连续型随机变量

连续型随机变量本章主要内容：随机变量及分布函数

连续型随机变量多维随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式条件分布与条件期望、回归与第二类回归特征函数第2页,共180页，2024年2月25日，星期天教学目的与要求1．掌握分布函数的定义和性质；2．掌握连续型随机变量的概率密度，特别是均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度；二维连续型随机变量的联合概率密度和边际密度。3．掌握连续型随机变量的数学期望、方差。4．掌握表示随机变量相互关系的数字特征：协方差、相关系数，随机变量的不相关与独立的异同。5．掌握连续型随机变量函数的分布密度的求法，掌握卷积公式。6.掌握特征函数及其应用第3页,共180页，2024年2月25日，星期天教学重点与难点教学重点是分布函数与连续型随机变量的密度函数，期望、方差的有关概念。教学难点是协方差、相关系数的有关计算，及卷积公式的应用。第4页,共180页，2024年2月25日，星期天3.1随机变量及分布函数

一、随机变量定义3.1设（）是一个概率空间，对于是一个取实值的单值函数，对任意的x∈R，有{}∈F，则称为（）上的一个（实）随机变量。第5页,共180页，2024年2月25日，星期天二、分布函数及其性质下面总是假设给定概率空间，所讨论的R.V.是同一概率空间上的R.V.【定义】

第6页,共180页，2024年2月25日，星期天【例1】掷一枚均匀的硬币

＝求R.V.的d.f.F（x）【解】不难求得：

第7页,共180页，2024年2月25日，星期天01．1○○xy=F（x）第8页,共180页，2024年2月25日，星期天F(x)单调不减，即

0≤F（x）≤1，且F(x)右连续，即反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要条件。【定理】（分布函数性质定理）第9页,共180页，2024年2月25日，星期天推论：在分布函数的性质定理的条件下，对任意实数a＜b，有：P()=F（b）-F（a）P()=F（a+0）-F（a）P()=1-F（a）其中F（a+0）＝第10页,共180页，2024年2月25日，星期天第11页,共180页，2024年2月25日，星期天第12页,共180页，2024年2月25日，星期天第13页,共180页，2024年2月25日，星期天第14页,共180页，2024年2月25日，星期天第15页,共180页，2024年2月25日，星期天第16页,共180页，2024年2月25日，星期天【例2】设R.V.为:求（1）P（2≤<4）

（2）P（≤3）（3）P（=1）（4）P（≥）第17页,共180页，2024年2月25日，星期天【例3】设，求R.V.的d.f【解】第18页,共180页，2024年2月25日，星期天【例4】设母鸡在任意的的时间间隔内下蛋个数服从泊松分布问两次下蛋之间的“等候时间”服从什么样的分布函数？【解】设前一次下蛋时刻为0，因为不可能为负值，所以当t≤0时，而当t>0时，因为在等候的时间内鸡不下蛋，所以故有：

第19页,共180页，2024年2月25日，星期天于是：

∵由概率的连续性即得：

F(t)=

=

=

第20页,共180页，2024年2月25日，星期天于是：这是指数分布的分布函数。

第21页,共180页，2024年2月25日，星期天3.2连续型随机变量一、连续型随机变量及其概率密度函数

定义：设R.V.的d.f为，如果存在非负函数，使得那么称为一连续型R.V.，称为R.V.的概率密度函数，简称密度函数。第22页,共180页，2024年2月25日，星期天【概率密度函数的性质】这两条性质是判定一个函数P(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.

P(x)xo面积为1第23页,共180页，2024年2月25日，星期天

故

的密度P(x)在x这一点的值，恰好是落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，则P(x)相当于线密度.

若x是P(x)的连续点，则：=P(x)3.对P(x)的进一步理解:第24页,共180页，2024年2月25日，星期天

要注意的是，密度函数P(x)在某点a处的高度，并不反映取值的概率.但是，这个高度越大，则取a附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。

f(x)xo第25页,共180页，2024年2月25日，星期天连续型r.v取任一指定值的概率为0。即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:第26页,共180页，2024年2月25日，星期天由此得，1)对连续型r.v.,有第27页,共180页，2024年2月25日，星期天2)由P(=a)=0可推知而{=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件。可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S第28页,共180页，2024年2月25日，星期天

由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定。所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.

