2020-2021学年甘肃省庆阳市宁县高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年甘肃省庆阳市宁县高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.设集合A={x|lWxW3},8={x[2<x<4},则AUB=（）

A.{x[2<xW3}B.{x|2WxW3}C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

2.在空间直角坐标系。-孙z中，点A（-1,0,2）关于坐标原点的对称点为B,则|AB|

=()

A.1B.V5c.2娓D.5

3.已知/(x-1)=f+l,则/⑸=()

A.37B.35C.26D.29

4.已知圆G：和。2：-5x+4=0,则两圆的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

5.直线x+〃y+6=0与直线(〃-2)%+3y+2〃=0平行，则。的值为()

A.3或-1B.3C.-1D.—

2

6.己知函数/(x)=，•(〃+一；)是R上的奇函数，则实数。=()

2X+1

A.--B.—C.-1D.1

22

08

7.己知奇函数/(x)在R上是增函数，若〃=-/(logz、")，b—f(log2-1-),c—f(2'),

55

则4、氏C的大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

8.函数=e-2-3-2的零点所在区间为()

x+2

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

正视图侧视图俯视图

48,

A.4B.—C.—D.6

33

2+i

10.已知函数f(x)=4则八-1)-/(4)等于()

f(x+4),x<2,

A.-7B.-2C.7D.17

11.已知加，小/为三条不同的直线，a,B为两个不同的平面，给出下列命题：

①由a〃鱼根ua,/?cp,得“与〃平行或者异面；

②由机〃小机_La,n_Llf得/〃a或/ua；

③由〃J_a,m//a,得m_L〃；

④由mJ_a,/i±p,a±p,l.Lm,得l〃n.

其中错误命题的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

12.设方程5-x=|/gx|的两个根分别为a，%2，则（）

A.X]X2<0B.X\X2=1C.X\X2>1D.0<X\X2<i

二、填空题（共4小题）.

13.函数f（X）=]的定义域是.

ln(x+l)

14.计算：/gl4-2lg—+lgl-lgl8=

15.aABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为

16.已知点P（x,y）是直线x+6，+2=0（A<0）上一动点，PA,PB是圆C：(x-1)2+/

=1的两条切线，A,B为切点,若弦AB长的最小值为则实数％的值为

三、解答题（共6小题）.

17.已知直线/i：2x+y-3=0,直线'ar-2y+l=0.

（1）若直线/i直线/2平行，求直线/i与/2的距离：

（2）若直线人与直线/2垂直，求直线6与/2的交点坐标.

2

18.已知函数f（x）=a-\—为奇函数.

ex+l

（1）求实数a的值；

（2）判断函数/（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明;

（3）解不等式/（Inx）>0.

19.2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国

人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电

子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元(如房租、水电

等成本)，每生产一台仪器需增加投入80元，己知每月生产x台的总收益满足函数

480x-04x4500

R(x)=2X，其中x是仪器的月产量.

115000,x>500

(1)将月利润/(x)表示为月产量的x的函数.(总收益=总成本+利润)

(2)当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？

20.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CZ)为矩形，平面平面ABC。，AB=2,

BC=\,PC=PD=EE为PB的中点.

(1)求证：〃平面ACE；

(2)求证：PC平面P8C.

21.已知圆C与y轴相切于点A(0,1),且被x轴所截得的弦长为2百，圆心C在第一

象限.

(I)求圆C的方程；

(II)若点P是直线/：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为8,当△P8C

的面积最小时.，求切线P3的方程.

4

22.已知函数f(x)=1------(«>0,且/(0)=0.

2ax+a

(I)求。的值；

(II)若函数g(x)=(2V+1)•/(%)+A有零点，求实数k的取值范围.

(III)当xe(0,1)时，f(x)恒成立，求实数"?的取值范围.

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.设集合A={x[l<x<3},B={x|2<x<4},则AUB=()

A.{x|2<xW3}B.{x|2WxW3}C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

解：：集合A={x|lWxW3},B={x|2<x<4},

AU8={x[1Wx<4}.

故选：C.

2.在空间直角坐标系。-孙z中，点4(-1,0,2)关于坐标原点的对称点为B,则|AB|

=()

A.1B.依C.2^5D.5

解：在空间直角坐标系O-xyz中，

点A(-1,0,2)关于坐标原点的对称点为8,

：.B(1,0,-2),

二|AB|={(]+i)2+(-2-2)2=2^/5.

故选：C.

3.己知f(x-l)=x+},则/(5)=()

A.37B.35C.26D.29

解：根据题意，/(x-1)=W+1,

令x-l=5,即x=6可得：f(5)=62+l=37,

故选：A.

4.已知圆G：，+)?=]和C2：f+y?-5x+4=0,则两圆的位置关系是()

A.内切B.相交C.外切D.相离

解：根据题意，圆C：x2+/=1,其圆心G(0,0),半径r=l,

C2：f+y2-5X+4=0,即(X——)?+y〜其圆心为(-->0)，半径R=~9

2422

两圆的圆心距IGQI=5=R+r，两圆外切，

故选：C.

