专题11 切线问题（模拟+真题）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题11切线问题1．（2024上·河北石家庄·高二石家庄二中校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出，，再利用余弦定理求得关系式即得答案.【详解】依题意，点P在双曲线右支上，由射线平分，，得，由双曲线定义知：，则，，令双曲线E的半焦距为c,在中，由余弦定理得：，整理得，于是，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C2．（2024下·浙江·高二校联考开学考试）已知点A是椭圆C:的左顶点，过点A且斜率为的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若，则椭圆C离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可推得要使，只需，由此设直线方程，并联立椭圆方程，求出点坐标，进而得到，令，即可得到a,b的不等关系，求得答案.【详解】要使，只要，只要，即只要.∵直线方程为：，联立，得，即（*）注意到为方程（*）的一个根，故，所以点，可得，由于,故，令，得，即所以离心率的取值范围是，故选：B3．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）高为3，长宽为的长方体中，以为球心的球两两相切，过点作球的切线交球于点在长方体外部，则点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出球的半径分别为，得到方程，求出，从而得到点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，求出答案.【详解】设球的半径分别为，则，，，解得，过点作球的切线交球于点，则点的轨迹为球的小圆，其中圆心为，则在线段上，如图所示，⊥，，由勾股定理得，为等腰直角三角形，故，由于在长方体外部，故点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，其中位于长方体外部的部分占到整个圆的，故轨迹长度为.故选：C4．（2024下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（

）A．24 B．12 C． D．【答案】C【分析】根据切线长定理以及双曲线的定义可判断轴，进而根据锐角三角函数以及诱导公式可得的长度，即可求解面积.【详解】由双曲线的，，，设圆与三角形三边相切于点,则，又，所以，因此轴，因此,，,所以,因此,故三角形的面积为．故选：C5．（2022上·河南·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点和点，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知直线的斜率存在且设直线方程为，然后与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得，同理求出，再由几何关系求得，设，由抛物线焦半径公式求得，从而可求解.【详解】由题意，得抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在且不为，设直线AB的方程为，代入，整理得：，由根与系数的关系得，，所以，又直线的方程为，同理，所以，所以，故抛物线，设点，则，所以，所以，所以，所以的面积为，易知，或，则，设的内切圆的半径为，内心为点，则由，得，解得，所以的内切圆的周长为，故A正确.故选：A.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.6．（2024下·江苏·高二开学考试）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设双曲线的方程为，则，设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，分析可知为等腰直角三角形，求出，利用双曲线的定义求出，然后利用在中应用余弦定理可求得双曲线的离心率的值.【详解】如图，设双曲线的方程为，则．设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，则．所以，有，所以．又，，所以为等腰直角三角形，所以，，根据双曲线的定义可得，，所以．在中，由余弦定理可得，．所以，，所以，，，所以，双曲线的离心率．故选：C．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义，结合几何图形，转化为，再消去后，即可求得双曲线的离心率.【详解】如图，双曲线的右焦点为，连结，连结，则，因为点分别是的中点，所以，中，，，则，所以，即，又，所以，即，，解得：，所以双曲线的离心率为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用几何图形，分析出.8．（2023上·安徽·高三校联考期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆及其蒙日圆，点均为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，若与的面积比为，则的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由蒙日圆的方程求得的坐标，可得直线的方程，联立椭圆的方程，求出的横坐标，再结合条件，即可得到，从而求出结果.【详解】由题知，蒙日圆为，设，则直线的方程为，由，消得到，显然有，解得，又与的面积比为，所以，又，，所以，得到，所以，

故选：C.9．（2024上·山东青岛·高二青岛二中校考期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质可知（如图），则的角平分线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】联立直线与椭圆方程，求得点的坐标；再根据切线与角平分线的垂直，求得斜率，直接写出直线方程即可.【详解】联立，又直线的斜率为，由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，所以所求直线方程为．故选：A.10．（2024上·湖北荆州·高二校联考期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点的坐标，再利用斜率的坐标公式求出即可计算离心率.【详解】依题意，，设点，则有，即，由直线AP，BP斜率之积等于，得，即，显然曲线是焦点在轴上的椭圆，，所以C的离心率为.故选：A11．（2024上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率.【详解】椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，有，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.故选：D【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值.12．（2024上·山东威海·高三统考期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理得，利用双曲线定义可得，即可求解.【详解】解：连接，则，如图所示：由，得，而点Q在双曲线的右支上，则，因为，所以，即，则双曲线的离心率为：，故选：D13．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，将面积问题转化为边长最值问题，利用参数方程找到边长最值，求解即可.【详解】

