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文档简介
山西省长治市成才学校高一数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设为的函数,对任意正实数,,,,则使得的最小实数为A.45
B.65
C.85
D.165
参考答案:B略2.已知集合A={x|1<x≤3},B={x|x<4,x∈Z},则A∩B=()A.(2,3) B.[2,3] C.{2,3} D.{2,3,4}参考答案:C【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={x|1<x≤3},B={x|x<4,x∈Z},∴A∩B={x}1<x≤3,x∈Z}={2,3}.故选:C.3.函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[﹣2,],则b﹣a的最大值和最小值之和等于()A.4π B. C.D.3π参考答案:C【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意结合三角函数的图象,求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值,可得结论.【解答】解:由于函数y=2sinx的最大值为2,最小值为﹣2,而函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为[﹣2,],不妨假设[a,b]中含有﹣,当b﹣a最大值时,a=﹣,b=,此时,b﹣a=;当b﹣a最小值时,a=﹣,b=,此时,b﹣a=,故b﹣a的最大值和最小值之和等于=,故选:C.4.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为()A.B.C.D.参考答案:B5.设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是(
).(A)[,1] (B)[,+∞)(C)[0,1] (D)[1,+∞)参考答案:B6.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的平均分为81,则的值为
A.6
B.7
C.8
D.9
参考答案:D略7.已知定义在R上的函数满足下列三个条件:①对于任意的;②对于任意的;③函数则下列结论正确的是
(
)A、
B、C、
D、参考答案:A略8.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则函数的值域是(
)A.{0,1}
B.{1}
C.{-1,0,1}
D.{-1,0}参考答案:D,为奇函数,函数化简得出:,,,当时,,当时,,当时,,函数的值域为,故选D.
9.已知函数f(x)=ex+x﹣5.,则f(x)的零点所在区间为()A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)参考答案:A【考点】函数零点的判定定理.【分析】判断函数的单调性,利用f(1),f(2)函数值的符号,结合零点判定定理推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ex+x﹣5,是增函数,因为f(1)=e+1﹣5<0,f(2)=e2+2﹣5>0,可得f(1)f(2)<0.由零点判定定理可知,函数的零点所在区间为:(1,2).故选:A.10.函数的单调递减区间是(D)A.
B.
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如下图所示,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于________.参考答案:略12.函数y=2﹣x﹣(x>0)的值域为.参考答案:(﹣∞,﹣2]【考点】34:函数的值域.【分析】利用基本不等式求出值域.【解答】解:∵x>0,∴x+≥2=4,当且仅当x=即x=2时取等号,∴2﹣x﹣=2﹣(x+)≤2﹣4=﹣2.∴y=2﹣x﹣(x>0)的值域为(﹣∞,﹣2].故答案为:(﹣∞,﹣2].13.设f(sina+cosa)=sina?cosa,则f(sin)的值为______.参考答案:略14.计算:
▲
.参考答案:15.终边在直线y=﹣x上角的集合可以表示为
.参考答案:{α|α=﹣+kπ,k∈Z}【考点】G3:象限角、轴线角.【分析】由终边相同的角的定义,先写出终边落在射线y=﹣x(x>0)的角的集合,再写出终边落在射线y=﹣x(x≤0)的角的集合,最后求两个集合的并集即可写出终边在直线y=﹣x上的角的集合s【解答】解:由终边相同的角的定义,终边落在射线y=﹣x(x≥0)的角的集合为{α|α=﹣+2kπ,k∈Z}终边落在射线y=﹣x(x≤0)的角的集合为{α|α=+2kπ,k∈Z}={α|α=﹣+π+2kπ,k∈Z}={α|α=﹣+(2k+1)π,k∈Z}∴终边落在直线y=﹣x的角的集合为{α|α=﹣+2kπ,k∈Z}∪{α|α=﹣+(2k+1)π,k∈Z}={α|α=﹣+kπ,k∈Z}故终边在直线y=﹣x上的角的集合s={α|α=﹣+kπ,k∈Z}.故答案为:{α|α=﹣+kπ,k∈Z}.【点评】本题考察了终边相同的角的定义和表示方法,解题时要区分终边落在射线上和落在直线上的不同,求并集时要注意变形16.如图,已知△ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若,则m+n=
.参考答案:【考点】9V:向量在几何中的应用.【分析】根据向量加法的平行四边形法则,向量加减法的几何意义,以及向量的数乘运算即可得出,这样便可得出m+n的值.【解答】解:根据条件,====;又;∴.故答案为:.17.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间两节欲均容各多少?”其意为:“现有一根9节的竹子,自上而下的容积成等差数列,下面3节容量为4升,上面4节容积为3升,问中间2节各多少容积?”则中间2节容积合计________升参考答案:【分析】根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为,,,,公差为,利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组,求得首项和公差,再计算中间两节、的值,再求中间2节总容积.【详解】根据题意,九节竹的每一节容量变化均匀,即其每一节的容量成等差数列,设至下而上各节的容量分别为,,,,公差为,分析可得:,解可得,,则(升,(升.故中间两节的总容积为.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的前项和的计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)设全集为,集合(1)求(2)已知,若,求实数的取值范围。参考答案:(1)
………………
4分(2)①当,即时,,成立;②当,即时,得
.
综上所述,的取值范围为.
………………
10分
19.(本小题满分8分)
已知向量,,且。
(1)求的值;
(2)求的值。
参考答案:解:(1)因为,(2分)
即。
显然,,所以。(4分)
(2)由(1)得(6分)
。(8分)20.已知函数f(x)=﹣a是奇函数(1)求实数a的值;(2)判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明;(3)对任意的实数x,不等式f(x)<m﹣1恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合.【分析】(1)由奇函数定义知,有f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,由此可求a值;(2)设x1、x2∈R且x1<x2,通过作差判断f(x2)与f(x1)的大小,利用函数单调性的定义可作出判断;(3)对任意的实数x,不等式f(x)>2m﹣1恒成立,等价于m﹣1>f(x)max,根据基本函数的值域可求出f(x)max.【解答】解:(1)由f(x)是奇函数,有f(﹣x)=﹣f(x),∴﹣a=﹣(﹣a),∴2a=1,∴a=;(2)f(x)=﹣,f(x)在R上是增函数,下证:设x1、x2∈R且x1<x2,且x1、x2是任意的,f(x1)﹣f(x2)=(﹣)﹣(﹣)=,∵x1<x2,∴<,∴<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上是增函数.(3)对任意的实数x,不等式f(x)<m﹣1恒成立,则只需m﹣1>f(x)max,∵3x+1>1,∴0<<1,∴﹣1<<0,﹣<﹣<,即﹣<f(x)<,∴m﹣1≥,∴m≥,即m的取值范围为:[,+∞).21.(12分)某工厂生产产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为:p(t)=p0(式中的e为自然对数的底,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量减少了.(Ⅰ)求函数关系式p(t);(Ⅱ)要使污染物的含量不超过初始值的,至少还需过滤几小时?(lg2≈0.3)参考答案:【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】(Ⅰ)根据题设,求得e﹣k,即可得到所求;(Ⅱ)由,化简整理,取以10为底的对数,计算即可得到所求最小值.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)根据题设,得,∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)由,得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)两边取10为底对数,并整理,得t(1﹣3lg2)≥3,∴t≥30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分因此,至少还需过滤30小时﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)【点评】本题考查函数在实际问题中的应用,考查运算能力,属于中档题.22..已知全集U=R,A={
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