圆的方程 （人教版高中数学）

第Eg章圆与方程

本章教材分析

上一章，学生已经学习了直线与方程，知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直

线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，对数形结合的思想方法有了初步体验.

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系，以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠

定基础，这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础，在这个过程中进一步体会数形结合的

思想，形成用代数方法解决几何问题的能力.

通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一，坐标法不仅是研究几何问题的重

要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法，通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，实

现了形和数的统一，因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法这一重要思想，不怕反复.用坐标法解决几何问题

时，先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻

译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量

方法建立联系，同时可以推广到空间,解决立体几何问题.

本章教学时间约需9课时,具体分配如下（仅供参考）:

4.1.1圆的标准方程1课时

4.1.2圆的一般方程1课时

4.2.1直线与圆的位置关系2课时

4.2.2圆与圆的位置关系2课时

4.3.1空间直角坐标系1课时

4.3.2空间两点间的距离公式1课时

本章复习1课时

§4.1圆的方程

§4.1.1圆的标准方程

一、教材分析

在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析

法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方

程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,

具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程''一节内容的基础性和应用的广泛性,

对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的

应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究''是教师把教学内容设计为

若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引''，启发学生“探”，把

"引''和"探''有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并

主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.

二、教学目标

1.知识与技能一

(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程._

(2)会用待定系数法求圆的标准方程._

2.过程与方法一

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问

题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力、

3.情感态度与价值观一

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.

三、教学重点与难点

教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.

教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

(-)导入新课

思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)

说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出

太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.

课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个

人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点).

然后上升到数学层次：

不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.

从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.

那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师

板书本节课题:圆的标准方程.

思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求

呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.

(-)推进新课、新知探究、提出问题

①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离？

②具有什么性质的点的轨迹称为圆？

③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

④我们知道,在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是

什么？

⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程？

⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

讨论结果：①根据两点之间的距离公式J。一》2尸+(必一力)2，得

|AB|="(2—6产+(9+5尸=7212,

|CD|=7(x-3)2+(y+8)2.

②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆).

③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位

置和大小.

④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了.

⑤确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r>0).设

M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公

式让学生写出点M适合的条件"(x—a):+(y-H)2f①

将上式两边平方得(x-a尸+(y-b尸=产.

化简可W(x-a)2+(y-b)2=r2.@

若点M(x,y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程②，反之若点M的坐标满足方程②，这就说明

点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程，我们

把它叫做圆的标准方程.

⑥这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和

圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.

提出问题

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？

②确定圆的方程的方法和步骤是什么？

③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断？

讨论结果：①圆的标准方程(x—a)2+(y-a=J中，有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r>0,这时

圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条

件.

②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a,b)

和半径r,一般步骤为：

1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x—a)2+(y—02=/；

2。根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

3。解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

③点M(xo,yo)与圆(x-a)2+(y-b)2=J的关系的判断方法：

当点M(x(),yo)在圆(x-a尸+(y-b尸=/上时，点M的坐标满足方程(x-af+ly-tO、/.

当点M(x(),yo)不在圆(x-a尸+&-»=/上时，点M的坐标不满足方程(x-ay+(y-»=J.

用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：

22

1。点到圆心的距离大于半径，点在圆外O(x0-a)+(y0-b)>点在圆外；

2。点到圆心的距离等于半径，点在圆上O(xo-a尸+仇-»=/,点在圆上；

3。点到圆心的距离小于半径，点在圆内<=>(xo-a[+(yo-b)2〈r2,点在圆内.

(三)应用示例

思路1

例I写出下列各圆的标准方程：

(1)圆心在原点,半径是3；

⑵圆心在点C(3,4)泮径是

(3)经过点P(5,l),圆心在点C(8,-3);

(4)圆心在点C(l,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.

解:⑴由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0尸+(y-0/=32,即x2+y2=9.

⑵由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3尸+(y-41=(5)2,即(x-3尸+(y-4产=5.

(3)方法一:圆的半径r=|CP|=7(5-8)2+(1+3)2=4=5,因此所求圆的标准方程为(x⑻2+(y+3『=25.

方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=J,因为圆经过点P(5,l),所以(5-8)2+(1+3尸=己/=25,因此所求圆

的标准方程为(x-8尸+(y+3尸=25.

这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可，要视

问题的方便而定.

