安徽省六安市舒城中学高三仿真（三）数学（文）试题

舒城中学2018届高三仿真试题（三）文科数学试题（总分：150分时间：120分钟）命题：审题：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1．设集合，，则集合等于()．A．B．C．D．2．设复数QUOTE满足QUOTE，其中QUOTE为虚数单位，则QUOTE()A.QUOTEB.C.D.3．若满足，则的最小值为()A.8B.7C.24．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于()A.B．C.D．5．若则()A.B.C.D.

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE7．执行如右图所示的程序框图，输出的的值是()A.9B.10C.118．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率()A.B.C.D.9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A.B．C．D．11．平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率()A.B.C.D.12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为()A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.14．已知等差数列中，已知，则=________________.15．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．16．如图，是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面，，且点到平面的距离为1，则球的表面积为__________．三．解答题(本大题共6小题,共70分)17.在锐角中，，，为内角，，的对边，且满足．（）求角的大小．（）已知，边边上的高，求的面积的值．18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.19.某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有转为一般困难，特别困难的学生中有转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2013年，与（万元）近似满足关系式，其中为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中，（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为=2\*GB3②20．已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。21.已知函数.(I)当时，求函数的单调区间;(II)当时，恒成立，求的取值范围.22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.（Ⅰ）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.23.设函数.（1）当时，求的最小值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.

答案：1．设集合，，则集合等于()．A．B．C．D．【答案】D2．设复数QUOTE满足QUOTE，其中QUOTE为虚数单位，则QUOTE()A.QUOTEB.C.D.【答案】D3．若满足，则的最小值为()A.8B.7C.2D.1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值．故选B．4．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于()A.B．C.D．【答案】C【解析】试题分析：由成等差数列可得，，即，也就是，所以等比数列的公比，从而，故选C.5．若则A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，∴．选B．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为．选B．7．执行如右图所示的程序框图，输出的的值是()A.9B.10C.11D【答案】B【解析】试题分析：由框图可知，，当时，，；当时，，，输出，选B.考点：程序框图8．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y则0≤x，y＜24；…若至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则0＜yx＜6或0＜xy＜6则必须等待的概率为1，选D9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A10．已知定义的R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A.B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由已知条件得的图象关于对称，且在上是增函数，在上是减函数，因为，所以，由对称性得，当不等式对任意恒成立时，则，恒成立，则，故实数的取值范围是．考点：1、函数的图象与性质；2、恒成立问题.11．椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由椭圆，可知其左右顶点为,设，则，可得，因为，所以，因为，所以，解得，故选A.12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m的取值范围是．考点：对数函数图象与性质的综合应用．三、填空题13．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.【答案】.【解析】试题分析：由题意知，，即，即，，，因此向量与向量的夹角为.考点：1.平面向量垂直条件的转化；2.平面向量的数量积；3.平面向量的夹角14．已知等差数列中，已知，则=________________.【答案】.15．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】设点的横坐标为∵，在双曲线右支上（）

根据双曲线的第二定义，可得故答案为.16．如图，是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面，，且点到平面的距离为1，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为且点到平面的距离为1，

∴球心到平面的距离为1，

∵截球所得截面的面积为，

∴截面圆的半径为3，

故由R

∴球的表面积三、解答题17．在锐角中，，，为内角，，的对边，且满足．（）求角的大小．（）已知，边边上的高，求的面积的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得，即可得到角的值；（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（）∵，由正弦定理得，∴，，∵且，∴，∵，．（）∵，代入，，，得，由余弦定理得：，代入，得，解得，或，又∵锐角三角形，∴，∴，∴18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先证明，再说明，根据底面，可得，即可证出；（2）因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可转化为求三棱锥的体积，再换顶点为Q，并利用Q是中点转化为求解即可.试题解析：（1）证明：∵，∴，∵，∴.又∵底面，∴.∵，∴平面.（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而.所以三棱锥的体积.点睛：涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.19.某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2013年，与（万元）近似满足关系式，其中为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中，（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为②【答案】（Ⅰ）2.8（万）;（Ⅱ）1624万.【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，所以，，即可得解；（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生人数，一般困难、很困难、特别困难的中学生人数，018年人均可支配收入比2017年增长，据此可得2018年该市特别困难、很困难、一般困难的学生的中学生人数，即可得解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.由得，所以，，所以，所以.当时，2018年人均可支配年收入（万）（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比2017年增长所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(110%)=2520人，很困难的学生有4200×(120%)+2800×10%=3640人一般困难的学生有7000×(130%)+4200×20%=5740人.所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万20．已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.（1）（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，联立方程组：，消去并整理得：设，因为点的坐标为，所以，故，从而点的坐标为，用t去换点P坐标中的t可得点的坐标为，所以直线的斜率为【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【解析】试题分析：（Ⅰ）设，由化简即可得结论；（Ⅱ）由题意的外接圆直径是线段，设：，与联立得，从而得，时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.试题解析：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.设，则有.化简得.所以点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设：，代入中，得.设，，则，.所以.因为：，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.21.已知函数.(I)当时，求函数的单调区间;(II)当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ)单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，令，由，可得有两个不同解，结合函数的定义域，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立等价于当