+内蒙古通辽市2023-2024学年九年级下学期第四次月考数学试卷+

2023-2024学年内蒙古通辽市九年级（下）第四次月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列实数中，是有理数的为(

)A. B. C. D.02.下列计算正确的是(

)A. B.

C. D.3.桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是(

)

A. B. C. D.4.一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是(

)A.中位数 B.平均数 C.方差 D.众数5.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是(

)

A. B. C.1 D.6.2021年9月8日，教育部举办新闻发布会，介绍了教师队伍建设进展，根据最新统计数据显示，教师总数已经达到万人，将万人用科学记数法表示为(

)A.万人 B.万人

C.万人 D.人7.如图，的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分，交线段EG于点H，若，，则的大小为(

)

A. B. C. D.8.如图，中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线BF交AC于点若，P为AB上一动点，则GP的最小值为(

)

A.2 B. C.1 D.无法确定9.若关于x的方程无解，则a的值是(

)A.1 B.3 C.或2 D.1或210.如图，在正方形ABCD中，，点E在CD边上，且，点P是对角线AC上的一个动点，则的最小值是(

)

A. B. C.9 D.11.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为，将绕点B逆时针旋转后得到，若函数的图象经过点，则k的值为(

)A.

B.4

C.

D.812.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是对于下列说法：①；②；③；④为实数；⑤当时，，其中正确的是(

)

A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13.分解因式：__________.14.使得代数式有意义的x的取值范围是______.15.如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是__________.

16.若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是______.17.如图，在中，，，，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点点E不与点B重合，沿DE翻折使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为______.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。18.计算：四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题6分

先化简，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．20.本小题7分

为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．

求的度数；

已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？21.本小题7分

冰墩墩将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，整体形象酷似航天员，凭借憨态可掬的模样和活波调皮的性格，成为新晋“顶流”，同时形成了“一墩难求”的局面，小丽爸爸买了四个外包装完全相同的冰墩墩手办，其中两个为经典造型，两个为冰球造型，在没有拆外包装的情况下，小丽和哥哥各自从这四个手办中随机拿走一个．

若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为______；

若小丽先拿走一个，哥哥再从剩下的三个中随机拿走一个，求小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率．22.本小题8分

如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，，连接EF，

求证：四边形ABCD是菱形；

连接BD交AC于点O，若E为AB中点，，，求OE的长.23.本小题8分

家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．

下列选取样本的方法最合理的一种是______只需填上正确答案的序号

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．

本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：

①______，______；②补全条形统计图；

③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______；

④家庭过期药品的正确处理方式是送回收站，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收站．

24.本小题9分

如图，点O是的边AB上一点，以OB为半径的与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且

求证：；

当，时，求AF的长．25.本小题9分

某商场销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足，设销售这种商品每天的利润为元

求W与x之间的函数关系式；

在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得2000元的利润，应将销售单价定为多少元？

当每天销售量不少于50件，且销售单价至少为32元时，该商场每天获得的最大利润是多少？26.本小题9分

如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，

求抛物线的解析式；

点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求的最大值，并求出此时点D的坐标；

如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：，，是无理数，

0是有理数，

故选：

根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．

本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．2.【答案】D

【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意；

B、，原计算错误，不符合题意；

C、，原计算错误，不符合题意；

D、，正确，符合题意．

故选：

分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．

本题考查的是二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：从左边看，

故选：

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4.【答案】A

【解析】解：一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，中位数不变，平均数，方差，众数发生变化，

故选：

根据中位数，平均数，方差，众数的定义判断即可．

本题考查中位数，平均数，方差，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5.【答案】A

【解析】解：由图知：，

，，

原式

故选：

根据数轴上a点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．6.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．

确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．

【解答】

解：将万人用科学记数法表示为万人．

故选：7.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，要熟练掌握．

首先根据，，求出的大小；然后根据，求出的大小，再根据FH平分，求出的大小；最后根据三角形内角和定理，求出即可．

【解答】

解：，，

；

，

，

平分，

，

8.【答案】C

【解析】解：如图，过点G作于H，

由作图可知，GB平分，

，，

，

根据垂线段最短可知，GP的最小值为

故选：

如图，过点G作于H，根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．

本题考查尺规作图-作一个角的平分线，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．9.【答案】D

【解析】解：，

去分母得，，

整理得，，

当时，分式方程无解，

则，

解得，；

当整式方程无解时，，

故选：

先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．

本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．10.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了轴对称--最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．

