专题05 古典概型与几何概型（理科）-2024年高考数学母题题源解密（全国）含解析

专题05古典概型与几何概型（理科）-2024年高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题05古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】.【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】1理解典型其计算式.2会计一随事含的本件及件生的率.考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】1能用模方估概.2了解何型意.一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（

）A． B． C． D．2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A． B． C． D．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（

）A． B． C． D．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：，当时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（

）A． B． C． D．8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（

）A． B． C． D．10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（

）.A． B． C． D．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点在第二象限的概率为______．14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________专题05古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】.【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】1理解典型其计算式.2会计一随事含的本件及件生的率.考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】1能用模方估概.2了解何型意.一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有种，则乙与甲分配到不同社区的方法有种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为．故选：B．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算．【详解】没有买到中国疫苗的概率为，所以买到中国疫苗的概率为．故选：D．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有种选择，所以甲、乙两所高校共有种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“”的概率为，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：，当时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先判断出由组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率.【详解】由组成的没有重复数字的五位数一共有种.而构成波动数，需满足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.所以波动数的概率为.故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设在上取的两数为x，y，满足，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】设在上取的两数为x，y，则，即，或．画出可行域，如图所示，则，或所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为，故所求概率；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，可得、满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形，而甲乙能够见面，、满足的平面区域是图中的四边形．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，若甲乙能够见面，则、满足，该不等式对应的平面区域是图中的四边形，，因此，甲乙能见面的概率故选：B．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共种，所以，所以.故答案为：.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角