连接，，，而易知，易知的参数方程为，(是参数)，故，，由两点间距离公式得，易得当时，取得最大值，即四边形面积也取得最大值，故此时，，即四边形面积的最大值为.故选：C14．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程．【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点，可知的中点的纵坐标为：2，直线的方程为：，则，可得，则中的纵坐标为：，解得，该抛物线的方程为：．故选：B．15．（2024上·江苏常州·高二常州高级中学校考期末）已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，如下图所示：

由切线长定理可得，，，则，即，所以，，则，由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，，所以，、、三点共线，且轴，因为，，，所以，，所以，，同理可得，，所以，，所以，，所以，，即，即，即，因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．（2024上·湖南娄底·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解.【详解】由已知，设点在准线上的射影为，则，因为直线与抛物线相切.设的方程为，与联立得，由，解得，当时，.在三角形中由正弦定理可知：.故选：A

17．（2024上·海南·高二校联考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与的一个交点为的内心为，若，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线定义及圆的切线性质推出圆在x轴切于实轴端点，进而求出c可求解.【详解】如图，设圆与各边切于，双曲线实半轴长为，半焦距为c,由切线性质得，故，即在双曲线上，即，又轴，，故为正方形，内切圆半径为故，则的离心率为.故选：A【点睛】利用双曲线定义得出焦点三角形的内切圆与x轴切于实轴端点是本题关键.18．（2024上·北京丰台·高二统考期末）过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出的长，再利用双曲线定义、结合余弦定理列式求解即得.【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，，令双曲线的半焦距为c，则，由，得，由双曲线定义得，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：D19．（2024上·河北唐山·高三统考期末）已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】根据的关系可得，再根据通径可得，，结合内切圆的性质以及面积关系可得，即可得离心率.【详解】因为，即，可得，又因为，可知，，可得，设的内切圆的半径为，由题意可得：，即，由的面积可知：，即，整理得，即，解得，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法：求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．20．（2024上·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义，余弦定理建立关于的方程，化简即可求出双曲线离心率.【详解】如图，