P(x)xo第29页,共180页，2024年2月25日，星期天【例1】设R.V.具有密度函数试求（1）常数C

（2）的d.f.F（x）（3）P(0≤≤1）

【解】

第30页,共180页，2024年2月25日，星期天【例2】设R.V.的d.f为求常数及R.V.的p.d.f。【解】第31页,共180页，2024年2月25日，星期天二、几种常见的连续型分布

它的实际背景是:r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布。1.均匀分布第32页,共180页，2024年2月25日，星期天2.正态分布若

的密度函数为则称服从参数为,2的正态分布记作～N(,2)为常数，第33页,共180页，2024年2月25日，星期天p(x)的性质：图形关于直线x=

对称：f(+x)=f(-x)在x=

时,p(x)取得最大值在x=

±

时,曲线y=p(x)在对应的点处有拐点曲线y=p(x)以x轴为渐近线曲线y=p(x)的图形呈单峰状第34页,共180页，2024年2月25日，星期天第35页,共180页，2024年2月25日，星期天p(x)的两个参数：

—

位置参数即固定

,对于不同的

,对应的p(x)的形状不变化，只是位置不同

—形状参数固定

，对于不同的

，p(x)的形状不同。若

1<

2则比x=

2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大。x=

1所对应的拐点前者取

第36页,共180页，2024年2月25日，星期天应用场合若随机变量受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则服从正态分布。可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；第37页,共180页，2024年2月25日，星期天标准正态分布的计算：一种重要的正态分布：N(0,1)—标准正态分布第38页,共180页，2024年2月25日，星期天第39页,共180页，2024年2月25日，星期天-xx第40页,共180页，2024年2月25日，星期天对一般的正态分布：～N(

,

2)其分布函数作变量代换第41页,共180页，2024年2月25日，星期天【例3】设~N(1,4),求P(01.6)【解】P460附表3第42页,共180页，2024年2月25日，星期天解一第43页,共180页，2024年2月25日，星期天解二图解法0.2由图0.3第44页,共180页，2024年2月25日，星期天0=1.645=2.575=-1.645=-2.575标准正态分布的上

分位数u

第45页,共180页，2024年2月25日，星期天例设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？解（1）工程资方掌握资金3亿元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包标准正态分布表=0.6554(2)请自己完成。委托甲公司承包较为合理。第46页,共180页，2024年2月25日，星期天【例5】设测量的误差～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n>3所以至少要进行4次独立测量才能满足要求。

第47页,共180页，2024年2月25日，星期天3.指数分布则称服从

参数为

的指数分布。

>0为常数第48页,共180页，2024年2月25日，星期天对于任意的0<a<b,应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似第49页,共180页，2024年2月25日，星期天【例6】令：B={等待时间为10～20分钟}第50页,共180页，2024年2月25日，星期天3.3多维随机变量及其分布一、多维随机变量及其联合分布函数定义1：如果是概率空间上的n个随机变量，那么称向量（）为n维随机变量或n维随机向量。定义2：对，称为n维随机变量的联合分布函数。【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量此时，有第51页,共180页，2024年2月25日，星期天由上述得：F(x,y）是二维随机变量落入图中阴影部分的概率。●（x，y）xy第52页,共180页，2024年2月25日，星期天对于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2)，则随机点(X,Y)落在矩形区域[x1<X

x2，y1<Y

y2]内的概率可用分布函数表示为P(x1<X

x2，y1<Y

y2)＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)O

x1

x2xy1y2y第53页,共180页，2024年2月25日，星期天定理1：二维随机变量的联合分布函数F(x,y)具有如下的基本性质：

F（x，y）对每个变元是非降的；F（x，y）对每个变元右连续；F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(+∞,+∞）=1

【注】第54页,共180页，2024年2月25日，星期天二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们的分布函数，记

X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；

Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数。由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系

第55页,共180页，2024年2月25日，星期天例3.6设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A，B，C为常数，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1)试确定A，B，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2)解

(1)由联合分布函数性质2可知解得(2)(3)由X的分布函数可得故第56页,共180页，2024年2月25日，星期天二、二维连续型随机变量定义：如果二维R.V.的联合分布函数F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称是二维连续型R.V。此时，也称p（x，y）为的概率密度函数。第57页,共180页，2024年2月25日，星期天

