新教材高中数学指数函数与对数函数对数对数的运算教学案新人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算

(教师独具内容)

课程标准：掌握积、商、幕的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.掌握换底

公式并能用换底公式进行求值、化简.

教学重点：对数的运算性质、换底公式.

教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.

【知识导学】

知识点一对数运算性质

如果a〉0且aWl,粉0,N>0,那么，

(1)ioga(M)=£iiogJ/~l~iogW

(3)10ga"=®〃10ga〃(〃GR).

知识点二换底公式

(1)对数的换底公式：/log/=；°g”(a>0且a—1；c>0且c#l；b>0).

logca

(2)三个较为常用的推论

①园log,•log：。•log°a=l(a>0,6>0,c>0,且均不为1)；

②的log/=y^—(a>0,6〉0,且均不为1)；

logta

③log丽6=悌/log/Ha〉。，b>0,且均不为1,〃W0).

【新知拓展】

(1)推广：\oga{NiNi---Nk)=logJW+logJ^H----Flogj\i(y\i>0,"GN*).

(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用

累的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题.

(3)对数运算性质的实质就是把积、商、募的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算,

使用时要注意公式的适用条件.

(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不成

,z,zM10ga#„.„

AL：log式恻=logJ/・log/loga(〃土加=logj/±l0gsMlog于=]ogylogj/=Qoga励.

(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：1g

5+lg2=lg10=1.

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“X”）

⑴两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差.（）

（2）loga（x。=logaX・loga、（）

(3)log2(-5)2=21og2(—5).()

(4)由换底公式可得log/=髻仁如.()

log(—2)a

答案⑴J(2)X(3)X(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)log325—log35=.

(2)1g8+lg53=.

(3)若1g5=a,1g7=b,用a,6表示log75=.

答案(1)log35(2)3⑶=

b

题型一对数运算性质的应用

例1若公0,且aWl,x>p>0,〃金N*,则下列各式：

①10gaX・10ga7=10ga(x+力；

②10gaX-10gJ=10ga(x-7)；

lOgaXX

③10ga(x力=10gaX・10gaP；④;;

⑤(10ga/=10gaV；⑥10ga£=-10g(；

@^^二iog%⑧iog，，f^

其中式子成立的个数为()

A.3B.4C.5D.6

［解析］对于①，取x=4,y=2,a=2,贝!!log24•log22=2Xl=2,而log2(4+2)=

log26W2,.\logaX。1€^^=1082(入十力不成立；

对于②，取x=8,y=4,a=2,则log28—log24=lWlog2(8—4)=2,loga^r—logay=

loga(x一力不成立；

对于③，取x=4,y=2,a=2,则log2(4X2)=log28=3,ffi］log24•log22=2X1=2^3,

・・.10ga(x7)=10gaX・loga7不成立；

-cLL」Og244lOgaXx_^n.

对于④，取X=4,y=2,a=2,则^----=2^1og2-=L------=loga-不成乂；

log222logayy

对于⑤，取x=4,a=2,77=3,贝U(log24)3=8Wlog243=6,

，（loga必”=10ga4不成立;

-1-1

⑥成立，由于一log〕=-loga^=loga(jr)T=logaX；

1

⑦成立，由于10ga《G=10gaX=310gaX；

⑧成立，由于log“H=log(g)T=-log，］-

［答案］A

例2化简：(l)41g2+31g5一1g±

o

/c、lg如+lg8—31g①

⑵1g1.2;

32

(3)21og2—logs—+log8—510853；

3y3

⑷log2-V8+4J3+logz^S^Js.

240

X0^

［解］(1)原式=lg11g10—4.

-

5

|(lg3+21g2-1)3

=1g3+21g2-1=2,

(3)J^^=21og32-(log332-log39)+31og32-3=51og32-(51og32-2)-3=-l.

(4)原式=log2(，8+4(•78—4小)=log24=2.

金版点睛

对数式化简与求值的原则和方法

（1）基本原则

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问

题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

（2）两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；

②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.

⑶要注意一些常见的结论，如lg2+lg5=1,1gi=-lga等.

［跟踪训练1］计算:

2

(Dig25+-lg8+lg5Xlg20+(lg2)2；

(2)log535—21og52+log57—log5l.8；

⑶log2、原+log212—；log242-1.

