2024年高二数学专项练习01独立性检验的基本思想及其初步应用

2024年高二数学专项练习独立性检验的基本思想及其初步应用知识讲解研究两个变量的相关关系：问题：为了解患慢性支气管炎与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查。共调查了339名50岁以上的人，其中吸烟者205人，不吸烟者134人．结果是：吸烟的205人中有43人患呼吸道疾病（简称患病），162人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的134人中有13人患病，121人未患病．患病未患病合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象X和Y，X有两类取值：（如吸烟与不吸烟），Y也有两类取值：（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到数据如下：合计合计推断“X和Y有关系”的步骤为：第一步，提出假设：两个分类变量X和Y没有关系；第二步，根据2×2列联表和公式计算统计量；第三步，比对两个临界值，作出判断．二、典型例题例1对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。例2在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？晕机不晕机合计男性243155女性82634合计325789例3在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防感冒的作用？未感冒感冒合计使用血清258242500未使用血清216284500合计4745261000例4为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？有效无效合计口服584098注射643195合计12271193分类加法计数原理与分步乘法计数原理问题1从A城市到B城市可以选择坐汽车、坐火车或者乘飞机。每天均有2班汽车（上下午各一班），3趟火车（早中晚各一趟），每小时有一个航班。现某同学欲从A城市去B城市，共有几种选择？问题2衣柜里有2顶不同的帽子，3件不同的上衣，4条不同的裤子。现欲给模特挑选1顶帽子、1件上衣、1条裤子，请问共有多少种不同的可能搭配？一、分类计数原理（又称加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第l类办法中有a1种不同的方法，在第2类办法中有a2种不同的方法，……，在第n类办法中有an种不同的方法.那么完成这件事共有N=a1+a2+…+an种不同的方法.练习：由不等式组所确定的平面区域内，整数点的个数有多少？二、分步计数原理（又称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有a1种不同的方法，做第2步有a2种不同的方法，……，做第n步有an种不同的方法.那么完成这件事共有N=a1×a2×…×an种不同的方法.练习：在运动会报名时，甲、乙、丙、丁四位同学参加4×100m接力项目，请问共有多少种不同的出场方案？练习：的展开式中共有多少项？注：1.两个原理的共同点：它们都是研究完成一件事，共有多少种不同的方法.两个原理的不同点：完成一件事的方式不同.分类计数原理中任何一种方法都能独立完成这件事；分步计数原理则是分步完成，只有这些步骤顺次全部完成了，才能完成这件事情.2.应用分类计数原理，实质上是将复合事件分解成一些简单的互不相容的事件的并集.使用这一原理时，应该注意：(i)分类要不重不漏，每种具体方法在且仅在一类方法中；(ii)各类方法中的每种具体方法，都能独立实现题目中的事件.3.应用分步计数原理应注意：(i)各步骤要完整，每一步和下一步要相互衔接；(ii)各步骤顺次完成后就完成了原事件.三、例题例1(1)3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案?(2)若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案?一般化为“投信”模型：m封不同的信，投入n个不同的邮箱，共有种不同的投法.例2在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书和20本不同的小说供学生选用.(1)某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法?(2)若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法?(3)若要从这三类书中选不属于同类的两本，则有多少种不同的选法?例3用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？练习：已知有0，1，2，3，4共5个数字.（1）由这5个数字可以组成多少个三位数？（2）由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）由这5个数字可以组成多少个三位偶数？（4）由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（5）由这5个数字可以组成多少个能被5整除的三位数？（6）由这5个数字可以组成多少个比300小的三位数？（7）由这5个数字可以组成多少个比300小的自然数？例4用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的DBDBCA事件与概率知识讲解一、随机现象与随机事件1．必然现象与随机现象：必然现象：在一定的条件下必然发生的现象随机现象：在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象练习：（1）地球上，向上抛一块石头，石头会落到地面上；（2）在标准状态下，水在100°C下沸腾；（3）掷一枚硬币，正面向上；（4）从粉笔盒中取粉笔，取出的是红粉笔。答案：2．事件与事件空间在同样条件下重复进行试验时，始终不发生的结果称为不可能事件，一定发生的结果称为必然事件，有可能发生也可能不发生的结果成为随机事件.基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述的事件基本事件空间：所有基本事件构成的集合,常用Ω表示.练习下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？①在标准大气压下，水加热至90℃沸腾；②某人买一张彩票中奖；③将一根长为a的铁丝，随意折两下，构成一个三角形；④连续两次抛一枚硬币，两次都出现正面朝上；⑤当时，答案：3.事件的运算事件的和（并）：A+B（A∪B）事件A与事件B中至少有一个发生事件的积（交）：AB（A∩B）事件A与事件B同时发生二、随机事件的频率与概率一般地，在次重复的试验中，事件A发生的频率，当很大时，总在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作。思考：如果=0，那么在一次试验中，事件A一定不会发生吗？如果=1，那么在一次试验中，事件A一定发生吗？“频率”和“概率”的区别（1）频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映随机事件出现的可能性；（2）概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。随机现象的两个特征：（1）结果的随机性；（2）频率的稳定性.三、概率的加法公式1．互斥事件互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就称事件彼此互斥。对立事件：如果事件A,B是两个互斥的事件，且事件A,B必有一个发生.记作：练习从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）恰好有1件次品与恰好有2件次品；（2）至少有1件次品与全是次品；（3）至少有1件正品与至少有1件次品；（4）至少有1件次品与全是正品.解析：2.互斥事件有一个发生的概率如果事件A，B互斥，那么事件A∪B（即A，B中有一个发生）的概率等于事件A，B分别发生的概率的和。如果事件彼此互斥，那么典型例题例1(1)下列事件中，不可能事件是（）A.三角形内角和为180°B.在同一个三角形中大边对大角C.锐角三角形中两个内角的和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边。(2)总数为10万张的彩票，中奖率为1/1000，下列说法正确的是（）A.买一张一定不中奖B.买1000张一定中奖C.买2000张一定中奖D.买2000张不一定中奖(3)某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶B.2次都中C.2次都不中D.只有一次中靶(4)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是4