J3-12-7I|16|

(4)设圆的标准方程为(x-iy+(y02=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以

V25-V25

因此所求圆的标准方程为(x-D2+(y-3)2=^.

点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.

例2写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程，并判断点M|(5,-7),M2(-君,-1)是否在这个圆上.

解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是

(x-2)2+(y+3)2=25,

把点M|(5,-7),M2(-V51)分别代入方程(x-2尸+(y+3尸=25,

则Mi的坐标满足方程,Mi在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.

点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点,判断该点与圆的关系，这里

体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上

——从代数到几何.

例3△ABC的三个顶点的坐标是A(5,l),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a尸+(y-b)2=J入手，要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、

b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提

炼方法.

解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=J,因为八(5,1)](7,-3),(2(2,-8)都在圆上，

它们的坐标都满足方程(x-a尸+(y-b)2=J,于是

(5—")2+(1—。)2=/,(1)

.(7—4尸+(—3—。)2=/(2)

(2-a)2+(-8-Z>)2=r2.(3)

4=2,

解此方程组得小二—3,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2/+(y+3)2=25.

r=5.

解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+l=y(x-6).

同理线段AC的中点坐标为(3.5,35),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).

解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=J(5—20+(1+3尸=5,所以△ABC

的外接圆的方程为(x-2产+(y+3产=25.

点评:△ABC外接圆的圆心是4ABC的外心，它是△ABC三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离

相等,就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路.

思路2

例1图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m,拱高0P=4m,在建造时每隔4m需用一个

支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m).

解:建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0,4),B(10,0).

设圆的方程为x2+(y-b)2=F,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上，

+(4—。了=产，b=-10.5,

所以。,解得

102+(0-Z?)2=r2.r2=14.52,

所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.

设点P2(-2,y0),由题意yo>O,代入圆方程得(-2)2+(yo+lO.5)2=14.52,

解得yo=714.52-22-10.5=14.36-10.5=3.86(m).

答：支柱A2P2的长度约为3.86m.

例2求与圆x2+y2-2x=0外切，且与直线x+JJy=0相切于点(3,-J3)的圆的方程.

活动:学生审题，注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配

方法，把己知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数,得到所求的圆

的方程.

解:设所求圆的方程为(x-a尸+(y-»=J.圆x2+y2-2x-0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切，所以圆心距

等于两圆半径之和抑J(a—+3—0)2=什1,①

H•4

=-1,⑵

。-3v3

由圆与直线x+6y=0相切于点(3,・石),得＜

\a+43b\_

J1+（百¥匚⑶

解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4Gr=6.

故所求圆的方程为(x-4尸+y2=4或x2+(y+473)2=36.

点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方

程来求解,用待定系数法，求出圆心坐标和半径.

变式训练

一圆过原点0和点P(l,3),圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程.

解法一：因为圆心在直线y=x+2上，所以设圆心坐标为(a,a+2).

则圆的方程为(x-a尸+(y-a-2y=*.

因为点0(0,0)和P(1,3)在圆上，

1

所以(。一。)「(。一”2)：,2Q-----,

解得《4

(l—a)2+(3—a—r~225

厂=—.

8

]725

所以所求的圆的方程为(X+j尸+(丫-：)2=子.

13

解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(一,一),

22

311

所以弦OP的垂直平分线方程为丫一]。]/-]),即x+3y-5=0.

因为圆心在直线y=x+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，

1

X-——

y=x+2,4I7

所以由＜解得4，即圆心坐标为eq/.

x+3y—5=0,

又因为圆的半径r=|OC|=

17

所以所求的圆的方程为(x+上产+(广人尸=三.

448

点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量，要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量，有时可用待定系

数法.

(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.

例3求下列圆的方程：

(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=l-x相切于点(2,-1).

(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-l所得弦长为22.

解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=l-x相切于点(2,-1),所以

।与2a二11=_2）2+曰+,解得a=l.所以所求圆心坐标为（1,-2）,半径

VI2+12

厂J（l-2）2+（-2+1）2=V2.所以所求圆的标准方程为（x-D?+（y+2尸=2.

（2）设圆的方程为（x⑵2+（丫+1尸=”任＞0）,由题意知圆心到直线y=x-l的距离为d=纥±上U=JL又直

7i2+i2

线y=x-l被圆截得弦长为2四,所以由弦长公式得r12=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为住2）2+0+1尸=4.