由双曲线定义可得，又，所以，又渐近线方程为，因为渐近线，所以，所以，所以，即，化简可得，平方可得，即，解得或（舍去），故选：A21．（山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考数学试题）抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则．【答案】【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，得到是首项16，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.【详解】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上，故，I是的内心，连接，则平分，在中，由正弦定理得①，在，由正弦定理得②，其中，故，又，式子①与②相除得，故，同理可得，，由椭圆定义可知，，，即焦点坐标为，所以抛物线方程为，，故在处的切线方程为，即，又，故，所以在点的切线为：，令，又，即，所以是首项16，公比的等比数列，．故答案为：．【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.22．（2024下·江西·高三校联考开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为1的直线与的右支交于两点，若的内心恰好在它的一条高线上，则的离心率为.【答案】【分析】先求出双曲线的离心率，再就、及分类讨论后结合余弦定理可得双曲线的离心率.【详解】由题设可知该三角形为等腰三角形.由对称性，不妨设在第一象限，为第四象限，设，故直线为，代入的方程可得1，即，.设，则，故即，所以，结合可得，设，由双曲线定义可得，①当时，，即，故，因为直线的斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，舍去；②当时，，即，故，因为直线的斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，因为，所以，满足题意；③当时，直线垂直于轴，与题意矛盾，故舍去.综上，的离心率为.故答案为：.23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为.【答案】/【分析】设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，结合平方关系可求的最小值.【详解】设，由已知，由对称性可得,所以，则，，且，因为，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以.所以的最小值为.故答案为：.24．（2024上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则.【答案】1【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的的公式，即可求解.【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接，则，由双曲线方程为，可得又为右支上的一动点，又由题意可知，又故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化.25．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为．【答案】【分析】由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得到直角的内切圆的半径为，设的内切圆与切于点，结合和，列出方程求得，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线的渐近线方程为，即，又由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以，则直角的内切圆的半径为，如图所示，设的内切圆与切于点，则，因为，可得，所以，可得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.26．（2024上·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为【答案】3【分析】根据“蒙日圆”的定义，结合两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时的情况，即可求出圆的半径.【详解】由题意可知，椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，故当两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时，如图：此时，两切线垂直，交点M在“蒙日圆”上，由椭圆可知，故“蒙日圆”的半径为，故答案为：327．（2024上·河北·高三校联考期末）已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为．【答案】【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可.【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以，设外接圆半径为，则，即，由余弦定理得：，整理可得，所以的面积，故的内切圆半径，所以，因为，所以，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为．【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论：(1)椭圆焦点三角形的周长；(2)椭圆焦点三角形的面积；(3)三角形外接圆的半径公式：；(4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长)28．（2024下·江苏·高二开学考试）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点、，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为．【答案】【分析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，由题意可得，求出点的坐标，根据对称性求出点、的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出、与的等量关系，然后将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得、的值，即可得解.【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，可得，则，所以，，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，则，所以，，则，则，根据对称性可知、关于原点对称，、关于轴对称.则，、，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，，所以，所以，，所以，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键就是将椭圆和双曲线的方程化简，求出直线的方程，然后将直线的方程与双曲线的方程联立，求出相应点的坐标，结合斜率公式求解即可.29．（2024上·江西上饶·高二统考期末）如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则．【答案】/【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值.【详解】由图可得，故有，由两个椭圆离心率相同，则有，即，故，即有，故.故答案为：.30．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为.【答案】/1.4【分析】首先由转化成，分别利用双曲线上点的性质和余弦定理化简求得，最后利用三角形等面积法建立的表达式，计算即得.【详解】如图，分别过点和点作轴的垂线段,因，故易得：,不妨设依题意得：①，由余弦定理：，整理得：，将①式代入得：②，由①-②整理可解得：，再将其代入②式右边，计算可得：③由题意，的面积为：，化简得：，将③式代入并整理得：，因，则离心率为：.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与三角形的等面积转化有关，遇到线段的比值时，经常需要利用相似形转化.31．（2024下·吉林·高二梅河口市第五中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.(1)求的方程；(2)延长交抛物线于为坐标原点，求的面积；(3)延长交抛物线准线于，曲线是以为直径的圆，求点到的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）根据两点求解直线方程，与椭圆方程联立，得坐标，即可根据两点距离公式以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解．（3）由（2）知直线方程，求得，然后利用点到圆上点的最值公式求解.【详解】（1）设，代入由中得，所以，由题设得，解得（舍去）或.所以的方程为；（2）由（1）知，所以直线方程为，即，联立，结合图象，则，故，故，原点到直线的距离为，故.（3）由（2）知直线方程为，则因为，所以圆心，半径到曲线最小值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.32．（2023下·河南·高二校联考期中）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．(1)求的值；(2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可得关于的方程，解方程，即可求得答案；（2）利用导数的几何意义求出点M的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】（1）根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，．两个函数的导函数分别是，，又，，则，解得，，．（2）要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，解得，又因为点M在抛物线上，解得．所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离，代入点到直线的距离公式得．即最短距离为33．（2024下·广东·高三校联考开学考试）已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，证明:圆恒与以弦为直径的圆相切.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）结合题意，利用离心率及焦点等知识计算即可；（2）设出直线，借助韦达定理、弦长、距离等知识验证两圆的圆心距为两圆的半径差，即证明成立即可.【详解】（1）由题意得椭圆的半焦距，且，所以.又因为，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率为0时，直线的方程为此时为椭圆的长轴，以弦为直径的圆的方程为，该圆的半径为2.圆的半径为，两圆的圆心距为.满足圆恒与以弦为直径的圆相切.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为的中点为，联立得，所以，..记圆的圆心为，..满足圆恒与以弦为直径的圆相切.综上，圆恒与以弦为直径的圆相切.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于将两圆内切问题转化为是否成立,设出直线，借助韦达定理、弦长等知识即可证明.34．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点．(1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程；(2)过向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别为，．（i）证明：直线与圆也相切；（ii）求周长的最小值．【答案】(1)(2)（i）证明见解析（ii）【分析】（1）根据题意可得，从而得到点的轨迹是以为焦点的抛物线，求出方程.;（2）（i）分三种情况讨论：①斜率不存在时，求出点坐标，直线方程，得到与抛物线只有一个交点，不满足题意舍去；②直线斜率不存在时，从而求出，两点坐标，得到直线方程，验证圆心到直线距离即可；③假设直线与斜率同时存在，不妨设且，，，分别表示出、方程，利用相切条件得到，为方程的两根，由韦达定理有，，代入圆心到直线的距离公式即可证明；（ii）利用三角形内切圆的性质可得，求三角形周长最小值转化为求面积最小值，求出弦长以及到直线的距离，化简得到，，，所以，设，利用导函数即可求出的最小值，从而得到三角形面积的最小值，即可求出三角形周长的最小值.【详解】（1）由过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点，作出下图：

