知识点典型例题直线平面简单的几何体

知识点典型例题直线、平面、简单的几何体1引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测画法．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴，再取0z轴，使，且；②画直观图时，把它们画成对应的轴，使(或)，,所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任一平面内.平面及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线，经过空间任一点O作直线∥,∥，则与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是．(Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a，b所成角为则EF2=m2+n2+d2±2mncos或②证明两条直线是异面直线一般用反证法。例1.“直线a经过平面外一点P”用符号表示为()(A)(B)(C)(D)例2.对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有（）个

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例3.如图ABCD—A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D(A)A、M、O三点共线(B)M、O、A1、A四点共面(C)A、O、C、M四点共面(D)B、B1、O、M四点共面例4.直线互相平行的一个充要条件是()(A)都垂直于同一平面(B)l1平行l2所在的平面(C)与同一平面所成的角相等(D)l1，l2都平行于同一平面例5.a,b为两异面直线，下列结论正确的是()(A)过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行(B)过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交(C)过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行(D)过a可以并且只可以作一个平面与b平行例6.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF(A) (B)(C) (D)例7.已知如右图，在中选择适当的符号填入各个空格：ABβ，AAB，Aβ，CD，A，BDβ，D。例8.已知正的边长为,则到三个顶点的距离都为1的平面有______个.例9.平面及空间直线例一副三角板ABC和ABD如图摆成直二面角，若BC＝a，求AB和CD的夹角的余弦值。直线和平面平行与平面和平面平行1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注:直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外．(1)直线在平面内——有无数个公共点;(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行——没有公共点．①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.即②直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.即2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）(1)两个平面相交———有一条公共直线．(2)两平面平行———没有公共点(Ⅰ)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.即②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.即;(Ⅱ)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.即注:平行问题常用平行转化的思想:直线和平面平行与平面和平面平行例11.若直线a⊥b，且a∥平面，则直线b与平面的位置关系是()(A)b (B)b∥(C)b或b∥ (D)以上都不对例12.若直线l与平面的一条平行线平行，则l和的位置关系是()(A)(B)(C)(D)例13.直线与平面平行的充要条件是()(A)直线与平面内的一条直线平行(B)直线与平面内的两条直线不相交(C)直线与平面内的任一直线都不相交(D)直线与平行内的无数条直线平行例14.“平面内不共线的三点到平面的距离相等”是“∥”的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件例15.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是()。(A)两条线段同时与平面垂直(B)两条线段互相平行(C)两条线段相交(D)两条线段与平面所成的角相等例16.经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面.例17.如图，直线AC、DF被三个平行平面、、γ所截，已知AB=2，BC=3，EF=4，则DF=。例18.给出下列四组命题：pq①直线l∥平面l上两点到的距离相等②直线l⊥平面l垂直于内无数条直线③平面∥平面直线，且④平面内任一直线平行于平面满足p是q的充分且必要条件的序号是________．例19.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF//平面ABC；(2)AF⊥BD例20.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1直线和平面垂直1.直线和平面垂直:(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线和平面互相垂直.记作:(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即(3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即2.三垂线定理:(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．注：垂线段比任何一条斜线段短．⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.即三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.即3.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．注:①最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．即（为最小角，如图）其中1为斜线OA与平面所成角，即为∠OAB，2为OA射影AB与内直线AC所成的角，为∠OAC.显然，>1，>2②一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是的角，可见，直线和平面所成的角的范围是．③直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.④三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线等非常有用.⑤垂直转化:直线和平面垂直例21.等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()(A)(B)(C)1(D)例22.命题:（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角.以上命题正确的有（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例23.平面内有一四边形ABCD，P为外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）(A)必有外接圆(B)必有内切圆(C)既有内切圆又有外接圆(D)必是正方形例24.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB为底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，∠CAB=，∠PBA=θ，∠CPB=，则（）(A)cosθ·sin=sin (B)sinθ·sin=sin(C)cosθ·cos=cos (D)cosθ·sin=cos例25.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，∠ACB=90o.则图中Rt△的个数为（）（A）4（B）3（C）2（D）1例26.下列四个命题:①l∥m,m∥n,n⊥l⊥；②l∥m,m⊥,n⊥l∥n③l∥m,l⊥,m⊥；④l∥,m⊥l⊥m其中错误命题的个数是（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例27.下列命题中正确的是 （）(A)过平面外一点作此平面的垂面是唯一的(B)过直线外一点作此直线的垂线是唯一的(C)过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的(D)过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的例28.将正方形ABCD沿着对角线BD折成一个四面体ABCD,在下列给出的四个角度中，①30