能态密度和费米面

能态密度和费米面§4-7能态密度和费米面

一、能态密度函数固体中的电子能级原子中电子的本征态分立的能级分布情况描述具体标明各能级能量准连续分布特点：异常密集分布情况描述“能态密度函数N(E)”或“单位体积能态密度g(E)”第2页,共49页，2024年2月25日，星期天一、能态密度函数1、能态密度函数定义：在E—E+ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则能态密度函数定义为：单位体积能态密度g(E)：第3页,共49页，2024年2月25日，星期天一、能态密度函数Ⅰ.ΔZ的确定在空间中作和等能面，在两等能面之间状态数即为ΔZ。而空间中分布是均匀的，密度为，即：(1)dk表示两等能面之间的垂直距离;(2)ds表示面积元。第4页,共49页，2024年2月25日，星期天一、能态密度函数Ⅱ.关于ΔE由的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：第5页,共49页，2024年2月25日，星期天关于能态密度的计算公式：例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。例二、若已知，求g(E)。例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。第6页,共49页，2024年2月25日，星期天例一、自由电子能态密度Ｎ(E)解：自由电子的能量本征值：自由电子等能面为球面，其半径为：第7页,共49页，2024年2月25日，星期天例一、自由电子能态密度Ｎ(E)分析Ｅ～Ｎ(Ｅ)关系N(E)E

自由电子情况近自由电子近似的能态密度第8页,共49页，2024年2月25日，星期天近自由电子近似的等能面第一布里渊区内：认为从原点向外，等能面应该基本上保持为球面接近于布里渊区边界：等能面将向外凸出当EA<E<EC时：等能面将不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶角附近的曲面。第9页,共49页，2024年2月25日，星期天近自由电子能态密度Ｎ(E)Ｅ～Ｎ(E)关系可表示如下：(1)E<EA时，N(E)自由电子结果相差不多；(2)E接近EA时，由于等能面向外凸，导致体积增大，使N(E)大于自由电子情况；(3)E>EA时，由于等能面开始残破，面积下降，尤其是到达EC时，等能面缩小为几个顶角点，所以由EA到EC过程，N(E)将不断下降到零。N(E)E

自由电子情况近自由电子情况第10页,共49页，2024年2月25日，星期天近自由电子能态密度Ｎ(E)N(E)E

自由电子情况近自由电子情况(4)当E达到并超过第二布里渊区的最低能量EB时，能态密度N(E)将从EB开始，由0迅速增大。注：右图为能带无交叠的情况。第11页,共49页，2024年2月25日，星期天近自由电子能态密度Ｎ(E)N(E)E

自由电子情况近自由电子情况能带有交叠情况第12页,共49页，2024年2月25日，星期天例二例二、若已知，求g(E)。解：等能面方程：第13页,共49页，2024年2月25日，星期天例二能量为E的等能面内的状态数记作Z：第14页,共49页，2024年2月25日，星期天例二引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。第15页,共49页，2024年2月25日，星期天例三计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)解：简立方晶格的s带能带函数计算公式：第16页,共49页，2024年2月25日，星期天例三所以能态密度可表示为：第17页,共49页，2024年2月25日，星期天紧束缚近似等能面能带底附近等能面为球面；E增大，等能面偏离球面，E越增大，偏离越明显（P218图4-40）。第18页,共49页，2024年2月25日，星期天例三(1)能带底E=E0-6J1；(2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示；(3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下对称，等能面如P219图4-43所示。N(E)能态密度函数图（P219图4-41）第19页,共49页，2024年2月25日，星期天例三能态密度的临界点（范霍夫奇点）由公式

可知，在某个k取值处，

在该点，N(E)显示出某种奇异性，称为范霍夫奇点，也称临界点。En(k)是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中必定存在有的点，例如：En(k)的极大值和极小值点；的鞍点等等，而且这些点是出现在布里渊区的高对称点处。第20页,共49页，2024年2月25日，星期天例三以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。Γ点[]是极小值点；R点[]是极大值点；X点[]是一个鞍点——布区侧面中心。第21页,共49页，2024年2月25日，星期天二、费米面能量是k的函数，费米分布描述电子按能量的分布。在k空间中画出等能面，电子按费米函数分布在各等能面上，按泡利原理，由低到高，填充能量尽可能低的电子态。若固体中有N个电子，在k空间填充了半径为kF的球，球内包括的状态数恰好等于N，即：一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面称费米面。第22页,共49页，2024年2月25日，星期天费米面定义指当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。这里费米面的能量值称为费米能级EF；对应的电子动量称为费米动量；kF称为费米球半径；