5.直线x+@+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行，则a的值为()

A.3或-1B.3C.-1D.—

2

解：：直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行，

1X3-a(a-2)=0,解得a=-1或3,

经检验“=-1符合题意，

故选：C.

6.己知函数/(x)—X*~一)是R上的奇函数，则实数a=()

2X+1

A.——B.—C.-1D.1

22

解：根据题意，函数/(x)=¥•(a+—；)是R上的奇函数，则有f(-x)=-/(、)，

2X+1

即(-x)2(a+-)=-(x2*(a+~~),

2-x+l2X+1

2X1

变形可得：Cl-\-------(〃+--)，

2X+12X+1

贝ij有2a=-1,即a=--；

2

故选：A.

7.已知奇函数/(工)在R上是增函数，若〃=-/(log2！)，〃=/(log2§)，C=f(208),

55

则a、氏c的大小关系为()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

解：因为函数f(x)为奇函数，

所以a=-f(log2--)=f(-Iog2-^-)=f(log25),

55

8

因为0Vk)g22VI,2<log25<3,l<2°-<2,

5

所以Iog2-1-<20-8<log25,

5

又函数f(x)在R上是增函数，

8

所以/(logzg)<f(2°-)</(log25),

即b<c<a.

故选:A.

8.函数f(x)=e~2-士-2的零点所在区间为()

x+2

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

解：函数/(x)=/一2-3-2是连续增函数,

x+2

,：f(2)=1---2<0,

4

f(3)=e」-2>0,

5

/(3)<0,

由零点判定定理可知函数的零点在(2,3)

故选：C.

9.某几何体的三视图(单位：。加)如图所示，则该几何体的体积(单位：。疗)是()

MB[

□

正视图侧视图俯视图

4

A.4B.—C.—D.6

33

解：由三视图可知：此几何体为放倒三棱柱如图：

...此几何体的体积：yX2X2X2=4.

故选：A.

10.已知函数f(x)=|X+1'x>2,则八

-1)-/(4)等于()

f(x+4),x<2,

A.-7B.-2C.7D.17

解：函数

f(x+4),x<2,

则/(-1)=/(3)=32+1=10,

f(4)=42+l=17,

则/(-1)-/<4)=10-17=-7,

故选：A.

11.已知机，小/为三条不同的直线，a,0为两个不同的平面，给出下列命题：

①由a〃0,"zua,nep,得机与〃平行或者异面；

②由m〃〃，m_La,〃J_/,得/〃a或/ua；

③由〃_La,m//a,得"z_L〃；

④由机_La,〃_L0,a±P，l.Lm,得/〃

其中错误命题的个数是()

A.3B.2C.1D.0

解：由加，％/为三条不同的直线，a,0为两个不同的平面，知：

对于①，由。〃0,〃?ua,利用面面平行的性质得用与〃平行或者异面，故①正

确；

对于②，由"?〃mm_La,〃_!_/,利用线线平行、线面垂直的性质得/〃。或/ua,故②

正确；

对于③，由〃_La，〃7〃a,利用线面垂直的性质得加_L〃，故③正确；

对于④，由加_La,n±p,a±p,l.Lm,得/与〃相交、平行或异面，故④错误.

其中错误命题的个数是1.

故选：C.

12.设方程5-x=|/gx|的两个根分别为为，x2,则()

A.X\X2<0B.X1X2=1C.X\X2>1D.OVXM2VI

解：f(x)=5-x,g(x)=|/g%|的图象为：

5-%2-(5-X|)=lgXi+lgM=lg(X1X2)

Ig(X1X2)=x\-%2<0,X1X2E(0,1),

.\0<X\X2<1

故选：D.

二、填空题（共4小题）.

1

13.函数/（无）=+7击乂2的定义域是.{x|-1<XW2且x#0}

ln(x+l)

\+1>0

解：由<x+1?-1,解得：-1<XW2,且x#0.

,4-x?》0

二函数/（X）―」^不-+14-*2的定义域是3-l〈xW2,且xWO}.

lnkx+lj

故答案为：{x|-l<xW2,且x#O}.

14.计算：lg\4-Igl-418=0.

解:/gl4-Ig7-38

=收14-/g49+/g9+/g7-/gl8

14X9X7,

=/g(

49X18

故答案为：0.

15.ZXABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为

解：把△ABC的斜二测直观图还原为原图形，如图所示;

贝QABC的面积为S=—X2X2=2.

2

故答案为：2.

22

16.己知点P(x,y)是直线尤+灯+2=0(AVO)上一动点，PAf尸8是圆C：(x-1)+y

=1的两条切线，A,B为切点,若弦AB长的最小值为则实数k的值为_半_.