由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时最小，而BE是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果．

【解答】

解：如图，连接BE，设BE与AC交于点，

四边形ABCD是正方形，

点B与D关于AC对称，

，

，

即P是AC与BE的交点时，最小，为BE的长度．

直角中，，，，

，

故选11.【答案】C

【解析】解：点B的坐标为，

，

作于点C，

绕点B逆时针旋转后得到，

，

，，

，

点的坐标为：，

函数的图象经过点，

，得，

故选：

根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得k的值．

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．12.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．简称：左同右异③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，

【解答】

解：①对称轴在y轴右侧，

、b异号，

，故正确；

②对称轴，

；故正确；

③，

，

当时，，

，故错误；

④根据图示知，当时，二次函数有最大值；

此时，

所以有，

所以为实数

故正确．

⑤如图，当时，y不只是大于

故错误．

故选：13.【答案】

【解析】【分析】

原式分解因式时，先考虑是否有公因式，再考虑公式法，如果有两项则考虑平方差公式分解．

此题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用．

【解答】

解：

故答案为：14.【答案】

【解析】解：代数式有意义，

，

，

的取值范围是，

故答案为：

根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．

本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．15.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．

连接OA，求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据，即可得到结论．

【解答】

解：连接OA，

，，

是等边三角形，

，，

，

的半径为8，

，

，

，

是等边三角形，，

，

，

于点C，

在中，，，

，

故答案为16.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，

不等式组的解集为，

故答案为：

不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．17.【答案】

【解析】解：由题意得：，

点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作；

连接AD交于点F，此时AF值最小，

点D是边BC的中点，

；而，

由勾股定理得：

，而，

，

即线段AF长的最小值是2，

连接BF，过F作于H，

，

，

∽，

，

，，

，

，

故答案为：

由题意得：，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作；

连接AD交于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到；而，由勾股定理得到，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．18.【答案】解：原式

【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．19.【答案】解：原式

若使分式有意义，则，即

当时，原式

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的a的值代入计算即可．

本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意20.【答案】解：由题意得，，，

，

由可知，

海里

过点P作于点D，在中，

海里

海监船继续向正东方向航行是安全的．

【解析】在中，求出、的度数即可解决问题；

作于求出PD的值即可判定；

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．21.【答案】

【解析】解：若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为，

故答案为：；

设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，

画树状图如图所示，

共有12种等可能的结果，小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的有8种情况，

小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率为

直接根据概率公式求解即可；

设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】证明：，

，

，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

为等腰三角形，

，

四边形ABCD是菱形；

解：如图，连接OE，

四边形ABCD是菱形，，

，，，

，

，

，

，

若E为AB的中点，

则

【解析】由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论；

由菱形的性质得，，，再由锐角三角函数定义得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．23.【答案】解：③；

①20；

6

②C类户数为：户，

条形统计图补充如下：

③；

④万户

答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．

【解析】解：选取样本的方法最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取；

故答案为：③；

①抽样调査的家庭总户数为：户，

，，

，

故答案为20；6；

②C类户数为：户，

条形统计图补充如下：

③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是，

故答案为：；

④万户

答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．

【分析】

根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；

①首先根据A类有80户，占，求出抽样调査的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；

②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；

③用乘以C类对应的百分比可得；

④用180万户乘以样本中送回收站的户数所占百分比即可．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．24.【答案】解：连接OE，BE，

，

，

，

，

，

，

，

与边AC相切于点E，

，

，

；

在，，，，

，

设的半径为r，则，

在中，，

，

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数的定义，切线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

连接OE，BE，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；

设的半径为r，则，在中，，从而可求出r的值．25.【答案】解：根据题意，可得，；

由题意知，元，即，

解得，，

销售量随销售单价x的增大而减小，

当时，既能保证销售量大，又可以每天获得2000元的利润；

由题意知，，且，解得，

，

对称轴，

在对称轴右侧W随着x的增大而减小，

当时，W最大值，，

当时，该商场每天获得的最大利润是1760元.

【解析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在