么a+b＝〔〕A.–2aB.2bC.0D.任意有理数2.(1)如果a＝－13，那么－a＝______；(2)如果－a＝－5.4，那么a＝______；(3)如果－x＝－6，那么x＝______；(4)－x＝9，那么x＝______.3．假设a、b都为有理数，要使与互为相反数，那么应满足的条件是〔〕．A．B．C．D．4．-4与______互为相反数，______与－(－7)互为相反数，9的相反数是______．知识点4：绝对值1、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。2、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。3、绝对值的性质：a、0的绝对值是0，绝对值是0的数是0b、一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0c、任何数的绝对值都不小于原数d、绝对值是相同正数的数有两个，他们互为相反数e、互为相反数的两数绝对值相等f、绝对值相等的两数相等或互为相反数g、假设几个数的绝对值之和为0，那么这几个数同时为0注意：=1\*GB3①数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离；②│a│≥0，符号“││”是“非负数”的标志；③数a的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。4、两个负数，绝对值大的反而小。5、去绝对值例1、的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作.例2、|-8|=,=,绝对值等于4的数是______.例3、如果，那么，．练习：1.绝对值等于其相反数的数一定是〔〕A．负数B．正数 C．负数或零D．正数或零2.，那么；，那么3.如果，那么的取值范围是〔〕A．＞0B．≥0C．≤0 D．＜04.绝对值不大于11的整数有〔〕A．11个 B．12个 C．22个 D．23个5.a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=－b、，那么ab是〔

〕A．负数；

B.正数；

C.负数或零；

D.非负数6.a>0，b<0，且，化简=.acac0b那么___________知识点5：有理数的加减乘除法1、有理数的加法法那么①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数.2、加法的运算律：交换律、结合律在运用运算律时，通常有以下规律：〔1〕互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”〔2〕符号相同的两个数先相加——“同号结合法”〔3〕分母相同的两个数先相加——“同分母结合法”〔4〕几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”〔5〕整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”3、有理数的减法法那么：减去一个数，等于加这个数的相反数。4、有理数乘法法那么①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘②任何数同0相乘，都得05、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数，负因数的个数是奇数个时，积是负数。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。6、乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数。注意：0没有倒数。倒数等于它本身的数是1和-1，不包括0。7、去括号法那么：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。8、乘法法那么和逆运用：〔1〕ab＞0a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，即ab＞0a，b同号〔2〕ab＜0a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，即ab＜0a，b异号〔3〕ab=0a=0，b≠0或a≠0，b=0，或a=0，b=0，即ab=0a，b中至少有一个为09、有理数除法法那么：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。0不能做除数。例1.当时，那么_______例2．－2的相反数与的倒数的和的绝对值等于______．例3.，，且，那么_________例4.〔1〕〔2〕练习：1．假设｜a｜＝4，｜b｜＝3，且a，b异号，那么｜a－b｜等于()．(A)7(B)±1(C)1(D)1或72．假设mn＜0，且m＜0，|m|＞|n|，那么m＋n＿＿＿＿0．3．假设a＞0，b＜0，c＞0，那么(－a)·b·(－c)＿＿＿＿0．假设a＋b＜0，且ab＞0，那么a＿＿＿＿0，b＿＿＿＿0．4．假设xy＞0，那么(x＋y)xy一定()．(A)小于0(B)等于0(C)大于0(D)不等于05.计算〔1〕(＋8)＋(－17) 〔2〕(－32.8)＋(＋51.76)〔3〕(－3.07)＋(＋3.07)〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕知识点6：有理数的乘方1、一般地，n个相同的因数a相乘，即aa……a，记作a，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a中，a叫做底数，n叫做指数，当a看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方。注意：〔1〕一个数可以看做是其本身的一次方。〔2〕当底数为负数或分数时，要用括号将底数括起来，并在其右上角写上指数，指数要写得小一些。