点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性

质的应用,使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径

入手来解决.

（四）知能训练

课本本节练习1、2.

（一）拓展提升

1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.

活动:学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法.

C-Cd

解:首先两平行线的距离=^=2,所以半径为尸一二1.

2

7A+B22

方法一:设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离

公式d=5—G।，得J"+7L=JU.，即k=-2，所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x组

VA2+B2V32+42V42+32

.2

9

上一3x+4y-2=0,11,124,

成的方程组，,得1），因此圆心坐标为（土，二）.又半径为-1,所以所求圆的方程为

y=2%,41111

卜=TT

24,

（X--）2+（y---）=1.

146

3x+4y—7=0,,(3x+4y+3=0,_y=7?八一五

11和11

方法二:解方程组与1得因此圆心坐标为

y=2x,1y=2%，73

111111

2424

（打,行）.又半径口,所以所求圆的方程为（x-yy尸+（丫-石尸=1.

点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理.

（六）课堂小结

①圆的标准方程.

②点与圆的位置关系的判断方法.

③根据已知条件求圆的标准方程的方法.

④利用圆的平面几何的知识构建方程.

⑤直径端点是A(XM)、B(X2»2)的圆的方程是(x-X|)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=0.

(七)作业

1.复习初中有关点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有关内容.

2.预习有关圆的切线方程的求法.

3.课本习题4.1A组第2、3题.

§4.1.2圆的一般方程

一、教材分析

教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+g尸+(y+5尸=之上互二竺后只需讨论

DE

D2+E2-4F>0^D2+E2-4F=0>D2+E2-4FV0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F>0时,表示以)为圆

22

1_______np

心,一二加+炉_4尸为半径的圆;当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=--,y=-一,即只表示一个点

222

DF

当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

22

从而得出圆的-一般方程的特点：(1*和y2的系数相同,不等于0；⑵没有x-y这样的二次项;(3)D2+E?-4F

>0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有

三条同时满足才是充要条件.

同圆的标准方程(x-a/+(y-»=r2含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得

圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.

圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的

半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直

接关系，通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可

避免解三元二次方程组.

圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定

圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪

些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方

程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径.要

画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练

地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.

二、教学目标

1.知识与技能一

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的

圆心半径，掌握方程x~+y~+Dx+Ey+尸=0表不圆的条件.一

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程、

(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.一

2.过程与方法一

通过对方程f+)2+Dr+⑦+尸=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际

能力、

3.情感态度与价值观.

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

三、教学重点与难点

教学重点：圆的-一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数

D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

(-)导入新课

思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.

②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2R得到方程x?+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一

种非标准方程形式.

④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容，教师板书课题:

圆的一般方程.

思路2.问题：求过三点A(0,0),B(l/),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，

用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共

同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.

(-)推进新课、新知探究、提出问题

①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？

②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？

③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.

④把式子(x-a)2+(y-b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=O配方后的式子比较，得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的

条件.

⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点？

讨论结果：①以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学

习一般式.大家知道,我们认识一般的东西，总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的

公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.

②我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整

理得到，也是从特殊到一般.

22

nFD+F-4F

③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0酉己方得(x+耳)?+(y+：猿=-------------.

@(x—a)2+(y—b)2=r2中,r>0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r〈O时不表示任何图形.

因此式子(x+5)+(y+—)-=-------------.

r\T-'i______________

(i)当D-+E「4F>0时，表示以G—-)为圆心,一VZ)2+E~—AF为半径的圆；

222

DFDF

(ii)当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-—,y=—,即只表示一个点

2222

(iii)当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成

x2+y2+Dx+Ey+F=O的形式，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F>0时,它表示

的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.

我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=O表示圆的方程称为圆的一般方程.

⑤圆的一般方程形式上的特点：

x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.

圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标

与半径大小，几何特征较明显.

(三)应用示例

思路1

例I判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+ll=0.

9

解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,WD=-1,E=3,F=一,

4

而D2+E2-4F=l+9-9=l>0,

I31

所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程，其圆心坐标为()，半径为-；

(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,#

11

D=-l,E=3,F=—,D2-+E2-4F=l+9-ll=-l<0,

4

所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.

点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,

再利用条件D2+E〈4F与0的大小判断,不能直接套用.另外，直接配方也可以判断.

变式训练

求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.