由图可得，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，故点的轨迹的方程为；（2）（i）不妨假设直线在圆的左侧，直线在圆的右侧，①当斜率不存在时，则直线的方程为，可设，则，设直线方程为，由于与圆相切，解得，则直线方程为，与抛物线只有一个交点，不满足题意，②当斜率不存在时，则直线的方程为，可设，则，设直线方程为，由于与圆相切，解得，则直线方程为，此时，则直线方程为，所以圆心到直线的距离，满足题意.③假设直线与斜率同时存在，不妨设且，，，

所以，则直线的方程，即，因为直线与圆相切，所以，化简得：，同理可得，则，为方程的两根，所以，，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆也相切；（ii）由题可得，所以，故要求周长的最小值即求面积的最小值，由（i）可得直线的方程为，且，，则到直线的距离，弦长，所以令，，所以设，则，由于在时，很成立，所以在时，，在时，，时，，所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，由于，，故，此时或，即点的坐标为或时，的面积取最小值所以，故周长的最小值为,【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题，以及三角形的内切圆问题.求轨迹方程常用方法有：(1)待定系数法；(2)直接法；(3)相关点法；(4)几何法;三角形内切圆的半径(其中为三角形面积，为三角形周长)35．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.(1)求的方程；(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意表示出直线的方程，再由圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值，求出抛物线的方程；（2）设，，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合函数的性质即可求得结果.【详解】（1）由题意得，抛物线的焦点，则直线：，圆的圆心为，半径，则，解得或（舍去），∴抛物线的方程为.（2）设，对于函数，求导得，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，即，同理可得切线的方程为，又点在两切线上，∴，∴直线的方程为.联立，得，∴且，点到直线的距离，∴.∵，∴，∴即面积的取值范围是.

36．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．【答案】A【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.37．（2019·天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【答案】D【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．38．（2012·全国·高考真题）设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.39．（2014·四川·高考真题）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.40．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.41．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．42．（2023·天津·统考高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．【答案】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．43．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率．【答案】【分析】根据圆的性质，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知：圆的方程为，设两切点为，由圆的性质和题意可知：，且，因此是直角三角形，故，故答案为：44．（2013·福建·高考真题）椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于【答案】【详解】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即．又故，那么．，，．【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．45．（2013·福建·高考真题）椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于.【答案】【详解】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.46．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，，设圆M上的点，则．所以．从而有．因为，所以当时，．又，解之得，因此．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则．故当时的面积最大，最大值为．[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为，．设，联立和抛物线C的方程得整理得．判别式，即，且．抛物线C的方程为，即，有．则，整理得，同理可得．联立方程可得点P的坐标为，即．将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．由弦长公式得．点P到直线的距离为．所以，其中，即．当时，．【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；47．（2019·全国·高考真题）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或.【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设,,则．又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点.（2）[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】设的中点为G，,则，，．由，得，将代入上式并整理得，因为，所以或．由（1）知，所以轴，则（设）．当时，，即；当时，，即，．综上，四边形的面积为3或．[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义，得．线段的中点为．当时，轴，，；当时，，由，得，即．所以，直线的方程为．根据对称性考虑点和直线的方程即可．E到直线的距离为，D到直线的距离为．所以．综上，四边形的面积为3或．[方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以．因为，，所以，所以．同理，所以，即点D为中点．图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H．因为，所以．又因为G，D分别为的中点，所以，故为平行四边形，从而．因为且，所以I为的中点，从而．．当直线平行于准线时，易得．综上，四边形的面积为3或．

[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】由（1）得直线的方程为.由，可得，于是.设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时因此，四边形的面积为3或.【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少；方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用.48．（2018·全国·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量