专题15 椭圆中的两大张角（模拟+真题）2024高考总复习压轴题教师版_第1页
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文档简介

第第页圆锥曲线14．（2023·天津·统考高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.15．（2006·江西·高考真题）如图，椭圆的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段的中点．(1)求点P的轨迹H的方程；(2)在Q的方程中，令，，设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当为何值时，为一个正三角形？【答案】(1)(2)【分析】（1）设点、，，把A，B的坐标代入椭圆的方程联立，当AB不垂直x轴时方程相减，结合求得x和y的关系式，当AB垂直于x轴时，点P也满足，综合可得答案；（2）把（1）中的轨迹方程整理成，求得M，N，F的坐标，由△MNF为一个正三角形时，可求得a和b的关系，进而根据题设条件求得θ．【详解】（1）设点、，，P为线段的中点，则，点、在椭圆Q：上，则当不垂直轴时，，由①－②得，，，,又,③当垂直于轴时，点即为点，满足方程③,故所求点的轨迹H的方程为：．（2）因为轨迹H的方程可化为：，，，使△MNF为一个正三角形时，则，即．由于，，则，即又，得，解得，所以．16．（2007·江西·高考真题）设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；.(2)存在；.【分析】（1）在中，利用余弦定理得出是一个常数，从而动点P的轨迹C是以为焦点的双曲线，最后求出双曲线的方程即可；（2）在中，设,对于存在性问题，可先假设存在，即假设为等腰直角三角形，再利用方程组，求出的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.【详解】（1）证明：在中，，因为存在常数，使得，故，∴（小于2的常数），故动点P的轨迹C是以为焦点，实轴长的双曲线，，双曲线方程为.（2）在中，设,假设为等腰直角三角形，则

,由②与③得，则,由⑤得，即，又，，故，故存在满足题设条件．【点睛】关键点点睛：本题考查了轨迹方程的求解，考查了双曲线定义的应用以及双曲线中的探索性问题，解答的关键是利用双曲线的性质结合图

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