2、乘方运算的符号法那么：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0拓展：〔1〕互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数。〔2〕互为相反数的两个数的偶次幂相等。3、2n+1为奇数，2n为偶数，n+1既可为奇数也可为偶数。〔－1〕=－1；〔－1〕=1；〔－1〕=－1或1。4、有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。例1、对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______例2、计算：(1)34＝______；(2)－34＝______；(3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；______；______；______；______；例3、设n为自然数，那么：(1)(－1)2n－1＝______；(2)(－1)2n＝______；(3)(－1)n＋1＝______．练习：1.－12的计算结果是()．(A)1 (B)－11 (C)－1 (D)－22．的计算结果是()．(A) (B) (C) (D)3．用“＞”或“＜”填空：(1)－32________(－2)3； (2)｜－3｜3________(－3)2；(3)(－0.2)2________(－0.2)4； (4)________4.，x为有理数，那么代数式的值为。5．计算〔1〕6×(－2)2÷(－23) 〔2〕〔3〕〔4〕知识点7：科学计数法、精确度、有效数字1、科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10的形式〔其中a是整数数位中有一位的数，n是正整数〕，这种记数方法叫做科学记数法。点拨：用科学记数法表示数时，a的范围是1≤a＜10，10的指数n等于原数整数数位减1。2、精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位，所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量。注意：精确到哪一位，要把下一位四舍五入，不能从后几位向前赶着进1。如：123.45≈123，而不能123.45≈123.5≈124。3、有效数字：从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字，最后一位有效数字到哪一位，这个近似数就精确到哪一位。点拨：用四舍五入法取近似数时，如果遇到要求保存的有效数字位数小于数时，首先把数用科学记数法表示，然后再取近似数。如：86400保存两个有效数字应是：8.6×10。注意：4.5万精确到千位，有2个有效数字，3.05×10精确到百位，有3个有效数字。所以，用科学记数法表示的近似数a×10，精确度由复原后的数中a的末位数字所在的数位决定，当近似数有单位时，精确度也由复原后的数中近似数的末位数字所在的数位决定。4、近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数。5、近似数的加减运算：先确定结果精确到哪一数位，再把数中超过这个数位的数字四舍五入到这个数位的下一位，然后再进行计算，并且把算得的数的末位四舍五入。6、近似数的乘除运算：先确定结果有几个有效数字，再把数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中需要的个数多一个，然后进行计算，并且把算得的数四舍五入到与先确定的有效数字的个数相同。例1、用科学记数法表示以下各数：〔1〕4000000〔2〕31000000〔3〕—29760000例2、把1324.0625四舍五入，使它精确到千分位的近似数是＿＿＿＿；它有＿＿＿＿个有效数字．例3、以下说法：①近似数3.85精确到百分位；②0.0275有五个有效数字；③近似数0.10精确到百分位，有两个有效数字；④53487保存两个有效数字是53．其中正确的个数是()．(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个练习：1．把以下各数用科学记数法表示：(1)10； (2)100；(3)8600； (4)600800．2．以下用科学记数法记出的数，原来各是什么数：(1)1×102； (2)1.1×103；(3)2.1×106； (4)3.008×105；(5)7.9×10； (6)2.22×104．3．地球的半径大约是6370千米，用科学记数法表示为＿＿＿＿米．4．近似数3.18×106有＿＿＿＿个有效数字，精确到＿＿＿＿位．1.36万精确到＿＿＿位。近似数3.0140精确到＿＿＿＿位。5．数a取近似数后为3.950，问a最小能取多少？它的范围是什么？6．有理数0.0050400的有效数字有()．(A)3个 (B)4个(C)5个 (D)8个知识点8：有理数计算的运用例：出租车司机小李某天下午营运路线是在东西走向的一条街道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车的里程如下〔单位：千米〕：＋16，－18，－3，＋15，－11，＋14，＋10，＋4，－12，－15请答复以下问题：〔1〕将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是______千米；〔2〕假设汽车耗油量为升／千米，这天下午汽车共耗油______升．练习：1．小明现有100元，过生日时，爷爷给了40元，奶奶给了50元，妈妈给了60元，爸爸因有急事向小明借了70元，小明买了一块生日蛋糕用去35元，买了一个文具盒用去10元，又花了20元钱买了生日贺卡送给小朋友．请你帮小明列一个算式，求出他最后还剩多少钱．2.10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，缺乏的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.求这10筐苹果共超过标准多少千克?10筐苹果一共多少千克?