上海金陵中学高一数学理模拟试题含解析

上海金陵中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（

） A．

B．0

C．

D．参考答案：A2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：A3.cos210°=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】由诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：cos210°=cos=﹣cos30°=﹣．故选：A．4.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略5.直线的倾斜角为（

）A.150° B.120° C.60° D.30°参考答案：A【分析】现求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.【详解】设倾斜角为，因为直线的斜率为-，所以，，又因为所以，故选A.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知f（x）=ax3+bx﹣，若f（3）=5，则f（﹣3）的值为(

)A．3 B．﹣1 C．7 D．﹣3参考答案：B【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得27a+3b﹣=3，由此能求出f（﹣3的值．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣，f（3）=5，∴+2=5，∴27a+3b﹣=3，∴f（﹣3）=﹣27a﹣3b++2=﹣（27a+3b﹣）+2=﹣3+2=﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是A．

B． C．

D．参考答案：A8.关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（） A．此数列不是等差数列，也不是等比数列 B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列 C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列 D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列 参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】根据等差数列、等比数列的性质验证即得结论． 【解答】解：一方面∵=729， ∴该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列； 另一方面∵=363， ∴该数列有可能是以首项为3、公差为6的等差数列； 故选：B． 【点评】本题考查等差、等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于基础题． 9.函数的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣1，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2]参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．10.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，是边长为1的正三角形，曲线分别是为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，为半径画弧，如此继续下去，这样画到第圈．设所得螺旋线的总长度为．则（1）＝

；（2）=

．参考答案：（1）＝；（2）=12.已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值是

．参考答案：6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=f（x﹣1）为偶函数，可知函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数f（x）定义域的两端点关于﹣1对称．【解答】解：由y=f（x﹣1）是偶函数，可知y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称故有，解得a=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义，函数图象的平移变换法则，难度不大，属于基础题．13.函数的值域是

▲

.参考答案：14.已知函数，则的取值范围是____参考答案：【分析】分类讨论，去掉绝对值，利用函数的单调性，求得函数各段上的取值，进而得到函数的取值范围，得到答案．【详解】由题意，当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，此时函数的取值当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，最小值，所以函数的取值为当时，函数，此时函数为单调递增函数，所以最大值为，此时函数的取值，综上可知，函数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，利用函数的单调性求得各段上的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.关于函数有下列结论：①对任意的有；②在区间上的最大值为4；③的图象关于点对称；④的图象关于对称；⑤将函数的图象按向量a平移后得到的图象关于坐标原点对称，则向量a的坐标可能为其中正确的结论是

（写出所有符合要求的序号）参考答案：①②③⑤

略16.已知单位向量与的夹角为α，且cosα＝，若向量＝3－2与＝3－的夹角为β，则cosβ＝________.参考答案：【分析】根据向量的数量积分别计算出的模和的模，及的值即可得解.【详解】由已知得：，，所以故得解.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属于基础题.17.右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）如图：有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底是圆的直径，上底CD的端点在圆周上．梯形的周长令为y，腰长为x（Ⅰ）求周长y关于腰长x的函数关系式，并求其定义域；（Ⅱ）当梯形周长最大时，求此时梯形的面积S．参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．专题： 函数的性质及应用．分析： （I）画出图形，结合图形，求出周长y关于腰长x的函数解析式，再求出函数的定义域即可；（Ⅱ）求出函数y的最大值，并求出此时对应的梯形的面积S．

解答： （I）如图所示，作DE⊥AB于E，连接BD，因为AB为直径，所以∠ADB=90°；在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED；所以=，即AE=；又AD=x，AB=4，所以AE=；所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8，由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，解得0＜x＜2；故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）；（Ⅱ）因为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10，此时，梯形的腰长AD=x=2，下底长AB=4，所以AE==1；所以上底长CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2，高DE=；∴梯形的面积为S=（AB+CD）?DE=×（4+2）×=3．点评： 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数最值的问题，是综合性题目．19.已知的定义域为,（1）求集合A.（2）若,求的取值范围.参考答案：略20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足.(1)求B；(2)求b及△ABC的面积．参考答案：（1）；（2），.【分析】(1)利用正弦定理边化角，三角等式化简得到答案.(2)利用余弦定理和面积公式得到答案.【详解】解：(1)∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．(2)∵，∴，∴．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，属于高考常考题.21.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070

（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可【详解】(1)

，因此，所求回归直线方程为：.

(2)x24568y304060507030.543.55056.569.5

基本事件：共10个，

两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为.【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题22.已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．参考答案：【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