专题08 平面向量-2024高考数学母题题源解密（全国）含解析

专题08平面向量-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题08平面向量考向一平面向量数量积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】11【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.【得分要点】；；（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.考向二平面向量的坐标运算【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知向量，则（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】D【试题解析】因为，所以.故选：D【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.【命题方向】这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.【得分要点】熟练平面向量坐标表示； 利用平面向量坐标运算求值；一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·河南南阳·高一期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（

）A． B．C． D．且4．（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（

）A．－ B． C．－6 D．65．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．－1 B． C．－2 D．16．（2022·广西贺州·高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（

）A． B．C． D．7．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．8．（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．129．（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2022·全国·模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为___________.12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是____________．13．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是________.15．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．16．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.

专题08平面向量考向一平面向量数量积【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】11【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.【得分要点】；；（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.考向二平面向量的坐标运算【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知向量，则（）A2 B.3 C.4 D.5【答案】D【试题解析】因为，所以.故选：D【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.【命题方向】这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.【得分要点】熟练平面向量坐标表示； 利用平面向量坐标运算求值；一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积和向量相等去判断二者之间的逻辑关系即可.【详解】若，则，则或时，故充分性不成立；若，则，，故必要性成立，故“”是“”必要不充分条件.故选：B.2．（2022·河南南阳·高一期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再根据即可得解.【详解】解：因为，所以，解得，所以，又因为是与同向的单位向量，所以.故选：D.3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（

）A． B．C． D．且【答案】B【解析】【分析】由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论．【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，故成立的充分条件可以是；故选：B．4．（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（

）A．－ B． C．－6 D．6【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以，共线，又是平面内两个不共线向量，所以可设，因为，，所以，所以，所以，故选：C.5．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．－1 B． C．－2 D．1【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A6．（2022·广西贺州·高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：在中，为的中点，所以，又，所以，所以；故选：C7．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.【详解】由题意，又与的夹角为且为单位向量，所以，可得.故选：A8．（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．12【答案】D【解析】【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．【详解】解：，，三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D．9．（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.【详解】，由题意得：且，解得：且，故选：D10．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得，再分析求解即可.【详解】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，所以为三角形的重心，所以.故选：B.二、填空题11．（2022·全国·模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为___________.【答案】##0.25【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】由题意得，所以，所以.故答案为：12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是____________．【答案】【解析】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以①,一方面，，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，，其中，当且仅当与反向时取得最小值．故．故答案为：13．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为，，所以，又，所以，解得．故答案为：14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是________.【答案】##【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求出的取值范围.【详解】作不等式组对应的平面区域如下：，设，如图直线过点时，直线在轴上的截距最小，所以当时取最小值，最小值为，所以最小值为，15．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】如图，结合题意绘出图象，因为，为边的中点，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即、时取等号，故的最小值为，故