解(1)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+lg5)+(lg2)2=21g10+(lg5+lg2)2=

2+(lg10)2=2+1=3.

9

(2)原式=log(5X7)—2(log7—log3)+log7—log-=log5+log7—21og7+21og3

55555u5555

+log57—21og53+log55=2.

V7X121

3

-23

=log22=—-7.

题型二换底公式的应用

例3计算：(1)(log43+log83)—；

(2)(Iog2125+log425+log85)(log52+log254+logi258).

］g3lg3)lg2lg3lg2lg3.lg2_11_5

［解］(1)原式=lg3+31g2*lg3~2±3~&

⑵解法一：原式=

log25log25V.logsSA

321g5logs4

log25-|-log4log28)1°

2log5125j

log525

21og25log25V2log52310g52)

31og254310g22人log524-21og5531og55j

21og22

3+l+-Jlog25-31og52

131og25,-----=13.

log25

解法二：原式=

1g1251g251g5)Qg21g41g8

1g2+1g4十1g8)［lg5十1g25十1g125

=Qlg521g51g5221g231g2)

一(lg2十21g2十31g2人1g5十21g5十31g5)

_131g531g2

-31g2•1g5

解法三：原式=

32123

(Iog25+log225+log235)(log52+log522+1Og5s2)

=(31og25+log25+^log25j(log52+log52+log52)

3+l+§)log25-31og52

13

=yX3

=13.

金版点睛

换底公式在求值中的应用

利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可

用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用.

［跟踪训练2］计算：

(1)log23Xlog34Xlog45Xlog56Xlog67Xlog?8；

logs/xlog79

210g2(^/3+^/5—小一乖）.

.„„1g31g41g5ig61g71g81g83ig2

解⑴原式=弓1X曰飞><适N><垣行又运五*亚丁=适另=斤百万=3.

题型三对数式的条件求值问题

6

例4已知logi89=a,18=5,试用a,6表示log3645.

［解］解法一：•・T8"=5,.•・logi85=6,

又logis9—<3,

・1匚logi84510gl8(9X5)〉ogi89+logi85匹+6

・・log3645=logi836=—"=21ogi818—logi89=U

10gl8-

1g9

解法二：Vlogi89=-~~—=5,1g9=alg18,

lgio

同理得1g5=Mg18,

.1g451g(9X5)>g9+lg5

..log364b-lg36—182-21g18-lg9

alg18+Mg18a+b

=21g18—alg18=2一目

18

解法三：：logi89=a,logw2—1—logis2=

・・logis2—1a.

•・T8‘=5,・,・logi85=b,

.Iogi84510gl89+logi85a+6

=

..log3645=logi836=i+logl822^

a

解法四:Vlogi89=a,18=9.

又18'=5,A45=5X9=18^18a=18a+b.

令log3645=x,贝！J36x=45=18a+\

1818=9eI*

•・T8a=9,：A82x=(18ay•18a+b=18ax•isa+b=18ax+a+b.

..z+6目口a-\~b

••2iX—~o,x\Q\by••x—~~z,艮［Jlog3645-74•

2—a2—a

金版点睛

指数式与对数式之间的转化是解题关键

对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公

式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数之间的转化是解题的关键.

带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化

为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式

与对数式的互化.

［跟踪训练3］已知a,b,c是不等于1的正数，且，="=/,-+-+-=0,求abc的

xyz

值.

解解法一：设己'="=/=方，x=logat,y=logbt,z=logc方，

・」+:+：=彳1«+［1什11==log田+log力+logQ=logt（LZ?C）=0,

xyzlogatlog高logct

abc=/=1,即abc=1.

解法二：Ta,b,。是不等于1的正数，且d=Zf=/,

lgt1gt1gt

令a=B=c=方>0,'lgaylg6Zlgc

I4I4Ilgalg5lgclga+lg5+lgc

xyzlglglgflgt•

111l

,/-+-+-=0,且lg力WO,

xyz

/.lga+lgZ?+lgc=lg{abc）=0,abc=l.

1.若於0,且aWl,x£R,yeR,且xy>0,则下列各式不恒成立的是（）

①logaf=21ogaX；②loga?=21oga|x|；③loga（9=1