专题13 定值问题（讲义）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题13定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．【一般策略】①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值【常用结论】结论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.结论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.结论3

过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.结论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.结论5

设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1题型【一】、椭圆中的定值问题【例1】、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，（i）求证：为定值；（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）直接列出关于的方程组求解；（2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得；（ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得．【详解】（1）题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为，由，化简得，同理.所以是方程的两个不相等的实数根，则.又因为，所以，所以.（ii）证明：由（得，，设，则，即，因为，所以，得，即，解得，所以，所以为定值.【例2】、已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）设椭圆的方程为，则由椭圆的定义及的周长为6，知①，由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，因为的面积的最大值为，所以②，又③，联立①②③，得，所以椭圆的方程为.（2）为定值，理由如下：根据已知条件作出图形如图所示,

设，则，因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，联立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以为定值.1．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆分别交于点（不在直线上），若直线，与椭圆分别交于点，，且直线过定点，问直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值1【分析】（1）由长轴长和离心率可求出，结合关系式可求出，进而求出椭圆的方程；（2）可设，，，，由，得，将，代入椭圆整理得，联立求得，同理求得，结合，化简求出，由即可求解.【详解】（1）由椭圆的长轴长为4可知，又椭圆的离心率为，即，所以，则，因此椭圆的方程为；（2）直线的斜率为定值，定值为1，证明：设，，，，，，，由，有，因为，在椭圆上，所以，，因此，整理得，即，因此，联立，解得，同理，又因为直线过定点，所以，将，，，代入，有，整理得，又，所以．综上，直线的斜率为定值1．【点睛】关键点睛：本题涉及的量比较多，关键是设而不求，整体代换的思想的应用.2、已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解析】解：（1）椭圆离心率为，即，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，，，，故椭圆方程为．（2）由直线与椭圆交于，两点，联立，得，设，，，，则△，，，所以，，，原点到的距离，为定值．题型【二】、双曲线中的定值问题【例3】、已知双曲线C:的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆O:上，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点）的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设双曲线C的半焦距为c，通过点在圆上易得的值，通过，求解的值，进而得到双曲线的标准方程；（2）直线与轴相交于点，当动直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线，由直线与双曲线的位置关系得，联立方程求解M，N纵坐标，求解面积即可.【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c，由点在圆O:上，得a=1，由，得，所以==3，所以双曲线C的标准方程为.（2）设直线与轴相交于点，双曲线C的渐近线方程为当直线的斜率在存在时，直线为1，|，得|MN||OD|1当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则把直线的方程与方程C:联立得3=0由直线与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，所以，且，于是得，得，设，由，得，同理得，所以=|==综上，△OMN的面积为.【例4】、已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.【答案】(1)(2)证明见解析；【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证为定值，之后求出定值即可.【详解】（1）由题可知，则的轨迹是实轴长为，焦点为即的双曲线的右支，则，所以曲线的方程为：(或).（2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为，所以直线的方程为：，设，，

联立，可得，则，可得，即或，则，所以为定值，定值为.1．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)；(2)过定点，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可得椭圆方程，（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线与的斜率，再由列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点.【详解】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，所以，因为椭圆过点，所以，，得，所以椭圆方程为；（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得，

，所以，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为，则直线过定点（舍去），当时，直线的方程为，所以直线过定点，②当直线的斜率不存在时，设直线为（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直线也过定点，综上，直线恒过定点.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.2．（2024上·山东日照·高二统考期末）已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．(1)求双曲线的方程；(2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，直接求出，即可得出结果；（2）设直线的方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，，再通过联立直线和的方程，求得，从而得出点在定直线上运动，即可证明结果；【详解】（1）因为：的实轴长为4，所以，由焦距可知，又，所以双曲线方程为.（2）由（1）可得，，，设，，显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，因为双曲线的两渐近线为，直线与双曲线的下支交于，两点，所以，由，消得，且，则，，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程，得到，，据此可得点在定直线上运动，，，．所以.（法2）联立直线与直线的方程可得：所以可得，即，据此可得点在定直线上运动．则．

【点睛】关键点点晴：本题第（2）的关键在于，由直线的方程和双曲线方程得，从而得出，，联立直线和的方程，得到交点坐标，再利用，化简得到，从而解决问题.题型【三】、抛物线中的定值问题【例5】、在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）设圆心，由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得，化简即可求解；（2）设直线BD的方程、，联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得，结合两点求斜率公式可得，即可证明.【详解】（1）设圆心，半径为，由圆心为的动圆过点，所以，又圆心为的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以，此时，解得，所以曲线E是抛物线，其方程为；（2）易知直线BD的斜率不为0，设直线BD的方程为，即，，消去x，得，或，设，则，，所以，即为定值1.

【例6】、（2024上·四川泸州·高二统考期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5．(1)求C的方程；(2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)证明见解析；该定值为2；【分析】（1）根据抛物线定义可得点到C的准线的距离为，可求出C的方程；（2）先根据条件联立方程可求得的值，再利用求出点D的坐标，最后求出的长度.【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得；所以抛物线C的方程为；（2）如下图所示：设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得，设，则可得；由于，所以可得，即，可得，解得或（舍）；又，所以可得直线的方程为，联立，可得点D的坐标为；又，所以可得；即的长度为定值2.1．（2024·全国·校联考一模）动圆P过定点，且在y轴上截得的弦GH的长为4.(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线与曲线C的交点S，T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在点，定值.【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质建立等量关系，列出方程化简即得.（2）假定存在符合要求的点并设出直线的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理结合已知化简计算即得.【详解】（1）设，依题意，，而，当P点不在y轴上时，即，由动圆P在y轴上截得的弦GH的长为4，得，因此，整理得，当P点在y轴上时，显然P点与原点O点重合，而也满足，所以曲线C的方程为.（2）假设存在满足题意，设，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去x得，，，则，，，而，因此，当时，满足，且与无关，为定值，所以存在点，使过点Q的直线与曲线C的交点满足为定值.【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．2．（2024上·四川成都·高二校联考期末）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；(2)已知，设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于两点（直线与轴不重合），求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；（2）设直线的方程为，设，直线方程代入