2024年初二下册数学期末考试专项复习391948中心对称与中心对称图形-知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习中心对称与中心对称图形--知识讲解【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．

②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．

②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：中心对称与中心对称图形的区别与联系】1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例3及练习】1.（2015春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.举一反三【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）

A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C【答案】A【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】2.我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.【答案与解析】【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.类型二、作图3.（2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【思路点拨】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【答案与解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．举一反三【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例5及练习】【变式】如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．图图①图②D【答案】图①：或或AC或BD;图②：或类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明4.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．举一反三【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例4及练习】【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．【答案】.中心对称与中心对称图形--巩固练习【巩固练习】一.选择题1.（2016•哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2.（2015春•高密市期末）下列说法中错误的是（）A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合3.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有()

A.3个B.4个C.5个D.6个4.下列说法正确的是()

A.两个会重合的三角形一定成轴对称

B.两个会重合的三角形一定成中心对称

C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等

D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等5.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：(1)点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；(2)直线BD必经过点O；(3)四边形ABCD是中心对称图形；(4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；(5)△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.5个6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是()①中心对称②旋转③轴对称④平移A．①②B．②③C．③④D．①④二.填空题7.如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△，则A点的对应点点的坐标是________.

8.如图，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，则△A2B2C2与△ABC的关系是__________.

9．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.10.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.11.如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________．

12.（2016•杭州）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为．三．综合题13.如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形.

(1)请指出图中所有相等的线段；

(2)写出图中所有相等的角；

(3)图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？

14.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．（1）根据图形直接写出点C的坐标：；（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．15.如图，为边的是等边三角形，求AP的最大、最小值.

【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．2．【答案】B【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选：B．3．【答案】B【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正方形.4．【答案】D5．【答案】D

【解析】已知△ABC与△CDA关于点O对称,所以点A对称点是点C,点B对称点是点D,即四边形ABCD是平行四边形，从而推得（1）（2）（3）（4）（5）正确。6．【答案】D【解析】旋转180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图形通过平移得到新图形，所以④是错误的.二、填空题7.【答案】(3，-2)8.【答案】关于原点O中心对称.【解析】通过画图可以发现经过两次轴对称，在第四象限，与原三角形中心对称.9.【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是360°÷6=60°，所以旋转角是60°的倍数即可.10.【答案】【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.

由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°角的直角三角形，所以可以知道，.11.【答案】60°；60°.【解析】因为△AEC绕点A旋转到△AFB的位置，所以△AEC≌△AFB，即∠FAB=∠EAC,∠ACB=∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，所以∠FAD=∠BAD+∠FAB=∠BAD+∠EAC=120°-60°=60°；所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°.12.【答案】（﹣5，﹣3）．【解析】如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，∴D点坐标为：（5，3），∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．三．解答题13.【解析】因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于点O成中心对称(1)图中相等的线段有：

(2)图中相等的角有：

(3)图中关于点O成中心对称的三角形有：

△ABC与△DEF，△ABO与△DEO，△ACO与△DFO，△BCO与△EFO.14.【解析】解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，∴点C的坐标为（6，4）；故答案为：（6，4）；（2）直线m如图所示，对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线m的解析式为y=﹣x+6．15.【解析】已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散.考虑到是等边三角形，

若绕点P逆时针旋转到，则可得是等边三角形，，则与所求就集中到中

（特殊情况A，，B三点在同一直线）.

由于，

所以.

即AP的最大值为5，最小值为1.反比例函数（基础）【学习目标】1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】【高清课堂反比例函数知识要点】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.要点三、反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义 1、下列函数：①y=2x，②y=，③y=x﹣1，④y=．其中，是反比例函数的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C；【解析】解：①y是x正比例函数；②y是x反比例函数；③y是x反比例函数；④y是x+1的反比例函数．故选：C．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春•大庆期末）已知y与x成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y的值为．【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【答案】﹣2．【解析】解：设反比例函数为y=，当x=﹣3，y=4时，4=，解得k=﹣12．反比例函数为y=．当x=6时，y=﹣2，故答案为：﹣2．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．举一反三：【变式】已知与成反比，且当时，，则当时，值为多少？【答案】解：设，当时，，所以，则＝－24，所以有．当时，．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大．因为，所以．因为在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．【总结升华】已知反比例函数，当＞0，＞0时，随的增大而减小，需要强调的是＞0；当＞0，＜0时，随的增大而减小，需要强调的是＜0．这里不能说成当＞0，随的增大而减小．例如函数，当＝－1时，＝－2，当＝1时，＝2，自变量由－1到1，函数值由－2到2，增大了．所以，只能说：当＞0时，在第一象限内，随的增大而减小．举一反三：【变式1】已知的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且，∴.(2)由(1)得此函数解析式为：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴【高清课堂反比例函数例5】【变式2】对于函数y=，下列说法错误的是（）A.它的图象分布在一、三象限；B.它的图象与坐标轴没有交点；C.它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；D.当x＜0时，y的值随x的增大而增大.【答案】D；解：A、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；B、因为x、y均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C、它的图象关于y=﹣x成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D，当x＜0时，y的值随x的增大而减小，故选：D．类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．【思路点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC⊥轴于点C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵且，∴，∴，∴．又∵在曲线上，∴当时，；当时，．∴P的坐标为或．【总结升华】通过三角形面积建立关于的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC⊥轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数的对称性可知AO＝OB，则．设A点坐标为(，)，而AC＝||，OC＝||，于是，∴，而由得，所以，所以反比例函数解析式为．【巩固练习】一.选择题1.点（3,－4）在反比例函数的图象上，则在此图象上的是点（）．A．（3，4）B．（－2，－6）C．（－2，6）D．（－3，－4）2.（2016•河南）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.下列四个函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个4.在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数5.（2015•潮南区一模）已知一次函数y=kx+k﹣1和反比例函数y=，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（）6.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（） A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限 C.当时， D.当时，随着的增大而增大二.填空题7.（2016春•德州校级月考）已知y与成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=．8.已知反比例函数的图象，在每一象限内随的增大而减小，则反比例函数的解析式为．9.（2015•和平区模拟）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，y1，y2，y3的大小关系为．10.已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（－1，－2）．则＝_____；＝____；它们的另一个交点坐标是______．11.如图，如果曲线是反比例函数在第一象限内的图象，且过点A(2，1)，那么与关于轴对称的曲线的解析式为().12.已知正比例函数的图象与双曲线的交点到轴的距离是1,到轴的距离是2,则双曲线的解析式为_______________.三.解答题13.已知反比例函数的图象过点(－3，－12)，且双曲线位于第二、四象限，求的值．14.（2015秋•龙安区月考）如图，已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过□ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）（1）求出函数解析式；（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，求P点的坐标．15.已知点A(，2)、B(2，)都在反比例函数的图象上．(1)求、的值；(2)若直线与轴交于点C，求C关于轴对称