的联合密度函数p(x,y)具有如下性质：

p(x,y)≥0

在p(x,y)的连续点(x,y)处有

G是平面上某一区域，则第58页,共180页，2024年2月25日，星期天例设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)解得k=15O1x1yy=xx+y=1(2)第59页,共180页，2024年2月25日，星期天(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。例已知解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)第60页,共180页，2024年2月25日，星期天p(x,y)的边际p.d.f第61页,共180页，2024年2月25日，星期天例设二维随机变量求边缘密度函数pX(x)和pY(y)解当0<x<1时,O1xy1y=x2y=x3当x≤0或x≥1时，pX(x)=0，所以当0<y<1时,当y≤0或y≥1时，pY(y)=0，所以第62页,共180页，2024年2月25日，星期天三、常用的二维连续型分布1.均匀分布

设是一平面区域，其面积为，向内随机地投一点，表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域,有假设显然：p(x,y)是随机变量服从区域上的均匀分布第63页,共180页，2024年2月25日，星期天注：可以把二维区域上的均匀分布推广到n维区域上的均匀分布第64页,共180页，2024年2月25日，星期天2.二元正态分布（1）二元正态分布定义第65页,共180页，2024年2月25日，星期天（2）二元正态密度的性质

第66页,共180页，2024年2月25日，星期天【例1】两个边际分布都是正态的，但它们的联合分布可以不是二元正态第67页,共180页，2024年2月25日，星期天四、随机变量的独立性定义：定理1第68页,共180页，2024年2月25日，星期天思考题把定理1推广到n元的情形【例2】【解】第69页,共180页，2024年2月25日，星期天定理2第70页,共180页，2024年2月25日，星期天3.4随机变量函数的分布一、单个随机变量函数的分布一般解法而事件：即：即：第71页,共180页，2024年2月25日，星期天所以有如果是连续型分布，则利用d.f与p.d.f之间的关系，可得：【例1】【解】第72页,共180页，2024年2月25日，星期天定义1由此可知：本例中，则第73页,共180页，2024年2月25日，星期天一般地，求连续型R.V函数的p.d.f有如下的定理：定理第74页,共180页，2024年2月25日，星期天【例2】【例3】【解】第75页,共180页，2024年2月25日，星期天二．多维R.V.函数的分布1.预备知识【引理】R.V.相互独立对一切一元波雷尔点集有P=.【定理*】如果n个R.V.相互独立,且是一元波雷尔函数，那么也相互独立.第76页,共180页，2024年2月25日，星期天2.多维随机变量的函数的分布

设=是一个n维R.V.，是n元波雷尔可测函数，作为上的函数也是R.V.，如果=的联合p.d.f.为，如何求出的p.d.f.呢？同前述同类：

然后求导即得.第77页,共180页，2024年2月25日，星期天3.和与商的分布

定理1（和的分布）：设为二维连续型R.V.，其联合p.d.f.为p(x,y),,则有p.d.f.或注：如果与相互独立，则或第78页,共180页，2024年2月25日，星期天【例4】设，求的p.d.f.【解】第79页,共180页，2024年2月25日，星期天【注】当与相互独立时，即=0时，一般的，如果，且相互独立，那么.第80页,共180页，2024年2月25日，星期天【例5】设与相互独立，，，求的p.d.f..【解】第81页,共180页，2024年2月25日，星期天第82页,共180页，2024年2月25日，星期天定义2如果R.V.的p.d.f.为.第83页,共180页，2024年2月25日，星期天那么称R.V.服从参数为的分布.记为R.V.分布.记为R.V..【例6】设，.且与相互独立，那么

.【解】第84页,共180页，2024年2月25日，星期天注1：本例说明：分布对第一参数具有可加性：如果，，且相互独立.那么

.注2：在中，，,则

这是.即.

由分布对第一参数具有可加性知：对参数n具有可加性.第85页,共180页，2024年2月25日，星期天注3：由前面推导知：，则由分布的可加性知：

这里我们用到一个结论：如果相互独立，f(x)为波雷尔可测函数，那么也相互独立.第86页,共180页，2024年2月25日，星期天

定理2（商的分布）设为二维连续型R.V.，其p.d.f.为p(x,y).

