安徽省安庆市桐城第二中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省安庆市桐城第二中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线焦点为，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，为坐标原点，那么与面积的比值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.函数在区间上单调递增，则的取值范围是

（

）A．

B.

C．

D．参考答案：A【知识点】函数的单调性解析：令，所以当a＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，则，得0＜a≤1，当a=0时显然满足题意，当a＜0时，函数在R上单调递增，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，则有，得-1≤a＜0，综上可知实数a的范围是.【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答.3.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：C4.设z=1﹣i（i是虚数单位），则+z2等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的四则运算进行化简即可得到结论．【解答】解：∵z=1﹣i，∴+z2===1+i﹣2i=1﹣i，故选：C．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （）A．若,,,则

B．若,,,则C．若,,,则

D．若,,,则参考答案：D6.如果数列…是首项为1，公比为的等比数列，则a5等于

A．32

B．64

C．—32

D．—64参考答案：7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)A． B． C． D．参考答案：A略8.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若,,且,则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，则D．若，则参考答案：D9.若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=ex是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案解答：解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴当λ=﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；对于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“λ～特征函数”至少有一个零点，故③正确．对于④，假设f（x）=ex是一个“λ～特征函数”，则ex+λ+λex=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“λ～特征函数”，故④正确故结论正确的是②③④，故选：C点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题10.（理）在的二项展开式中，x2的系数为A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为

.参考答案：3.8；将代入得.所以样本中心点为，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)知：，，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为，将样本中心点坐标代入得：，所以，当时，的估计值为.12.已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则（

）A. B.C D.参考答案：D【分析】构造函数，求函数导数，利用函数单调性即可得大小关系。【详解】由题得，即，令，导函数，因此g(x)在定义域上为增函数。则有，代入函数得，由该不等式可得，故选D。【点睛】本题考查构造函数和导函数，属于常见题型。13.若，则的定义域为

.参考答案：

14.把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰能围成三角形的概率为____________.参考答案：15.已知均为正数，且，则的最大值为

参考答案：16.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为参考答案：或圆的圆心坐标（1，2），半径为过点的直线被圆截得的弦长为，∴圆心到所求直线的距离为：，（i）当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足圆心到直线的距离为1．（ii）设所求的直线的向量为，所求直线为：，即，∴，所求直线方程为：，故答案为：或．17.复数的共轭复数是_________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，.（1）求二面角的大小；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由.参考答案：（1）因为梯形中，，，所以.因为平面，所以，.如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，，所以即取，得到，同理可得，所以，因为二面角为锐角，所以二面角为.（2）假设存在点，设，所以，所以,解得,所以存在点,且.19.（本小题满分12分）已知抛物线y2=2px（p>0），过点C（一2，0）的直线交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，．（I）求抛物线的方程；（II）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线的方程．参考答案：20.数列{an}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an?2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可知：a2，a4，a8成等比数列，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差数列的通项公式即可求得求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：bn=an?2n=2n?2n，利用“错位相减法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由a2，a4，a8成等比数列，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），整理得：d2﹣2d=0，∵d=2，d=0（舍去），∴an=2+2（n﹣1）=2n，数列{an}的通项公式an=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：bn=an?2n=2n?2n，数列{bn}的前n项和Tn，，①∴，②②﹣①：，=﹣2（2+22+23+…+2n）+n×2n+2，=∴，数列{bn}的前n项和Tn，．21.已知三棱锥P—ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(I)证明：平面平面ABC；(II)求二面角A—PC—B的余弦值．参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．（Ⅰ）证明：方法1：设的中点为，连接，．由题意得，，，，因为在中，，为的中点，所以，

…2分因为在中，，，，所以，

…4分因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.

…6分（Ⅱ）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.由平面，故平面的法向量为，…8分由，，设平面的法向量为，则由得：令，得，，即，

…10分.由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.

…12分22.生物学家预言，21世纪将是细菌发电造福人类的时代。说起细菌发电，可以追溯到1910年，英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里，成功地制造出世界上第一个细菌电池。然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长。当外界温度明显高于最适生长温度，细菌被杀死；如果在低于细菌的最低生长温度时，细菌代谢活动受抑制。为了研究某种细菌繁殖的个数y是否与在一定范围内的温度x有关，现收集了该种细菌的6组观测数据如下表：温度x℃212324272932繁殖个数y（个）71121245877经计算得：，，线性回归模型的残差平方和．其中分别为观测数据中的温度与繁殖数，.参考数据：，，（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x回归方程为，且非线性回归模型的残