解:⑴把x2+y2-8x+6y=0配方，得(x—4尸+(y+39=5L所以圆心坐标为(4,-3)泮径为5；

(2)x2+y2+2by=0配方，得x2+(y+b-=b2,所以圆心坐标为(0,-b)泮径为|b|.

例2求过三点0(0,0)、M|(l,l)、M2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标.

解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O,由0、M?在圆上，则有

F=0.

<D+E+F+2=0,

4D+2E+F+20^Q.

解得D=-8,E=6,F=0,

故所求圆的方程为*2+/&+6丫=0,即(*—4)2+(丫+3尸=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.

1153

方法二：先求出OM|的中点E(一,一),MiM?的中点F(-,-),

2222

再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-；=-(x-；),①

35

AB的垂直平分线PF的直线方程y--=-3(x--),②

联立①②得4'得1一’则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.

3x+y=9,=-3.

方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,

即x2+y2=(x-iy+(y-l)2=(x-4尸+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.

方法四：设所求圆的方程为(x—a)2+(y—»=/,因为0(0,0)、A(l,l)、B(4,2)在圆上，所以它们的坐标是

方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组，即

+(1-份2=/，

<a2+b2=r2,

(4—4)2+(2—=,

(7=4,

解此方程组得"=-3,所以所求圆的方程为尊一4尸+(丫+3)2=52,圆心坐标为(4,-3)泮径为5.

r-5.

点评：请同学们比较，关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程.一般说来，如果由已知条件容易求

圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐

标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程.

例3已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程.

活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识，见

中点作中线，利用中线定长可得方程，再就是利用求曲线方程的办法来求.

图1

解法一:如图1,作MN〃OQ交x轴于N,

则N为0P的中点，即N(5,0).

因为|MN|=!|0Q|=2(定长).

2

所以所求点M的轨迹方程为(x-5/+y2=4.

点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许

多问题中,动点满足的儿何条件较为隐蔽复杂，将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹问

题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时，首先分析轨迹上的动点M的运动情况,

探求它是由什么样的点控制的.

解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).

「一10+与

A-

Hn[x0=2x-10.

因为M是PQ的中点，所以＜-叫(*)

Jo=2y.

又因为Q(x(),yo)在圆x2+y2=16上，所以.将(*)代入得

(2x-10)2+(2y)2=16.

故所求的轨迹方程为(x-51+y2=4.

点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).

x-f,(x,y),

②求出点M与点Q坐标间的关系＜0n?0n(I)

③从(I)中解出卜(II)

jo=g2(x,y)・

④将(H)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程.

这种求轨迹方程的方法也叫相关点法，以后要注意运用.

变式训练

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+D?+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

解:设点M的坐标是(x,y),

点A的坐标是(x(),yo).

由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点，所以x=~)；4,y=)o；3.于是有xo=2x_4,yo=2y-3.

因为点A在圆(x+l/+yJ4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+l/+y2=4,即(xo+l尸+y()2=4.②

把①代入②周(2x-4+1尸+(2丫-3)2=4,整理，得(x--)2+(y-y)2=l.

33

所以点M的轨迹是以(一，一)为圆心，半径长为1的圆.

22

思路2

2222

例1求圆心在直线l：x+y=O上，且过两圆C।:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.

活动:学生审题，教师引导，强调应注意的问题，根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交

点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程.

解:解两圆方程组成的方程组《，一得两圆交点为(0,2),(-4,0).

卢-+y?+2x+2y-8=0.

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=J,因为两点在所求圆上，且圆心在直线1上,所以得方程组

(-4-a)2+b-=r2,

<a2+(2-b)2=r2,

a+b=0.

解得a=-3,b=3,r=Jib.故所求圆的方程为(x+3)?+(y-3尸=10.

点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方

程.

例2已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.

解法一:利用圆的一般方程.

设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知，该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有

1+D+F=0,

«32+3D+尸=0,,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x2+y2-4x+4y+3=0.

(―一E+R=0.

解法二:利用圆的标准方程.

由题意该圆经过P(l,0),Q(3,0),R(-l,0),

设圆的方程为(x-af+ly-b):/,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上，故a=2.

因为|PC|=|RC|,所以，=J4+为+1>将a=2代入，得b=-2,所以C(2,-2).

而r=|PC|=75，故所求圆的方程为(x-2尸+(y+2/=5.

例3试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+l=O对称的曲线。的方程.

活动：学生先思考，