称为费米速度；费米面就是k空间中能量为EF的等能面。第23页,共49页，2024年2月25日，星期天费米面费米能级EF费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：费米球半径kFN个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于N，即第24页,共49页，2024年2月25日，星期天关于“费米面”（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级分隔开；（2）费米面形状基本上不随温度变化；温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。第25页,共49页，2024年2月25日，星期天费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的形状确定（1）电子热容是由费米面附近电子激发所引起；（2）功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须作的功；（3）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；（4）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米面附近能态占据状况的变化所引起等。第26页,共49页，2024年2月25日，星期天金属的功函数与接触电势差AB++--+++---++++----VAVB++++----ABVAVB功函数：WA，WB；第27页,共49页，2024年2月25日，星期天EFWAEFWB0EFWAEFWB-eVB-eVA接触电势差：VA-VB=(WB-WA)/q第28页,共49页，2024年2月25日，星期天例：自由电子费米能级EF第29页,共49页，2024年2月25日，星期天自由电子费米能级EF若定义电子球半径

(由得到);氢原子玻尔半径;Å-1~1.5-15eV第30页,共49页，2024年2月25日，星期天自由电子的费米面费米面费米球第31页,共49页，2024年2月25日，星期天电子在晶体中按能级是如何排布的呢？电子是费密子，它的排布原则有以下两条：（1）服从泡里不相容原理排满电子的能带称为满带；排了电子但未排满的称为未满带（或导带）；未排电子的称为空带；（有时也称为导带）；两个能带之间的禁带是不能排电子的。（2）服从能量最小原理第32页,共49页，2024年2月25日，星期天导体和绝缘体（conductor&insulator）

它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。晶体按导电性能的高低可以分为导体半导体绝缘体第33页,共49页，2024年2月25日，星期天三、晶体能带的填充情况第一种情况：只有满带和空带

电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的。最高的满带——价带；最低的空带——导带（此时导带为空带）

；价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围——带隙。带隙宽度大(约10eV)——绝缘体；带隙宽度小(约1eV)——半导体。第34页,共49页，2024年2月25日，星期天第一种情况：只有满带与空带——图示电子填充状态未被电子填充状态半导体绝缘体第35页,共49页，2024年2月25日，星期天晶体能带的填充情况

除去完全被电子充满的一系列能带（即满带）外，还有只是部分被电子填充的能带(即未满带)，常被称为导带（此时，导带为不满带）。第二种情况：除满带和空带，还存在未满带电子填充状态未被电子填充状态第36页,共49页，2024年2月25日，星期天导体导体导体半导体绝缘体

Eg

Eg

Eg第37页,共49页，2024年2月25日，星期天

在外电场的作用下，大量共有化电子很易获得能量，集体定向流动形成电流。从能级图上来看，是因为其共有化电子很易从低能级跃迁到高能级上去。E导体第38页,共49页，2024年2月25日，星期天从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一个较宽的禁带（

Eg约3～6eV），共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。

在外电场的作用下，共有化电子很难接受外电场的能量，所以形不成电流。

的能带结构,满带与空带之间也是禁带，但是禁带很窄（

Eg约0.1～2eV)。绝缘体半导体第39页,共49页，2024年2月25日，星期天绝缘体与半导体的击穿当外电场非常强时，它们的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的。绝缘体半导体导体第40页,共49页，2024年2月25日，星期天例一、碱金属是电子填充情况以Na晶体为例，来说明电子填充情况。结构：体心立方晶格，每个原胞有一个原子。电子组态：1s22s22p63s1分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场中，这个3s带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方向出现电流。第41页,共49页，2024年2月25日，星期天例一、碱金属是电子填充情况而在满带中的电子，不存在上述构成电流的条件，由于中心布里渊区的对称性，存在等量的+k和-k电子，其贡献的电流互相抵消，即使在外电场作用下也互相抵消。总结：钠晶体是良导体的原因在于其电子结构中存在半满带。金属（碱金属，贵重金属等）第42页,共49页，2024年2月25日，星期天例二、IIA族二价碱土金属以Mg元素为例来分析IIA族的碱土金属的电子填充情况。电子组态：1s22s22p63s2分析：1s2，2s2，2p6，3s2等原子能级扩展的4个电子能带是满带，而且3s带也是一个满带，它正好容纳2个3s电子（对每个原子而言）。外电场作用下不能激发电流，论理应是非导体，但事实Mg却是良导体(认为3s带和更高的3p带有交叠)。第43页,共49页，2024年2月25日，星期天例二、IIA族二价碱土金属

原因在于3s和3p能级十分接近，扩展后的3s和3p能带将发生部分重叠，因此3s带尚未填满时，就会有部分电子已进入3p带中，即3s和3p能带都成为未满带。在外电场作用下，则会激发而产生电流。金属（碱土金属等）第44页,共49页，2024年2月25日，星期天k1方向上的3p带底能量低于k2方向的3s带能量，导致部分3s电子占据3p带中较低的状态，两个带都变成未充满的带。第45页,共49页，2024年2月25日，星期天例三、半金属

与碱土金