解：弦AB长最小等价于/ACB最小，等价于PC最小，

弦AB长的最小值为次，圆C的半径为1,故sin/4CP=2^,

AC1

故/ACP=60°,由cos60°=&J,PC=2,

PC2

11+2|

PC的最小值为P到圆心C的距离d=-jr-2,

Vl+kJ

o5

故k=—,k<0,

4

所以％=-返，

2_

故答案为：k=-返.

2

三、解答题(共6小题).

17.已知直线/|：2x+y-3=0.直线，2：ax-2y+l=0.

(1)若直线/i直线b平行，求直线/i与/2的距离；

(2)若直线与直线/2垂直，求直线6与/2的交点坐标.

解：(1)因为直线/"2x+y-3=0与直线6：or-2y+l=0平行,

则有。=-4,所以直线IT.4x+2y-1=0,直线/i：4x+2y-6=0,

|-6-(-1)|

根据两条平行直线间的距离公式可得

^42+222

(2)因为直线与直线/2垂直，

则有2X〃+1X(-2)=0,解得a=l,

故直线/2：x-2y+l=0,

2x+y-3=0日

联立方程组,解得x=l,y=L

x-2y+l=0

故直线/1与/2的交点坐标为(1，1).

9

18.已知函数f(x)=a-r—为奇函数.

ex+l

(1)求实数。的值；

(2)判断函数/(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(3)解不等式/(Inx)>0.

解：(1)的解集是K,

：.f(x)的定义域是R.

又•：f(x)是奇函数，.•./(())=0.

(0)=a-1=0,即a=\.

经检验知，当〃=1时，/(-%)=(x),符合题意.

9

(2)由(1)知f(x)=l-—,

ex+l

经判断可知/(x)在R上是增函数.

任取Xi，X26R,且X|〈X2，

则/(XI)-f(x2)=1--^--=―2(e,

X1Xz

eFe'I(e+l)(e+l)

，X1Xz

；y=，为增函数，xi<x2«­-0<e<e-

xxxx

Aei+1>0,e2+1>0,ei_ez<0.

:・f5)-/(X2)<0,即(即)<f(X2).

：.f(x)在R上是增函数.

2

(3)由f(x)=l-—，

ex+l

99v-1

可得f(lnx)=lK^=lFF，

二>0

x+1,

X.x>0

解得X>1,

...原不等式的解集为(1,+8).

19.2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国

人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电

子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元(如房租、水电

等成本)，每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x台的总收益满足函数

480x-gx2，0<x4500

R(x)=2X，其中x是仪器的月产量.

115000,x>500

(1)将月利润f(x)表示为月产量的x的函数.(总收益=总成本+利润)

(2)当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？

解:(1)月产量为x台，则总成本为20000+80X,

480x-yx2-20000-80x,0<x<50C

那么f(x)=R(x)-(20000+80x)=<41

115000-20000-80x,x>500

-^x2+400x-20000,0<x<50C

整理得f(x)=12；

95000-80x,x>500

(2)当OWxW5OO时，f(x)=-y(x-400)2+60000>

:.当x=400时，f(x)最大值为60000；

当x>500时，f(x)是减函数，且/(x)<95000-80X500=55000,

.•.当x=400时，函数的最大值为60000,

即当月产量为400台时，所获得利润最大，最大利润为60000元.

20.如图，在四棱锥P-ABCC中，底面ABCD为矩形，平面PC。，平面ABC£>,AB=2,

BC=1,PC=PD=®,E为PB的中点.

(1)求证：PQ〃平面ACE；

(2)求证：尸£)，平面尸BC.

【解答】(1)证明：连结8。交AC于点凡连结EF.

,/底面ABCD是矩形，,F为BD中点.

又为尸8中点，：.EF//PD.

：POU平面ACE,EFu平面ACE,

...PD〃平面ACE；

(2)证明：•.•底面ABC。为矩形,

：.BCLCD.

又.平面PC£>_L平面ABC。，BCu平面ABCZ),平面PCZ>A平面ABCr>=CZ),

.♦.BC_L平面PCD.

・"Ou平面PC。，：.BCLPD.

:PC=PD=®,：.PC2+PD2=CD2,BPPDLPC.

\"BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,

.•.PO_L平面PBC.

21.已知圆C与y轴相切于点A(0,1),且被x轴所截得的弦长为2百，圆心C在第一

象限.

(I)求圆C的方程：

(II)若点P是直线/：2%+尹5=0上的动点，过尸作圆C的切线，切点为8,当△PBC

的面积最小时，求切线P8的方程.

解:(I):•圆C与y轴相切于点A(0,1),圆心C在第一象限，

.•♦设圆心坐标为(a,1),则半径为r=a(a>0),

又圆被x轴所截得的弦长为2^3,

可得(«)2+l=a4得。=2.

圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4；

(II)如图，P为直线/：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点