那么商的p.d.f.为.【推论】当如果与相互独立时，第87页,共180页，2024年2月25日，星期天定义3如果R.V.的p.d.f.为那么称R.V.服从参数为（n,m）的分布，记为n——第一参数，也称为第一自由度或分子自由度.m——第二参数，也称为第二自由度或分母自由度.

第88页,共180页，2024年2月25日，星期天0yx第89页,共180页，2024年2月25日，星期天定义4如果的p.d.f.为那么称服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t—分布.记为.

如果记.那么由极限的计算可以证明：第90页,共180页，2024年2月25日，星期天0yx第91页,共180页，2024年2月25日，星期天【例7】设与相互独立，且，，试求的概率密度函数.【解】第92页,共180页，2024年2月25日，星期天【例8】设，，又与相互独立，试求的p.d.f..【解】第93页,共180页，2024年2月25日，星期天三.max、min分布设连续随机变量X,Y相互独立,X~FX(x),Y~FY(y),M=max{X,Y},N=min{X,Y},求M,N的分布函数.第94页,共180页，2024年2月25日，星期天第95页,共180页，2024年2月25日，星期天推广相互独立，且设则第96页,共180页，2024年2月25日，星期天例设随机变量列独立同分布，都服从，试求第97页,共180页，2024年2月25日，星期天4.多维R.V.的变换的分布这里只讨论连续型情况：设为n维连续型R.V.，其p.d.f.为,又设，均是上的连续函数，组成一个m维，，，如何求的联合

.其一般方法是：先求的联合d.f.G.，归结为计算积分：第98页,共180页，2024年2月25日，星期天（*）式中有如下情况：①当m=n=1时，前面已经解决过.②当m=1,n>1时，前面也解决过.③当m=n>1时，这是一类重要的情况，有如下定理：（*）见后第99页,共180页，2024年2月25日，星期天定理设连续型随机向量具有联合p.d.f.为，.是到的一个一一映射，如果具有逆变换：

连续，且有连续的偏导数，那么的联合p.d.f.为第100页,共180页，2024年2月25日，星期天其中G为的值域.第101页,共180页，2024年2月25日，星期天【例9】设与相互独立，同具有参数为的指数分布，试求的联合分布密度函数g（u,v）.【解】顺便得出z，y的边际分布密度函数：第102页,共180页，2024年2月25日，星期天§3.5随机变量的数字特征

切比雪夫不等式第103页,共180页，2024年2月25日，星期天第104页,共180页，2024年2月25日，星期天第105页,共180页，2024年2月25日，星期天第106页,共180页，2024年2月25日，星期天第107页,共180页，2024年2月25日，星期天第108页,共180页，2024年2月25日，星期天第109页,共180页，2024年2月25日，星期天第110页,共180页，2024年2月25日，星期天第111页,共180页，2024年2月25日，星期天第112页,共180页，2024年2月25日，星期天第113页,共180页，2024年2月25日，星期天第114页,共180页，2024年2月25日，星期天第115页,共180页，2024年2月25日，星期天第116页,共180页，2024年2月25日，星期天第117页,共180页，2024年2月25日，星期天第118页,共180页，2024年2月25日，星期天第119页,共180页，2024年2月25日，星期天第120页,共180页，2024年2月25日，星期天第121页,共180页，2024年2月25日，星期天第122页,共180页，2024年2月25日，星期天第123页,共180页，2024年2月25日，星期天第124页,共180页，2024年2月25日，星期天第125页,共180页，2024年2月25日，星期天第126页,共180页，2024年2月25日，星期天第127页,共180页，2024年2月25日，星期天第128页,共180页，2024年2月25日，星期天第129页,共180页，2024年2月25日，星期天第130页,共180页，2024年2月25日，星期天第131页,共180页，2024年2月25日，星期天第132页,共180页，2024年2月25日，星期天第133页,共180页，2024年2月25日，星期天第134页,共180页，2024年2月25日，星期天第135页,共180页，2024年2月25日，星期天第136页,共180页，2024年2月25日，星期天第137页,共180页，2024年2月25日，星期天第138页,共180页，2024年2月25日，星期天第139页,共180页，2024年2月25日，星期天第140页,共180页，20