综合训练一、速算填空：〔1〕、，〔2〕、，〔3〕、，〔4〕、，〔5〕、，〔6〕、，〔7〕、，〔8〕、，〔9〕、，〔10〕、，〔11〕、，〔12〕、，〔13〕、，〔14〕、，〔15〕、，〔16〕、，〔17〕、，〔18〕、，〔19〕、，〔20〕、。二、填空题：1、如果节约10吨水记作+10吨，那么浪费8吨水记作。2、最小的自然数是，最大的负整数是，最小的非负数是。3、既不是正数，也不是负数的数是。4、相反数等于本身的数是，倒数等于本身的数是，绝对值等于本身的数是。5、绝对值等于5的数是。6、比拟大小：7、地球上的陆地面积约为149000000km2，用科学记数法表示为。8、由四舍五入得到的近似数0.0060，精确到位，有个有效数字，它们是。9、假设，那么。10、绝对值小于2007的所有整数的和等于。三、选择题：1、一个数加上-12得-5，那么这个数是〔〕A、17B、7C、-17D、-72、以下各对数中，不是互为相反数的是〔〕A、与B、与C、与D、与3、两个非零有理数的和为0，它们的商是〔〕A、0B、2C、1D、-14、数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，A在B的右侧，C在B的左侧，D在B、C之间，那么以下式子成立的是〔〕A、a<b<c<dB、b<c<d<aC、c<d<b<aD、c<b<d<a5、假设x为有理数，那么必是〔〕A、非正数B、非负数C、0D、正数6、以下各语句中正确的选项是〔〕A、假设a>-0.5，那么a是正数B、假设<0，那么C、假设，那么D、假设，那么7、a，b，c三个数在数轴上的位置如下图，那么以下结论中错误的选项是〔〕A、a+b<0B、a+c<0C、a-b>0D、b-c<0四、计算：1、2、3、4、5、6、五、解答题：某校初一年级共有8个班，以每班65人为标准，超过的人数记为正数，缺乏的人数记为负数，统计情况记录如下：-1，-6，+2，-3，+4，0，-7，+3，求该校初一年级总人数。中考演练：1.〔2011江苏南通，1，3分〕如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为 A.－20m B.－40m C.20m D.40m2.〔2011宁波市，1，3分〕以下各数是正整数的是A．－1B．2 C．0．5 D．eq\r(,2)3.〔2011宁波市，4，3分〕据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760．57万人，其中760．57万人用科学记数法表示为 A．7．6057×105人B．7．6057×106人C．7．6057×107人D．0．76057×107人4.〔2011广东汕头，1,3分〕－2的倒数是〔〕A．2 B．－2 C． D．5.〔2011广东汕头，2,3分〕据中新社北京2010年l2月8日电2011年中国粮食总产量到达546400000吨，用科学记数法表示为〔〕A．吨 B．吨C．吨D．吨6.〔2011浙江省，1，3分〕如图，在数轴上点A表示的数可能是〔〕A.1.5B.－1.5C.－2.6D.2.67.〔2011浙江台州，1,4分〕在，0,1，－2这四个数中，最小的数是〔〕A.B.0C.1D.－28.〔2011浙江义乌，1，3分〕－3的绝对值是〔〕A．3B．－3C．－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)9.〔2011浙江丽水，1，3分〕以下各组数中，互为相反数的是〔〕A．2和－2B．－2和EQ\f(1,2)C．－2和－EQ\f(1,2)D．EQ\f(1,2)和210.〔2011福建泉州，3，3分〕“天上星星有几颗，7后跟上22个0”，这是国际天文学联合大会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数为〔〕．A．B．C．D．11.〔2011台湾台北，1〕图(一)数在线的O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。根据图中各点的位置，以下各数的絶对值的比拟何者正确？A．|b|＜|c|B．|b|＞|c|C．|a|＜|b|D．|a|＞|c|12.〔2011湖南邵阳，1，3分〕-〔-2〕=〔〕A.-2 B.2 C.±2 D.413.〔2011广东东莞，1,3分〕－2的倒数是〔〕A．2 B．－2 C． D．14.〔2011广东广州市，6，3分〕假设a<c<0<b，那么abc与0的大小关系是〔〕．A．abc<0 B．abc=0 C．abc>0 D．无法确定15.〔2011四川广安，4，3分〕从《中华人民共和国2011年国民经济和社会开展统计报告》中得悉，去年我国国内生产总值达397983亿元．请你以亿元为单位用科学计数法表示去年我国的国内生产总值〔结果保存两个有效数字〕〔〕A.3.9×1013B.4.0×1013C.3.9×l05D.4.0×l0516.〔2011浙江金华，4，3分〕有四包真空小包装火腿，每包以标准克数〔450克〕为基数，超过的克数记作正数，缺乏的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是〔〕A．+2B．－3C．+3D．+417.〔2011山东临沂，1，3分〕以下各数中，比－1小的数是〔〕A．0 B．1 C．－2 D．218.〔2011四川凉山州，1，4分〕的倒数是〔〕A．B．C．2D．19.〔2011山东菏泽，14，3分〕填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是．20.〔2011四川绵阳18，4〕观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个。过关检测:一、填空题〔每题3分，共30分〕1、、、，那么以下正确的图形是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、对乘积记法正确的选项是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、数a的相反数是-a,那么a表示()〔A〕负有理数〔B〕正有理数〔C〕正分数〔D〕任意一个数计算：的值是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、假设a+b